Cho số phức $z=a+bi$ [với $a,b\in R$]. Một số phức $w$ được gọi là một căn bậc hai của số phức $z$ nếu $w^{2}=z$. Số phức $z=0$ có một căn bậc hai là $0$. Mỗi số phức $z\ne 0$ luôn có hai căn bậc hai, cách tìm căn bậc 2 như trong ví dụ sau đây.
SIÊU SALE - SIÊU SALEVí dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức $z=4+6\sqrt{5}i$.
Giả sử căn bậc hai của số phức là $w=x+yi$ với $x,y\in R$ thì ta có
${{w}^{2}}={{\left[ x+yi \right]}^{2}}=\left[ {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right]+2xyi$
SIÊU SALE - SIÊU SALEĐồng nhất phần thực và phần ảo của hai vế, ta được hệ phương trình:
$$ \begin{cases}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4 \\
xy=3\sqrt{5}
\end{cases}$$
Giải hệ phương trình trên ta được $ x=\pm 3, y=\pm \sqrt{5}$. Vậy, số phức $z=4+6\sqrt{5}i$ có hai căn bậc hai là $3+i\sqrt{5}$ và $-3-i\sqrt{5}$.
SIÊU SALE - SIÊU SALELuyện tập: Tìm căn bậc hai của số phức $z=-1-2\sqrt{6}i$. Đáp số: Có hai căn bậc hai là $\sqrt{2}-i\sqrt{5}$ và $-\sqrt{2}+i\sqrt{5}$.
SIÊU SALE - SIÊU SALEChú ý: Mỗi số thực dương $a$ luôn có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}$, mỗi số thực âm $a$ đều có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}.i$
SIÊU SALE - SIÊU SALE
2. Phương trình trên tập số phức
2.1. Phương trình bậc nhất $az+b=0$ với $ a,b\in C, a\ne 0 $
Phương pháp giải. Biến đổi tương đương $az+b=0 \Leftrightarrow z=-\frac{b}{a}$ rồi thực hiện phép chia hai số phức để rút gọn nghiệm, đưa nghiệm về dạng $z=x+yi$ với $x,y\in R$.
SIÊU SALE - SIÊU SALEVí dụ 1: Giải các phương trình sau:
SIÊU SALE - SIÊU SALE- $\left[ 3+4i \right]z=[1+2i][4+i]$
- $2iz+3=5z+4$
- $3[2-i]z+1=2iz[1+i]+3i$
Hướng dẫn.
- Chúng ta có ngay $z=\frac{[1+2i][4+i]}{3+4i}=\frac{42}{25}+\frac{19}{25}i $.
- Chuyển vế, đặt nhân tử chung, ta được $$ [-5+2i]z=1 $$ Suy ra $z=\frac{1}{-5+2i}=\frac{-5}{29}-\frac{2}{29}i$
- Đặt nhân tử chung, đưa về dạng $az+b=0$ chúng ta được $$ [3[2-i]-2i[1+i]]z=-1+3i $$ Rút gọn được $[8-5i]z=-1+3i$, suy ra nghiệm của phương trình là $$z=\frac{-1+3i}{8-5i}=\frac{-23}{89}+\frac{19}{89}i$$
Ví dụ 2: Giải phương trình $$\frac{2+i}{1-i}z=\frac{-1+3i}{2+i}.$$
SIÊU SALE - SIÊU SALEHướng dẫn.
SIÊU SALE - SIÊU SALECó thể rút gọn trực tiếp $\frac{2+i}{1-i}$ và $\frac{-1+3i}{2+i}.$ Tuy nhiên, cách làm đó chắc chắn xuất hiện phân số, nên chúng ta sẽ nhân chéo để tránh xuất hiện phép chia hai số phức. Phương trình đã cho trở thành $$[2+i][2+i]z=[-1+3i][1-i]$$ hay chính là $[3+4i]z=2+4i$. Suy ra, nghiệm của phương trình là $$z=\frac{2+4i}{3+4i}=\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i.$$
SIÊU SALE - SIÊU SALE2.2. Phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.
Phương pháp giải. Tính $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, lúc này ta xét 2 trường hợp sau:
SIÊU SALE - SIÊU SALE- Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.
- Nếu $\Delta \ne 0$ thì giả sử $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta $. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
$${{z}_{1}}=\frac{-b-\delta }{2a};{{z}_{2}}=\frac{-b+\delta }{2a}$$
SIÊU SALE - SIÊU SALEChú ý rằng hệ thức Viét vẫn đúng với phương trình bậc hai ẩn phức, do đó có thể nhẩm nghiệm hoặc tính giá trị biểu thức đối xứng với hai nghiệm z1, z2 như đối với phương trình ẩn thực như bình thường.
SIÊU SALE - SIÊU SALE
Ví dụ 1: Giải các phương trình bậc hai sau
SIÊU SALE - SIÊU SALE- ${{z}^{2}}+2z+5=0$
- ${{z}^{2}}+[1-3i]z-2[1+i]=0$
- ${{z}^{2}}-2[1+i]z-2i-3=0$
- $i{{z}^{2}}-4z-i+4=0$
Ví dụ 2: Cho phương trình
SIÊU SALE - SIÊU SALE$${{z}^{2}}+\left[ \sqrt{3}-1-i \right]z-\sqrt{3}\left[ 1+i \right]=0$$
SIÊU SALE - SIÊU SALEGiả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{2}}+\frac{1}{z_{2}^{2}}$
Luyện tập: Cho phương trình ${{z}^{2}}+\left[ 3-2i \right]z+5\left[ 1-i \right]=0$. Giả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{{}}}+\frac{1}{z_{2}^{{}}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$
SIÊU SALE - SIÊU SALEVí dụ 3: Giải hệ phương trình
SIÊU SALE - SIÊU SALE$$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4+i \\
z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=5-2i \\
\end{cases}$$
Luyện tập: Giải hệ phương trình
SIÊU SALE - SIÊU SALE$$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=8-8i \\
z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=63-16i \end{cases}$$
Ví dụ 4: Giả sử phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ với $b,c\in R$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi các điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ trên mặt phảng toạ độ $Oxy$. Tìm điều kiện của $b$ và $c$ để tam giác $OM_1M_2$ vuông cân tại đỉnh $O$.
SIÊU SALE - SIÊU SALENhận xét. Nếu phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thì chúng phải có dạng $${{z}_{1}}=m+ni;{{z}_{2}}=m-ni$$
SIÊU SALE - SIÊU SALEDo đó luôn có tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ cân đỉnh $O$. Để tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ vuông cân thì một trong hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ phải có một argument là $45^\circ$ hoặc $135^\circ$ do đó $m=\pm n$.
SIÊU SALE - SIÊU SALE
Một số phương trình có dạng đặc biệt, ngoài cách làm trên có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải
SIÊU SALE - SIÊU SALEVí dụ: Giải phương trình
SIÊU SALE - SIÊU SALE$${{\left[ \frac{z+i}{z-i} \right]}^{4}}=-1$$
SIÊU SALE - SIÊU SALE2.3. Phương trình bậc ba $a{{z}^{3}}+b{{z}^{2}}+cz+d=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.
Ví dụ 1: Giải phương trình $\left[ iz+\frac{1}{2i} \right]\left[ \left[ 2-i \right]\overline{z}+i+3 \right]=0$
SIÊU SALE - SIÊU SALENhận xét: Trên cơ sở ví dụ 1, khi giải phương trình bậc ba ẩn phức em chỉ cần nhẩm nghiệm rồi biến đổi phương trình về dạng tích.
SIÊU SALE - SIÊU SALEVí dụ 2: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2[1+i]{{z}^{2}}+3iz+1-i=0$$
Hướng dẫn: nhận thấy $a+b+c+d=0$ nên $z=1$ là một nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2i{{z}^{2}}+z-2i=0$$
Hướng dẫn: Dùng định lí Bezout nhẩm được 1 nghiệm là $z=1$.
Nếu các hệ số của phương trình đều là số thực thì bấm Casio để tìm một nghiệm.
SIÊU SALE - SIÊU SALEVí dụ 4: Giải các phương trình
SIÊU SALE - SIÊU SALE- $2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+z-1=0$
- ${{z}^{3}}+i{{z}^{2}}-iz+1=0$
2.4. Phương trình trùng phương $a{{z}^{4}}+b{{z}^{2}}+c=0$ với hệ số phức, $a\ne 0 $.
Phương pháp: Chỉ cần đặt $t={{z}^{2}}$ tương tự như với phương trình thực nhưng không có điều kiện $t\ge 0$
SIÊU SALE - SIÊU SALEChú ý: Một số phương trình chưa có sẵn dạng trùng phương như trên thì phải thực hiện các phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng trùng phương
SIÊU SALE - SIÊU SALE
Ví dụ: Giải các phương trình
SIÊU SALE - SIÊU SALE- ${{\left[ \frac{z+i}{z-i} \right]}^{4}}=-1$
- ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+\frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$
- ${{z}^{4}}+5{{z}^{3}}-4{{z}^{2}}+5z+1=0$
2.5. Một số dạng phương trình có chứa $z;\overline{z};\left| z \right|$.
Phương pháp: Chỉ cần giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in R$ rồi sử dụng điều kiện bằng nhau của hai số phức để lập và giải hệ hai phương trình hai ẩn $x,y\in R$