- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.
- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện.
- Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
+ Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại.
- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn
thẳng đó.
+ Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại.
- Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.
- Hình chóp nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp được đường tròn.
+ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.
- Hình chóp đều:
Bán kính: \[R = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\] với \[b\] là độ dài cạnh bên,
\[h\] là chiều cao hình chóp.
- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:
Bán kính \[R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \] với \[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[h\] là chiều cao hình chóp.
Đặc biệt: tứ diện vuông: \[R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \] với \[a,b,c\] là ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh các góc vuông.
- Lăng trụ nội tiếp được mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn.
Bán kính \[R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \] với \[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[h\] là chiều cao lăng trụ đứng.
3. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Cho mặt cầu \[\left[ S \right]\] có bán kính \[R\], khi đó:
- Công thức tính diện tích mặt cầu: \[S = 4\pi {R^2}\]
- Công thức tính thể tích khối cầu: \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\]
Trong bài học hôm nay, HocThatGioi sẽ giới thiệu cho có bạn dạng toán mặt cầu ngoại nội tiếp – hướng dẫn và bài tập. Với bài học hôm nay sẽ giúp các bạn tự tin hơn khi gặp những bài toán liên quan đến mặt cầu ngoại – nội tiếp. Cùng HocThatGioi bắt đầu buổi học hôm nay nhé.
Sau đây là phương pháp giải đối với từng trường hợp là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ hay nội tiếp lăng trụ.
Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:
Gọi O_{1}, O_{2} lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ => O_{1}O_{2} là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.
Gọi I là trung điểm của O_{1}O_{2}
=> IA = IB = IC = IA' = IB' = IC'. Suy ra:
Trung điểm I của O_{1}O_{2} là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Bán kính R= IA = \sqrt{AO_{1}^{2} + IO_{1}^{2}} = \sqrt{AO_{1}^{2} + [\frac{O_{1}O_{2}}{2}]^{2}}
Ví dụ minh hoạ :
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2 cm^{2}. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:
Ta có ABCD là hình chữ nhật => \Delta ABC vuông tại B => nó cũng cân tại B Ta có :
S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.BC = 2 => AB = 2 = BC
\Delta ABC: AC = 2\sqrt{2} => IC = \frac{AC}{2} = \sqrt{2}
\Delta IOC: IO = \sqrt{OC^{2} – IC^{2}} = \sqrt{7}
Suy ra chiều cao của khối hộp là 2\sqrt{7}
Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
S_{tp} = S_{2đáy} + S_{xq} = 2.2^{2} + 4[2.2\sqrt{7}] = 8[1 + 2\sqrt{7}].
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB= b, AD = c. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 8 đỉnh của hình hộp.
Gọi O_{1}O_{2} lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy. Suy ra:
-Trung điểm I của O_{1}O_{2} là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp
Bán kính : R = IA = \sqrt{AO_{1}^{2} + IO_{1}^{2}} = \sqrt{[\frac{AC}{2}]^{2} + [\frac{AA’}{2}]^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.
Khối cầu nội tiếp lập phương cạnh a: bán kính R = \frac{a}{2} .
Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp
Ví dụ minh hoạ:
Gọi V là thể tích khối lập phương, V’ là thể tích khối cầu nội tiếp khối lập phương. Khi đó tỉ số \frac{V}{V’} là ?
Gọi cạnh của hình lập phương là a, vì khối cầu nội tiếp khối lập phương nên đường kính khối cầu bằng cạnh của hình lập phương. Suy ra bán kính khối cầu là R = \frac{a}{2}.
V = a^{3}
V’ = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{\pi a^{3}}{6}
Vậy \frac{V}{V’} = \frac{6}{\pi}
Với phần bài tập tự luyện HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những câu hơi ở mức vận dụng – vận dụng cao nhưng sẽ có hướng dẫn chi tiết nhé.
Trên đây là bài viết về Dạng toán mặt cầu ngoại nội tiếp lăng trụ – hướng dẫn và bài tập mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.
Bài viết khác liên quan đến Mặt tròn xoay
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp
-
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp
-
Đáy là một đa giác nội tiếp
Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \dfrac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
| A. $R=\frac{13a}{2}.$ | B. $R=6a.$ | C. $R=\frac{17a}{2}.$ | D. $R=\frac{5a}{2}.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122
Giải.Ta có ${{R}_{d}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=\frac{5a}{2}.$
Vậy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ \frac{5a}{2} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{12a}{2} \right]}^{2}}}=\frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]
Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có \[R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}.\]
Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $\sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng
| A. $\frac{4}{3}.$ | B. $8.$ | C. $\frac{8}{3}.$ | D. $8.$ |
Giải. Ta có $R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$
Mặt khác ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
\[12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}\Rightarrow OA.OB.OC\le 8.\]
Do đó ${{V}_{OABC}}\le \frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.
Công thức 3:Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.
Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
| A. $a=\frac{\sqrt{3}R}{3}.$ | B. $a=2R.$ | C. $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ | D. $a=2\sqrt{3}R.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124
Giải. Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ \frac{a}{\sqrt{2}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{a}{2} \right]}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.
Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Khối tứ diện $[{{H}_{1}}]$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $[{{H}_{2}}],$ khi đó ${{R}_{[{{H}_{1}}]}}={{R}_{[{{H}_{2}}]}}=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ a.\cot \frac{x}{2} \right]}^{2}}}$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.
Hoặc có thể sử dụng công thức $R=\sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $\sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
| A. $R=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$ | B. $R=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$ | C. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$ | D. $R=\sqrt{2}a.$ |
Giải.Ta có $R=\sqrt{{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{2}.\cot {{60}^{0}} \right]}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}} \right]}^{2}}}=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$
Chọn đáp án B.
Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=\frac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=\sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$