NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦYHOẠT ĐỘNG TRÒẩn trở lên. 4. Phương trình chứa thamsố: là phương trình mà ngoài các ẩn còn có các chữ sốkhác được xem như những hằng số và được gọi là thamsố. + Giải và biện luận phươngtrình chứa tham số là xét xem với những giá trò nàocủa tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìmcác nghiệm đó. tham sốSGK trang 54,55.+ Giới thiệu pt nhiều ẩn và nghiệm qua pt 2,3 trang54. + Giới thiệu , pt chứa thamsố và cách tìm nghiệm. + Cho pt: x2-2x+m=0 4 với x là ẩn số, m là mộthằng số. Khi đó 4 là pt chứa tham số, m được gọilà tham số. + Để tìm nghiệm ta giải vàbiện luận pt. + Nghe hiểu ghi nhận.+ Ghi nhận cách giải và biện luận phương trình chứ thamsố.
II. Phương trình tương đương và phương trình hệ
quả: 1. Phương trình tươngđương: hai phương trình được gọi làtương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.Đònh lí: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trêncùng một phương trình mà không làm thay đổi điều kiệncủa nó thì ta được phương trình mới tương đương:1. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng mộtbiểu thức. 2. Nhân hoặc chia hai vế vớicùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn khác0. + Thông thường ta dùng kíhiệu “” để chỉ sự tươngHoạt động 4: Từ hoạt động thực tiễn hình thànhkhái niệm pt tương đương và phép biến đổi tươngđương. + Giao nhiệm vụ cụ thể chocác nhóm thực hiện hđ4, quan sát và sửa chữa kòpthời những sai lầm của HS.+ Đònh nghóa 2 pt tương đương+ Nêu các phép biến đổi tương đương qua đònh lý.Kí hiệu :”⇔” + Trong pt nếu đổi dấu vàchuyển vế một biểu thức có là phép biến đổi tươngđương không? Vì sao?+ Hướng dẫn hđ5. + Xác đònh đk+ Phép biến đổi được thực hiện có làm thay đổi đk củapt không? + Thực hiện hđ4Nhóm 1: câu a. + x2+x=0⇔xx+1=0 pt có 2 nghiệm x=0 và x=-1+4 3x x−+x=0⇔x=0 và x=-1 Vậy hai pt ở câu a. có tậpnghiệm bằng nhau. Nhóm 2: câu b.+ x2-4=0⇔x=±2 + 2+x=0⇔x=-2 Vậy hai pt ở câu b. có tậpnghiệm khác nhau. + Nghe hiểu, xem ví dụ 1.+ Nghe hiểu đònh lý. + Khi chuyển vế và đổi dấumột biểu thức là phép biến đổi tươn đương vì giống vớicộng hay trừ 2 vế với một biểu thức.+ Đk: x≠1. + Khi cộng vào 2 vế biểuthức -1 1x −và rút gọn đã làm mất đk nên phép biếnNỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦYHOẠT ĐỘNG TRÒđương của các phương trình. + Các phép biến đổi trongđònh lý nếu làm thay đổi đk của pt thì không là pbđt.đổi trên không là phép biến đổi tương đương, x=1 khônglà nghiệm. + Rút ra nhận xét.
Lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình tương đương và phương trình hệ quả
Lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình tương đương và phương trình hệ quả
PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
A. Lý thuyết
I. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
II. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a] Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b] Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác \[0\] hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác \[0.\]
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
III. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right]=g\left[ x \right]\] đều là nghiệm của phương trình \[{{f}_{1}}\left[ x \right]={{g}_{1}}\left[ x \right]\] thì phương trình \[{{f}_{1}}\left[ x \right]={{g}_{1}}\left[ x \right]\] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \[f\left[ x \right]=g\left[ x \right].\]
Ta viết
\[f\left[ x \right]=g\left[ x \right]\Rightarrow {{f}_{1}}\left[ x \right]={{g}_{1}}\left[ x \right].\]
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
B. Bài tập minh họa
| Câu 1: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[x+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x-1}\] và $x=1.$ B. \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$ C. \[\sqrt{x}\left[ x+2 \right]=\sqrt{x}\] và $x+2=1.$ D. \[x\left[ x+2 \right]=x\] và $x+2=1.$ |
Giải:
Ÿ Đáp án A. Ta có
Ÿ Đáp án B. Ta có
Do đó, \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án C. Ta có
Do đó, \[\sqrt{x}\left[ x+2 \right]=\sqrt{x}\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án D. Ta có
Do đó, \[x\left[ x+2 \right]=x\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Chọn A
| Câu 2: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1.$ B. \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0.$ C. \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left[ 2-x \right]}^{2}}.$ D. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$ |
Giải:
Ÿ Đáp án A. Ta có
Do đó, \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án B. Ta có
Do đó, \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0$ là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án C. Ta có
Do đó, \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left[ 2-x \right]}^{2}}$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án D. Ta có
Do đó, \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Chọn B.
