Chứng minh “Tứ giác nội tiếp” là một trong những dạng toán thông dụng và thường xuyên gặp phải của các bạn học sinh trong các bài kiểm tra cũng như các kỳ thi quan trọng.
Để các bạn củng cố lại kiến thức, cũng như tự tin khi gặp phải các dạng toán này, chúng tôi INVERT đã tổng hợp được 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp nhanh và đơn giản nhất. Hãy cùng theo chân chúng tôi để biết rõ hơn nhé.
Định nghĩa của tứ giác: Theo hình học phẳng Euclid, tứ giác là một đa giác hình gồm 4 cạnh và 4 đỉnh, trong đó không có bất kì 2 đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng. Tứ giác đơn có thể lồi hay lõm. Tổng các góc trong của tứ giác đơn ABCD bằng 360 độ.
Định lý của tứ giác nội tiếp: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ.
Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn
Hệ quả của tứ giác nội tiếp:
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Căn cứ vào định nghĩa, định lý cùng các dấu hiệu và hệ quả về tứ giác nội tiếp chúng tôi đã nêu ở trên . Dưới đây, là 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn mà chúng tôi đã tổng hợp được. Cụ thể các cách đó như sau:
Cách 1: Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°
Chúng ta tiến hành chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp: Từ định nghĩa của tứ giác nội tiếp ta có thể suy ra nội dung của phương pháp này như sau: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp”.
Hệ quả của phương pháp này
Cho tứ giác ABCD:
- Nếu BAD = BCD = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BD hoặc ACD = ABC = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AC
- Nếu tổng hai góc kề bù EAD = BCD thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, chúng ta cần chứng minh ∠A + ∠C = 180° hoặc ∠B + ∠D = 180°, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong tại đỉnh C [tức là góc C của tứ giác đó] vì góc A và góc C đối đỉnh thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Đặc biệt ở cách làm này bạn phải chú ý vẽ đúng hình, đúng góc để có thể đưa ra kết quả đúng và tiếp tục làm các câu tiếp theo.
Chứng minh hai đỉnh cùng kề một cạnh, cùng nhìn cạnh đó dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ là tứ giác nội tiếp
Để chứng minh tứ giác ABCD trong phương pháp này nội tiếp, bạn cần đọc kỹ và chú ý đến dữ kiện đề bài đã đưa ra để chứng minh được rằng DAC = DBC = 90 độ và cùng nhìn cạnh DC. Từ đó bạn có thể suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Chứng minh bốn đỉnh của một tứ giác cách đều một điểm xác định là tứ giác nội tiếp
Khi đề bài cho trước tứ giác ABCD có đường tròn tâm O, bán kính R thì bất cứ điểm nào nằm trên đường tròn này đều cách tâm O một khoảng đúng bằng bán kính R. Dựa vào tính chất này, bạn có thể dễ dàng chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn tâm O có bán kính R.
Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD như hình minh hoạ bên dưới
Nếu các bạn chứng minh được điểm O cách đều 4 điểm A, B, C, D với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn. Hay nói cách khác, có thể suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R..
Chứng minh tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối diện bằng nhau là tứ giác nội tiếp
Phương pháp này chính là một trường hợp đặc biệt của phương pháp chứng minh thứ 2.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD và nếu chứng minh được tổng số đo hai góc: A + C = B + D thì có thể suy ra là tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Chứng minh dựa vào phương pháp phản chứng để có thể kết luận là tứ giác nội tiếp
Bạn có thể chứng minh tứ giác ABCD được đề bài cho sẵn theo phương pháp này, thành một trong số các hình đặc biệt là hình thang cân, hình vuông và hình chữ nhật. Sau đó, dựa vào tính chất cơ bản của các hình này, dễ dàng suy ra tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.
Tóm lại, chúng ta chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật hay hình vuông.
- Các bạn nên vẽ hình to, rõ ràng, dễ nhìn và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt.
- Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau cần được đánh dấu rõ ràng hoặc có thể kí hiệu bằng bút khác màu để dễ nhìn hơn.
- Bám vào giả thiết đề bài đưa ra và áp dụng kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả.
- Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán một cách dễ dàng.
- Không dùng những điều bạn đang cần chứng minh để chứng minh ngược lại chúng.
