Bài toán về sự tương giao của 2 đồ thị

Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\].

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \[h\left[ x \right] = f\left[ x \right] - g\left[ x \right]\] trên TXĐ.

+ Tính \[h'\left[ x \right]\], giải phương trình \[h'\left[ x \right] = 0\] tìm các nghiệm và các điểm \[h'\left[ x \right]\] không xác định.

+ Xét dấu \[h'\left[ x \right]\] và lập bảng biến thiên.

- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\].

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[h\left[ x \right]\] với trục hoành [đường thẳng \[y = 0\]]

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình \[f\left[ x \right] = g\left[ m \right]\] có nghiệm trên đoạn cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

+ Tính \[f'\left[ x \right]\], giải phương trình \[f'\left[ x \right] = 0\] tìm các nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và các điểm \[f'\left[ x \right]\] không xác định.

+ Xét dấu \[f'\left[ x \right]\] và lập bảng biến thiên.

- Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình \[f\left[ x \right] = g\left[ m \right]\] có một, hai,… nghiệm là đường thẳng \[y = g\left[ m \right]\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\], từ đó suy ra điều kiện của \[g\left[ m \right]\].

- Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn \[m\] ở trên và tìm điều kiện của \[m\].

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba \[y = f\left[ x \right] = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] cắt trục hoành.

[Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \[m\] và \[x\]]

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = 0\]

- Bước 2: Tính \[y' = 3a{x^2} + 2bx + c,\Delta ' = {b^2} - 3ac\]

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có nghiệm:

+] Phương trình có \[1\] nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left[ {{x_1}} \right].f\left[ {{x_2}} \right] > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\] với \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[y' = 0\].

+] Phương trình có 2 nghiệm nếu \[f\left[ {{x_1}} \right] = 0\] hoặc \[f\left[ {{x_2}} \right] = 0\] với \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[y' = 0\].

+] Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left[ {{x_1}} \right].f\left[ {{x_2}} \right] < 0\end{array} \right.\]

- Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của \[m\].

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 \[y = f\left[ x \right] = a{x^4} + b{x^2} + c\] cắt trục hoành.

[Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \[m\] và \[x\]]

- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = 0\]

- Bước 2: Đặt \[t = {x^2} \ge 0\], phương trình trở thành \[a{t^2} + bt + c = 0\left[ * \right]\].

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:

+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu [*] có hai nghiệm phân biệt dương \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\]

+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu [*] có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng \[0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P = 0\end{array} \right.\]

+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu [*] có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu [*] có 1 nghiệm kép bằng \[0\] hoặc có 1 nghiệm bằng \[0\] và 1 nghiệm âm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\S = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu [*] vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm hoặc nghiệm kép âm\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\].

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Lý thuyết - Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị y=f[x], y=g[x] là nghiệm của hệ \[\left\{\begin{matrix} y=f[x]\\ y=g[x] \end{matrix}\right.\] - Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y =f[x], y=g[x] là f[x] = g[x] Nhận xét: Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm phương trình f[x] = g[x] - y=f[x], y=g[x] tiếp xúc nhau suy ra hệ \[\left\{\begin{matrix} f[x]=g[x]\\ f'[x]=g'[x] \ co \ nghiem \end{matrix}\right.\] II. Bài tập VD1: Cho \[y=\frac{x}{x-1}\] Tìm m đểm y = -x + m cắt [C] tại 2 điểm phân biệt. Giải Xét pt hoành độ giao điểm \[y=\frac{x}{x-1}=-x+m\] ĐK: \[x\neq 1\] \[\Leftrightarrow x=-x^2+x+mx-m\] \[\Leftrightarrow x^2-mx+m=0 \ \ [1]\] đt \[y=-x+m\] cắt [C] tại 2 điểm phân biệt thì [1] có 2 nghiệm phân biệt \[\neq 1\] \[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =m^2-4m>0\\ 1-m+m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2-4m>0\] \[\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m4 \end{matrix}\] VD2: Cho \[y=\frac{x}{x-1} \ [C]\]. Tìm m để y = -x + m cắt [C] tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của đồ thị. Giải PT hoành độ giao điểm \[\frac{x}{x-1} =-x+m\] ĐK: \[x\neq 1\] \[\Leftrightarrow x^2-mx+m=0 \ [1]\] Để \[y=-x+m\] cắt [C] tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khi [1] có 2 nghiệm phân biệt khác 1, thỏa mãn \[x_14\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m>2\\ m0\\ 2-[4-m]+1-m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+8>0\\ -1\neq 0 \end{matrix}\right.\] Vậy \[\forall m \ y=-2x\] cắt [C] tại 2 điểm phân biệt Gọi A \[A[x_A; -2x_A+m], \ \ B[x_B; -2x_B+m]\] \[d[0;AB]=\frac{\left | m \right |}{\sqrt{[-2]^2+[-1]^2}}=\frac{\left | m \right |}{\sqrt{5}}\] do AB: -2x - y + m = 0

\[AB=\sqrt{[x_A-x_B]^2+[2x_A-2x_B]^2}\] \[=\sqrt{5} \sqrt{[x_A-x_B]^2}\] \[=\sqrt{5} \sqrt{[x_A-x_B]^2-4x_A.x_B}\] \[=\sqrt{5} \sqrt{\left [ \frac{m-4}{2} \right ]^2-4.\frac{1-m}{2}}=\sqrt{5}.\sqrt{\frac{m^2+8}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2} .\sqrt{m^2+8}\] \[S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}.d[O;AB].AB=\frac{1}{4}.\left | m \right |.\sqrt{m^2+8}\] \[S_{\Delta OAB}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\left | m \right |.\sqrt{m^2+8}=\sqrt{3}\] \[\Leftrightarrow m^2[m^2+8]=48\] \[\Leftrightarrow m^4+8m^2-48=0\] \[\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m^2=4\\ m^2=-12 \ [loai] \end{matrix}\] \[\Leftrightarrow m=\pm 2\] Vậy \[m\in \left \{ -2;2 \right \}\]

NỘI DUNG KHÓA HỌC

ĐĂNG KÝ NHẬN EMAIL

ĐĂNG KÝ EMAIL nhận thông tin bài giảng video, đề thi và ưu đãi đặc biệt từ HỌC247

Copyright © 2022 Hoc247.vn Đơn vị chủ quản: Công Ty Cổ Phần Giáo Dục HỌC 247 GPKD: 0313983319 cấp ngày 26/08/2016 tại Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.Hồ Chí Minh Giấy phép Mạng Xã Hội số: 638/GP-BTTTT cấp ngày 29/12/2020 Địa chỉ: P401, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Quận Bình Thạnh, TP. HCM, Việt Nam. Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247

Copyright © 2022 Hoc247.vn

Hotline: 0973 686 401 /Email: support@hoc247.vn

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247