| Câu 3: Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[x+1={{x}^{2}}-2x\] và $x+2={{\left[ x-1 \right]}^{2}}.$ B. \[3x\sqrt{x+1}=8\sqrt{3-x}\] và \[6x\sqrt{x+1}=16\sqrt{3-x}.\] C. \[x\sqrt{3-2x}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+x\] và \[x\sqrt{3-2x}=x.\] D. \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x=\frac{5}{3}\] |
Giải:
Ta có
Do đó, \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x+2=4{{x}^{2}}\] không phải là cặp phương trình tương đương.
Chọn D
| Câu 4: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $2{{x}^{2}}+mx-2=0$ $\left[ 1 \right]$ và $2{{x}^{3}}+\left[ m+4 \right]{{x}^{2}}+2\left[ m-1 \right]x-4=0$ $\left[ 2 \right]$ . A. $m=2.$ B. $m=3.$ C. $m=\frac{1}{2}.$ D. $m=-2.$ |
Giải:
Ta có $\left[ 2 \right]\Leftrightarrow \left[ x+2 \right]\left[ 2{{x}^{2}}+mx-2 \right]=0\Leftrightarrow
Do hai phương trình tương đương nên $x=-2$ cũng là nghiệm của phương trình $\left[ 1 \right]$.
Thay $x=-2$ vào $\left[ 1 \right]$, ta được $2{{\left[ -2 \right]}^{2}}+m\left[ -2 \right]-2=0\Leftrightarrow m=3$.
Với $m=3$, ta có
$\bullet $ $\left[ 1 \right]$ trở thành $2{{x}^{2}}+3x-2=0\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=\frac{1}{2}.$
$\bullet $ $\left[ 2 \right]$ trở thành $2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow {{\left[ x+2 \right]}^{2}}\left[ 2x+1 \right]=0$ $\Leftrightarrow x=-2$hoặc $x=\frac{1}{2}$.
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=3$ thỏa mãn.
Chọn B.
| Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $m{{x}^{2}}-2\left[ m-1 \right]x+m-2=0$ $\left[ 1 \right]$ và $\left[ m-2 \right]{{x}^{2}}-3x+{{m}^{2}}-15=0$ $\left[ 2 \right]$ . A. $m=-5.$ B. $m=-5;\text{ }m=4.$ C. $m=4.$ D. $m=5.$ |
Giải:
Ta có
Do hai phương trình tương đương nên $x=1$ cũng là nghiệm của phương trình $\left[ 2 \right]$.
Thay $x=1$ vào $\left[ 2 \right]$, ta được
Với $m=-5$, ta có
· $\left[ 1 \right]$ trở thành $-5{{x}^{2}}+12x-7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{5}$ hoặc $x=1$.
· $\left[ 2 \right]$ trở thành $-7{{x}^{2}}-3x+10=0\Leftrightarrow x=-\frac{10}{7}$ hoặc $x=1$.
Suy ra hai phương trình không tương đương
Với $m=4$, ta có
· $\left[ 1 \right]$ trở thành $4{{x}^{2}}-6x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$.
· $\left[ 2 \right]$ trở thành $2{{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$.
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=4$ thỏa mãn.
Chọn C.
| Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai? A. \[\sqrt{x-2}=1\Rightarrow x-2=1.\] B. \[\frac{x\left[ x-1 \right]}{x-1}=1\Rightarrow x=1.\] C. \[\left| 3x-2 \right|=x-3\Rightarrow 8{{x}^{2}}-4x-5=0.\] D. \[\sqrt{x-3}=\sqrt{9-2x}\Rightarrow 3x-12=0.\] |
Giải:
Ta có:
Do đó, phương trình $8{{x}^{2}}-4x-5=0$ không phải là hệ quả của phương trình $\left| 3x-2 \right|=x-3$.
