adsense
Câu hỏi:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?
A. \[
1 + 2A_{2018}^2 + 2\left[ {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right] + \left[ {C_{2017}^3 + A_{2017}^3} \right] + C_{2017}^4\]
B. \[
1 + 2C_{2018}^2 + 2C_{2018}^3 + C_{2018}^4 + C_{2018}^5\]
C. \[
1 + 2A_{2018}^2 + 2A_{2018}^3 + A_{2018}^4 + C_{2017}^5\]
D. \[
1 + 4C_{2017}^1 + 2\left[ {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right] + \left[ {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right] + C_{2017}^4\]
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
V 5=4+1=3+2=2+2+1=3+1+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 chữ số 0 đứng sau : Có 1 số.
Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 chữ số 0.
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 4 đứng đầu thì chữ số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[
C_{2017}^1\] số
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì chữ số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^1_{2017}\] số.
Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 chữ số 0
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 3 đứng đầu thì chữ số 22 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^1_{2017}\] số.
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^1_{2017}\] số.
Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 chữ số 0
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[A^2_{2017}\] số.
adsense
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^2_{2017}\] số.
Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có \[A^2_{2017}+C^2_{2017}\] số.
Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 chữ số 0.
+] Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^3_{2017}\] số.
+] Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà không có chữ số 1 nào khác đứng trước nó thì hai chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \[C^2_{2016}\] số.
+] Khả năng 3: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí là đứng trước nó có hai chữ số 1 thì hai chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \[A^2_{2016}\] số.
Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 chữ số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \[C^4_{2017}\] số.