Bài viết trên đây là tất cả các cách mà chúng tôi tổng hợp được để có thể chứng minh tứ giác nội tiếp một cách đơn giản cũng như hiệu quả nhất. Thông qua bài viết trên đây mong rằng các bạn có thể trang bị cũng như cũng cố lại kiến thức cho bản thân để có thể tự tin đối diện và vượt qua các bài kiểm tra với điểm số cao nhất.
Chứng minh “Tứ giác nội tiếp” trong chương trình Toán 9 là dạng bài tập thông dụng, thường xuyên gặp ở các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức và kỹ năng, thầy Nguyễn Quyết Thắng – Giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI đã thực hiện bài giảng để giúp các em lấy trọn điểm phần này. Hãy cùng tìm hiểu!
Chứng minh tứ giác nội tiếp là ta cần chứng minh 4 đỉnh của tứ giác nằm trên cùng một đường tròn. Dạng bài tập này sẽ có nhiều mức độ để thử thách các em học sinh từ trung bình đến giỏi trong chương trình Toán lớp 9. Trong quá trình học và theo dõi bài, người học nên tập trung cao độ, ghi chép đầy đủ để học tập hiệu quả.
Một số kiến thức quan trọng về tứ giác nội tiếp
-
- Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ.
- Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Ngoài ra, ta còn có một số hệ quả:
– Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
– Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
– Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Phương pháp số 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ
Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Nội dung của phương pháp này như sau:“Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp”
Hệ quả của nội dung này là:
Cho tứ giác ABCD:
- Nếu BAD = BCD = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD
- Nếu tổng hai góc kề bù EAD = BCD thì tứ giác ABCD nội tiếp
Phương pháp số 2: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
Ở phương pháp này, học sinh chú ý phải nhìn đúng hình đúng góc, nếu không sẽ bị tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và ảnh hưởng tới những câu tiếp theo. Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc C của tứ giác [góc A và góc C đối đỉnh] thì có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Phương pháp số 3: Chứng minh hai đỉnh cùng kề một cạnh, cùng nhìn cạnh đó dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ
Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằng DAC = DBC = 90 độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Phương pháp số 4: Chứng minh bốn đỉnh của một tứ giác cách đều một điểm xác định
Nếu đề bài cho trước một đường tròn tâm O có bán kính R thì bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn đều cách tâm một khoảng đúng bằng bán kính. Theo thầy Thắng hướng dẫn, dựa vào tính chất này, học sinh có thể dễ dàng chứng minh một tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD.
Nếu học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.
Phương pháp số 5: Tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn
Ví dụ: Cho một tứ giác tứ giác ABCD
Để ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ⇔ góc A + góc C = góc B + góc D. Trong trường hợp đặc biệt tổng các góc đối bằng 180 độ ta có được hệ quả là phương pháp số 1.
Phương pháp số 6: Chứng minh tứ giác thuộc dạng tứ giác đặc biệt
Với phương pháp này, các em học sinh hãy chứng minh tứ giác đề bài đã cho là tứ giác có dạng hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi hoặc hình bình hành,… rồi từ đó suy ra tứ giác đã cho là tứ giác nội tiếp.
Một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếp
- Học sinh nên vẽ hình rõ ràng, dễ nhìn và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt.
- Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau cần được đánh dấu rõ ràng.
- Bám vào giả thiết, kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả.
- Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán.
- Không dùng những điều đang cần chứng minh để chứng minh lại chúng.
Trên đây là 4 phương pháp và những lưu ý giúp học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp đơn giản, hiệu quả hơn. Các em chú ý theo dõi bài giảng và ghi chép đầy đủ để nắm vững kiến thức và áp dụng vào bài tập. Đồng thời, phụ huynh muốn giúp con ôn tập môn Toán cho kỳ thi cuối năm và luyện thi vào 10 hiệu quả, có thể đăng ký cho con một khóa học online tại nhà để tiết kiệm thời gian học thêm ở ngoài.
Tự hào là nền tảng học trực tuyến số 1 dành cho học sinh phổ thông Việt Nam, hiện nay Hệ thống Giáo dục HOCMAI đang triển khai Chương trình Học tốt 2020-2021 nhằm mục đích giúp học sinh trên toàn quốc tiếp cận với kho tài liệu và bài giảng chất lượng đến từ các thầy cô giáo có nhiều năm kinh nghiệm trong nghề. Hãy tham gia chương trình ngay hôm nay để tự tin hơn và bứt phá trong học tập!