Bài viết Các dạng bài tập về hàm số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.
- Lý thuyết
1. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y thì y được gọi là hàm số của x, x là biến số. Ta viết:
y = f[x]; y = g[x]…
Ví dụ: y = 2x + 4; y = -3x + 5 là hàm số của y theo x.
Chú ý: Khi x thay đổi mà y không thay đổi thì hàm số y = f[x] là hàm hằng.
2. Điều kiện xác định của hàm số
Điều kiện xác định của hàm số y = f[x] là tất cả các giá trị của x sao cho f[x] có nghĩa.
3. Giá trị của hàm số
Giá trị của hàm số f[x] tại điểm x0 là y0=fx0.
4. Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số y = f[x] là tập hợp tất cả các điểm M[x; y] trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho x, y thỏa mãn y = f[x].
5. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] có tập xác định là ℝ.
- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f[x] tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f[x] là hàm số đồng biến trên ℝ.
- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f[x] tương ứng giảm thì hàm số y = f[x] là hàm số nghịch biến trên ℝ.
- Nếu x10.
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau
- y=2x−13x−5
- y=2x+1+1x+2
- y=1+3−xx+3.
Lời giải:
- Hàm số y=2x−13x−5 xác định khi và chỉ khi
3x−5≠0
⇔3x≠5
⇔x≠5:3
⇔x≠53
Vậy điều kiện xác định của hàm số là x≠53.
- Hàm số y=2x+1+1x+2 xác định khi và chỉ khi
2x+1≥0x+2≠0
⇔2x≥−1x≠−2
⇔x≥−1:2x≠−2
⇔x≥−12x≠−2
⇒x≥−12
Vậy điều kiện xác định của hàm số là x≥−12.
- Hàm số y=1+3−xx+3 xác định khi và chỉ khi:
3−x≥0x+3≠0
⇔−x≥−3x≠−3
⇔x≤3x≠−3
Vậy điều kiện xác định của hàm số là x≤3 và x≠−3.
Dạng 2: Tính giá trị hàm số tại một điểm
Phương pháp giải: Để tính giá trị hàm số y = f[x] tại điểm x0 ta thay x = x0 vào y = f[x] được y0=fx0
Ví dụ 1: Tính giá trị hàm số
- y = f[x] = x3+3x−2 tại x0= 1
- y = f[x] = 3x+1 tại x0=2.
Lời giải:
- y = f[x] = x3+3x−2
Thay x = x0 = 1 vào hàm số ta được:
f1=13+3.1−2 = 1 + 3 – 2 = 2
Vậy với x0 = 1 thì giá trị hàm số là 2.
- y = f[x] = 3x+1
Thay x = x0=2 vào hàm số ta được:
f2=3.2+1=7
Vậy với x0=2 thì giá trị hàm số là 7.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = f[x] = 3x+1+mx2−2x+3 có f[3] = f[-1] với m là tham số.
Lời giải:
Thay x = 3 ta có:
f3=33+1+m.32−2.3+3
⇔f3=6+9m−6+3
⇔f3=9m+3
Thay x = -1 ta có:
f−1=3−1+1+m.−12−2.−1+3
⇔f−1=0+m+2+3
⇔f−1=m+5
Vì f[3] = f[-1] nên ta có:
9m + 3 = m + 5
⇔9m – m = 5 – 3
⇔8m = 2
⇔m = 2 : 8
⇔m = 14
Vậy m = 14 thì f[3] = f[-1].
Dạng 3: Biểu diễn tọa độ một điểm trên hệ trục tọa độ Oxy
Phương pháp giải: Biểu diễn điểm Mx0;y0
Bước 1: Xác định x0 sau đó vẽ một đường thẳng song song với Oy đi qua x0
Bước 2: Xác định y0 sau đó vẽ một đường thẳng song song với Ox đi qua y0
Bước 3: Tọa độ điểm M chính là giao của hai đường thẳng trên.
Ví dụ 1: Biểu diễn các điểm sau trên hệ trục tọa độ:
A2;3; B12;−2; C−3;2
Lời giải:
Ví dụ 2: Trong các điểm M[1; -1]; N[2; 0], P[-2; 2] điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=12x2
Lời giải:
- Xét điểm M[1; -1] có x = 1 và y = -1
Thay x = 1 vào hàm số ta được y=12.12=12≠−1
Vậy M không thuộc đồ thị hàm số
- Xét điểm N[2; 0] có x = 2; y = 0
Thay x = 2 vào hàm số ta được y=12.22=12.4=2≠0
Vậy điểm N không thuộc đồ thị hàm số
- Xét điểm P[-2; 2] có x = -2; y = 2
Thay x = -2 vào hàm số ta được y=12.−22=12.4=2
Vậy điểm P thuộc đồ thị hàm số.
Dạng 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp giải: Để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số ta xét dấu của T, với T=fx2−fx1x2−x1 và x1,x2∈ℝ
Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên ℝ.
Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ.
Ví dụ : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số sau
- y = f[x] = 3x + 1
- y = f[x] = -6x – 3.
Lời giải:
- Tập xác định của hàm số là ℝ
Với x1,x2∈ℝ ta có:
fx1=3x1+1
fx2=3x2+1
Xét T=fx2−fx1x2−x1=3x2+1−3x1+1x2−x1
\=3x2+1−3x1−1x2−x1=3x2−3x1x2−x1
\=3x2−x1x2−x1=3>0
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên ℝ.
- Tập xác định của hàm số là ℝ
Với x1,x2∈ℝ ta có:
fx1=−6x1−3
fx2=−6x2−3
Xét T=fx2−fx1x2−x1=−6x2−3−−6x1−3x2−x1
\=−6x2−3+6x1+3x2−x1=−6x2+6x1x2−x1
\=−6x2−x1x2−x1=−6