Chọn C
| Câu 7: Cho phương trình $2{{x}^{2}}-x=0$. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? A. \[2x-\frac{x}{1-x}=0.\] B. \[4{{x}^{3}}-x=0.\] C. \[{{\left[ 2{{x}^{2}}-x \right]}^{2}}+{{\left[ x-5 \right]}^{2}}=0.\] D. \[2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x=0.\] |
Giải:
. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ${{S}_{0}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}$.
Xét các đáp án:
Ÿ Đáp án A. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{1}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.
Ÿ Đáp án B. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -\frac{1}{2};0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.
Ÿ Đáp án C. Ta có
[vô nghiệm]. Do đó, tập nghiệm của phương trình là
\[{{S}_{3}}=\varnothing {{S}_{0}}\]
Ÿ Đáp án D. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -1;0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.
Chọn C
| Câu 8: Cho hai phương trình: $x\left[ x-2 \right]=3\left[ x-2 \right]\ \ \ \left[ 1 \right]$ và $\frac{x\left[ x-2 \right]}{x-2}=3\ \ \ \left[ 2 \right]$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phương trình $\left[ 1 \right]$ là hệ quả của phương trình $\left[ 2 \right]$. B. Phương trình $\left[ 1 \right]$ và $\left[ 2 \right]$ là hai phương trình tương đương. C. Phương trình $\left[ 2 \right]$ là hệ quả của phương trình $\left[ 1 \right]$. D. Cả A, B, C đều sai. |
Giải:
Ÿ Phương trình
Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left[ 1 \right]$ là ${{S}_{1}}=\left\{ 2;3 \right\}$.
Ÿ Phương trình
Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left[ 2 \right]$ là ${{S}_{2}}=3$.
Vì ${{S}_{2}}\subset {{S}_{1}}$ nên phương trình $\left[ 1 \right]$ là hệ quả của phương trình $\left[ 2 \right]$.
Chọn A.
C. Bài tập tự luyện
Câu 1. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 2. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-4=0$?
A. $\left[ 2+x \right]\left[ -{{x}^{2}}+2x+1 \right]=0.$ B. $\left[ x-2 \right]\left[ {{x}^{2}}+3x+2 \right]=0.$
C. $\sqrt{{{x}^{2}}-3}=1.$ D. ${{x}^{2}}-4x+4=0.$
Câu 3. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-3x=0$?
A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}.\] B. \[{{x}^{2}}+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}.\]
C. \[{{x}^{2}}\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}.\] D. \[{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\]
Câu 4. Cho phương trình $\left[ {{x}^{2}}+1 \right]\left[ x1 \right]\left[ x+1 \right]=0$. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ?
A. \[x-1=0.\] B. \[x+1=0.\] C. \[{{x}^{2}}+1=0.\] D. $\left[ x1 \right]\left[ x+1 \right]=0.$
Câu 5. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình \[x+\frac{1}{x}=1\]?
A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x}=-1.\] B. \[\left| 2x-1 \right|+\sqrt{2x+1}=0.\]
C. \[x\sqrt{x-5}=0.\] D. \[7+\sqrt{6x-1}=-18.\]
Câu 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}-\sqrt{x-2}.\] B. \[\sqrt{x-1}=3x\Leftrightarrow x-1=9{{x}^{2}}.\]
C. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}+\sqrt{x-2}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}\text{.}\] D. $\frac{2x-3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2x-3={{\left[ x-1 \right]}^{2}}.$
Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \[\sqrt{x-1}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x-1=0.\] B. \[{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x-1}}=0.\]
C. \[\left| x-2 \right|=\left| x+1 \right|\Leftrightarrow {{\left[ x-2 \right]}^{2}}={{\left[ x+1 \right]}^{2}}.\] D. \[{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=1.\]
Câu 8. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. \[x+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x-1}\] và $x=1.$ B. \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$
C. \[\sqrt{x}\left[ x+2 \right]=\sqrt{x}\] và $x+2=1.$ D. \[x\left[ x+2 \right]=x\] và $x+2=1.$
Câu 9. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1.$ B. \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0.$
C. \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left[ 2-x \right]}^{2}}.$ D. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$
Câu 10. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. \[x+1={{x}^{2}}-2x\] và $x+2={{\left[ x-1 \right]}^{2}}.$
B. \[3x\sqrt{x+1}=8\sqrt{3-x}\] và \[6x\sqrt{x+1}=16\sqrt{3-x}.\]
C. \[x\sqrt{3-2x}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+x\] và \[x\sqrt{3-2x}=x.\]
D. \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x=\frac{5}{3}\]
Đáp án bài tập tự luyện
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | C | D | D | C | A | D | A | B | D |