Cách vẽ bảng biến thiên lớp 12
|
1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Show i) Tìm tập xác định của hàm số. ii) Sự biến thiên + Xét sự biến thiên của hàm số - Tìm đạo hàm bậc nhất \(y'\) ; - Tìm các điểm tại đó \(y'\) bằng 0 hoặc không xác định ; - Xét dấu \(y'\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số. + Tìm cực trị. + Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có). + Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị iii) Vẽ đồ thị (thể hiện các cực trị, tiệm cận, giao của đồ thị với các trục, . . .) 2. Bảng tóm tắt một số dạng đồ thị thường gặp  3. Tương giao của các đồ thị Cho hai đồ thị \((C_{1}):y=f(x);\) và \((C_{2}):y=g(x).\) Phương trình xác định hoành độ giao điểm của \((C_{1})\) và \((C_{2})\) là: \(f(x)=g(x).\) (1) - Nếu (1) vô nghiệm thì \((C_{1})\) và \((C_{2})\) không có điểm chung (không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau). - Nếu (1) có \(n\) nghiệm phân biệt thì \((C_{1})\) và \((C_{2})\) giao nhau tại \(n\) điểm phân biệt. Nghiệm của (1) chính là hoành độ các giao điểm. Chú ý a) \((C_{1})\) tiếp xúc với \((C_{2})\) \(\Leftrightarrow\) hệ \(\left\{ \begin{matrix} f(x) =g(x)& \\ f'(x)=g'(x) & \end{matrix}\right.\) có nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó. b) Đường thẳng (d): y: mx+n tiếp xúc với parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) (\(a\ne 0\)) \(\Leftrightarrow\) hệ \(\left\{ \begin{matrix} ax^{2}+bx+c=mx+n \\ 2ax+b=m \end{matrix}\right.\) có nghiệm \(\Leftrightarrow\) phương trình \(ax^{2}+bx+c=mx+n\) có nghiệm kép. Dành cho chương trình nâng cao 1. Chứng minh \((x_{0};y_{0})\) là tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng. Vậy để chứng minh \(I(x_{0};y_{0})\) là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục: \(\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=y_{0}+Y & \end{matrix}\right.\) để đưa hệ trục \(Oxy\) về hệ trục \(IXY\) (gốc \(I\)) và chứng minh: trong hệ trục \(IXY\), hàm số đã cho có dạng \(Y=g(X)\) là hàm số lẻ. Chú ý: \(M(x,y)\in (C)\Leftrightarrow y=f(x)\) \(\Leftrightarrow Y+y_{0}=f(X+x_{0})\Leftrightarrow Y=g(X)\) 2. Chứng minh đường thẳng \(\Delta : x=x_{0}\) là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng \(\Delta : x=x_{0}\) là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục \(\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=Y & \end{matrix}\right.\) để đưa hệ số \(Oxy\) về hệ trục \(IXY\) (\(\Delta\) là trục tung) và chứng minh: trong hệ trục \(IXY\), hàm số đã cho có dạng \(Y=g(X)\) là hàm số chẵn. Loigiaihay.com
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số I. Sơ đồ khảo sát hàm số (tổng quát)1. Tập xác định.Tìm tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên.- Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm y' + Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định + Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số y - Tìm cực trị - Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) - Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên). 3. Đồ thị.Dựa vào bảng biến thiên, các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. Có thể khảo sát thêm các yếu tố sau để có đồ thị chính xác hơn: • Tương giao với các trục. • Tính đối xứng (nếu có). • Điểm đặc biệt (nếu cần). • Điểm uốn. Định nghĩa : Điểm U (\(x_0;f\left(x_0\right)\)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm \(x_0\) sao cho trên một trong hai khoảng (\(a;x_0\)) và (\(x_0;b\)) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. Mệnh đề (Cách tìm điểm uốn): Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa \(x_0\), \(f"\left(x_0\right)\) và \(f"\left(x\right)\) đổi dấu khi qua điểm \(x_0\) thì U (\(x_0;f\left(x_0\right)\)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\). II. Các Dạng Đồ Thị Khảo SátIII. Ví dụ minh họaVí dụ 1 : Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-4\) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-1\right|}\) Bài giải : a. Tập xác định : D = R Sự biến thiên : * Chiều biến thiên : Ta có \(y'=3x^2+6x\) \(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=-2\end{array}\right.\) \(y'< 0\Leftrightarrow-2< x< 0\) và \(y'>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x< -2\\x>0\end{array}\right.\) Suy ra hàm số đồng biên trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\); Hàm nghịch biến trên \(\left(-2;0\right)\) * Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2,y_{CD}=0\) đạt cực tiểu tại \(x=0,y_{CT}=-4\) * Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-\infty\) * Bảng biến thiên : x y' y - 8 -2 0 + 8 + - + 0 0 0 -4 - 8 + 8 * Đồ thị : Đồ thị (C) của hàm số cắt trục hoành tại A(1;0) b. Ta có \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-\right|}\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=m,x\ne1\) Xét hàm số \(f\left(x\right)=\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=\begin{cases}x^3+3x^2-4;x>1\\-\left(x^3+3x^2-4\right);x< 1\end{cases}\) Suy ra đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) gồm phần đồ thị (C) với x > 1 và đối xứng phần đồ thị (C) với x < 1 qua Ox Dựa vào đồ thị suy ra : * m < 0 phương trình vô nghiệm * m = 0 phương trình có 1 nghiệm * 0 < m < 4 phương trình có 4 nghiệm * m = 4 phương trình có 3 nghiệm * m > 4 phương trình có 2 nghiệm Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-1\) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Tìm m để phương trình \(\left|x^4-2x^2-1\right|=2m\) có 6 nghiệm phân biệt Bài giải : a. Tập xác định : D = R Ta có \(y'=4x\left(x^2-1\right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\Rightarrow y=-1\\x=\pm1\Rightarrow y=-2\end{array}\right.\) Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=+\infty\) Bảng biến thiên Hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(0;1\right)\) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;y_{CD}=-1\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm1;y_{ct}=-2\) Đồ thị : Do hàm số \(y=x^{ }-2x^2-1\) là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng b. Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị \(\begin{cases}\left(C'\right):y=\left|x^4-2x^2-1\right|\\\Delta:y=2m;\Delta\backslash\backslash Ox\end{cases}\) Ta có đồ thị : Dựa vào (C'), suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi : \(1< 2m< 2\Leftrightarrow\frac{1}{2}< m< 1\) Ví dụ 3 : Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\) Bài giải : a. Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{2\right\}\) Sự biến thiên : * Chiều biến thiên : Ta có \(y'=\frac{1}{\left(x-2\right)^2}>0;x\ne2\) suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\) * Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\) \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\frac{-x+1}{x-2}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{-x+1}{x-2}=-\infty\) * Tiệm cận : Đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=-1\); đường tiệm cận đứng là \(x=2\) * Bảng biến thiên :
* Đồ thị : Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (0;1); cắt trục tung tại \(\left(0;-\frac{1}{2}\right)\) và nhận giao điểm I(2;-1) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng b. Ta có \(x=\pm2\) không là nghiệm của phương trình nên : \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\Leftrightarrow m=\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}\) Xét hàm số \(\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}=y\) có đồ thị (C) Khi đó đồ thị \(\left(C_1\right)\) gồm : - Phần bên trên trục hoành và bên phải trục tung của đồ thị (C) - Phần ở phía dưới trục hoành, bên phải trục tung của đồ thị (C) lấy đối xứng qua trục hoành - Phần bên trên trục hoành và bên trái trục tung của đồ thị (C) - Phần ở phía dưới trục hoành, bên trái trục tung của đồ thị (C) lấy đối xứng qua trục hoành Từ đồ thị ta có * Với \(0< m< \frac{1}{2}\) và \(m>\frac{1}{2}\) thì phương trình có 4 nghiệm riêng biệt * Với m = 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt * Với \(m=\frac{1}{2}\) thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt * Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm IV. Tài liệu đọc thêm:Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Các dạng toán về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số |
