Nắm chắc kiến thức cơ bản
Trước khi dẫn dắt, giảng giải cho học sinh giải quyết các bài toán đố, cần ôn tập lại các kiến thức cơ bản, đòi hỏi học sinh phải thành thạo, như:
Tìm phân số của một số; Tìm một số khi biết giá trị của phân số; Tìm tỉ số phần trăm của hai số; Tìm một số khi biết giá trị phần trăm của một số; Tìm hai số khi biết tổng [hiệu] và tỉ của hai số
Tùy theo kĩ năng của người hướng dẫn có thể phân tích bài toán rồi tổng hợp để tìm đáp số, hoặc từ tổng hợp [cái yêu cầu] rồi phân tích dẫn dắt từng bước vận dụng những kiến thức nói trên để tìm kết quả.
Cũng có khi cần áp dụng cả hai để thực hiện, nhất là với những đối tượng HS chưa thông thạo. Giáo viên phân tích bài toán, phân tích dữ liệu giúp học sinh hiểu đề, thấy được cái nào đã cho, dữ liệu nào còn thiếu cần phải đi tìm. Sau đó, giáo viên cần tổng hợp lại để giúp học sinh xác định xem tìm thành phần đó cần vận dụng kiến thức nào.
Những cách giải sáng tạo
Theo thầy Tô Ngọc Sơn, với kiểu bài này, thông thường chúng ta lại đưa vào tìm ẩn số. Gọi số cần tìm là a hoặc x, rồi giải phương trình, chuyển vế để tìm thay vì giúp học sinh nắm tính chất của phân số.
Khi thêm hoặc bớt cả tử và mẫu của phân số đi cùng một số thì hiệu của chúng không thay đổi. Vậy bài toán trên thuộc dạng toán hiệu và tỉ hay tổng tỉ, học sinh sẽ nhận dạng một cách dễ dàng.
Ví dụ 1: Cho phân số 11/26. Hãy tìm một số khi lấy tử cộng số đó và mẫu số cộng với số đó thì được phân số bằng 6/9.
Khi gặp những bài toán này, người dạy thường đưa về dạng phương trình, tìm ẩn số x. Ít khi nghĩ đến dạng toán hiệu tỉ vì hiệu hai số không cho trong bài toán, tỉ số của hai số cũng không nói đến.
Để thấy được hiệu và tỉ của mẫu và tử chúng ta phải dựa vào tính chất của phân số: Khi thêm hoặc bớt cả tử và mẫu của phân số đi cùng một số thì hiệu của chúng không thay đổi và phân số tối giản bằng phân số đã cho chính là tỉ số của tử và mẫu.
Bài toán trên có thể hướng dẫn và giải như sau:
Ví dụ2: Cho phân số 23/45. Hỏi phải thêm tử và bớt mẫu đi cùng một số là bao nhiêu để được 19/15?
Bài toán này thuộc dạng tổng tỉ nhưng không phải đi tìm tổng của tử và mẫu hay tỉ số của tử và mẫu mà là tìm tỉ số của hai tổng.
Tổng tử và mẫu của phân số đã cho: 23 + 45 = 68
Tổng tử và mẫu của phân số mới: 19 + 15 = 34
Tỉ số của hai tổng: 68 : 34 = 2
Tử số mới: 19 x 2 = 38
Vậy số cần thêm hoặc bớt là: 38 - 23 = 15
Dạng bài bớt tử thêm mẫu cũng tiến hành thực hiện các bước giải như trên.
Ví dụ 3: Cho phân số bằng phân số 4/5 . Nếu cộng tử số 28 đơn vị và giữ nguyên mẫu số thì được phân số mới có giá trị bằng 24/23.
Bài toán này thuộc dạng tìm một số khi biết giá trị một phân số, bởi 28 là giá trị của phân số. Phân số đó chính là hiệu của phân số mới và phân số cũ.
Ví dụ 4: Tìm hai phân số có cùng tử số là 1 và mẫu số là hai số tự nhiên liên tiếp sao cho 2/13 nằm giữa hai phân số đó.
Đây là bài toán rất đơn giản chúng ta chỉ cần giúp học sinh nhớ lại kiến thức Tìm phân số bằng nhau là tính được. Có thể giúp HS suy luận như sau:
Vì tử hai phân số đã cho là 1, tử số của phân số nằm giữa là 2 vậy ta đưa hai phân số cần tìm về trường hợp cùng tử là 2 như vậy thì hai mẫu số cần tìm là 12 và 14 sau đó rút gọn là đạt yêu cầu.
Ví dụ 5: Tìm phân số tối giản a/b sao cho nếu thêm 6 vào tử số và thêm 21 vào mẫu số thì giá trị của phân số không thay đổi.
Với bài toán này, có thể gợi nhắc các em từ tính chất cơ bản của phân số cũng có thể tìm kết quả một một cách nhẹ nhàng như sau:
Vì giá trị của phân số không đổi nên hiệu của mẫu và tử hoặc tử và mẫu cũng không đổi. Nên hiệu của số được thêm vào ở tử và mẫu chính là hiệu của phân số đã cho. Và số được thêm vào ở tử và mẫu khi rút gọn cũng sẽ bằng với phân số tối giản đã cho.
Ví dụ 6: Hãy tìm một phân số tối giản, biết rằng nếu cộng thêm mẫu số vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số sẽ tăng lên 4 lần.
Đây thật ra là bài toán: Tìm 2 số khi biết hiệu và tỉ số của 2 số. Nhưng 2 số cần tìm là tử số chứ không phải là tử và mẫu số. Tử số lúc đầu là một phần thì tử số lúc sau là 4 phần [vì giá trị phân số tăng lên 4 lần]; mà hiệu của tử số lúc sau và lúc đầu là mẫu số, tức mẫu số gồm 3 phần. Vậy nếu xem tử lúc đầu là 1 thì tử số lúc sau là 4 và mẫu số là 3. Ta có phân số 1/3.
Có thể trình bày theo cách mới như sau: