Phương trình dạng \[ax + b = 0,\]với a và b là hai số đã cho và \[a \ne 0,\] được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể:
- Nhân cả hai vế với cùng một số khác $0.$
- Chia cả hai vế cho cùng một số khác $0.$
Phương trình dạng \[ax + b = 0\] với \[a \ne 0\] luôn có một nghiệm duy nhất \[x = - \dfrac{b}{a}.\]
Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Bước 1: Chuyển vế \[ax = -b\]
Bước 2: Chia hai vế cho \[a\] ta được: \[x = \dfrac{-b}{a}\]
Bước 3: Kết luận nghiệm: \[S = \left \{ \dfrac{-b}{a} \right \}\]
Tổng quát phương trình \[ax+b=0\] [với \[a\ne0\]] được giải như sau:
\[ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b \Leftrightarrow x = \dfrac{-b}{a}\]
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là \[x= \dfrac{-b}{a} \]
Chú ý:
Cho phương trình \[ax + b = 0\] \[\left[ 1 \right].\]
+ Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\] thì phương trình \[\left[ 1 \right]\] có vô số nghiệm
+ Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\] thì phương trình \[\left[ 1 \right]\] vô nghiệm
+Nếu \[a \ne 0\] phương trình \[\left[ 1 \right]\] có nghiệm duy nhất \[x = - \dfrac{b}{a}\].
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp:
Ta sử dụng định nghĩa: Phương trình dạng \[ax + b = 0,\]với a và b là hai số đã cho và \[a \ne 0,\] được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương pháp:
Ta dùng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải phương trình.
Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn:
Cho phương trình \[ax + b = 0\] \[\left[ 1 \right]\] .
+ Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\] thì phương trình \[\left[ 1 \right]\] có vô số nghiệm
+ Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\] thì phương trình \[\left[ 1 \right]\] vô nghiệm
+ Nếu \[a \ne 0\] thì phương trình \[\left[ 1 \right]\] có nghiệm duy nhất \[x = - \dfrac{b}{a}\].
Dạng 3: Giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp:
Cách giải phương trình đưa được về dạng $ax + b = 0$:
* Nếu phương trình có mẫu số thì ta thực hiện các bước:
+ Quy đồng mẫu hai vế
+ Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu
+ Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia
+ Thu gọn và giải phương trình nhận được.
* Nếu phương trình không chứa mẫu thì ta sử dụng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phá ngoặc và sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi.
* Nếu phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì ta phá dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng
\[\left| A \right| = m\,\,\left[ {m \ge 0} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A = - m\end{array} \right.\] .
Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ:
Phương trình $2x +3 = 0 $là phương trình bậc nhất ẩn $x $.
Phương trình $2y - 4 = 2$ là phương trình bậc nhất ẩn $y$.
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình
- Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Ví dụ: Giải phương trình $x + 3 = 0$
Giải:
Ta có $ x + 3 = 0 ⇔ x = - 3.$ [chuyển hạng tử + 3 từ vế trái sang vế phải và đổi thành - 3 ta được $x = - 3 $]
- Quy tắc nhân với một số
Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ: Giải phương trình$ \frac{x}{2} = - 2.$
Giải:
Ta có $\frac{x}{2} = - 2 ⇔ 2. \frac{x}{2}= - 2.2 ⇔ x = - 4$. [nhân cả hai vế với số 2 ta được x = - 4 ]
3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Cách giải:
Bước 1: Chuyển vế ax = - b.
Bước 2: Chia hai vế cho a ta được: x = - b/a.
Bước 3: Kết luận nghiệm: S = { - b/a }.
Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:
ax + b = 0 ⇔ ax = - b ⇔ x = - b/a.
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { - b/a }.
Ví dụ: Giải phương trình sau: $2x - 3 = 3.$
Giải:
Ta có: $2x - 3 = 3 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = \frac{6}{2} = 3.$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { 3 }.
II. Để giải các phương trình đưa được về ax + b = 0 ta thường biến đổi phương trình như sau:
Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu [nếu có]
Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax = c.
Bước 3: Tìm x
Chú ý: Quá trình biến đổi phương trình về dạng ax = c có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0 nếu: