Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 8 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.
BT 1: Biểu thức nào dưới đây là đa thức? Hãy chỉ rõ các hạng tử của mỗi đa thức ấy.
$2x-y^2;$ $3+\dfrac{4}{5}xy+x^4;$ $x^3+\sqrt{xy};$ $y+\dfrac{2}{y};$ $\sqrt{3}x-y;$ $\dfrac{7}{9}x^2y^5.$
$2x-y^2$ là đa thức có hai hạng tử.
$3+\dfrac{4}{5}xy+x^4$ là đa thức có ba hạng tử.
$x^3+\sqrt{xy}$ là đa thức có hai hạng tử.
$y+\dfrac{2}{y}$ không phải là đa thức vì chứa $\dfrac{2}{y}$ $[y$ dưới mẫu].
$\sqrt{3}x-y$ là đa thức có hai hạng tử.
$\dfrac{7}{9}x^2y^5$ là đa thức có một hạng tử. Đây cũng là một đơn thức.
BT 2: Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong mỗi đa thức sau:
- $-x^8-\dfrac{6}{7}xy+3x^2z+5,7z^3-2023.$
- $0,1x^3-\dfrac{5}{9}xy^2+1,6xyz-x^2z.$
- $-x^8-\dfrac{6}{7}xy+3x^2z+5,7z^3-2023$ $=[-1]x^8+\left[-\dfrac{6}{7}\right]xy+3x^2z+5,7z^3+[-2023]$
Các hạng tử của đa thức này là:
+] $[-1]x^8$ có hệ số là $-1$ và bậc là $8.$
+] $\left[-\dfrac{6}{7}\right]xy$ có hệ số là $-\dfrac{6}{7}$ và bậc là $1+1=2.$
+] $3x^2z$ có hệ số là $3$ và bậc là $2+1=3.$
+] $5,7z^3$ có hệ số là $5,7$ và bậc là $3.$
+] $-2023$ có hệ số là $-2023$ và bậc là $0.$
- $0,1x^3-\dfrac{5}{9}xy^2+1,6xyz-x^2z$ $=0,1x^3+\left[-\dfrac{5}{9}\right]xy^2+1,6xyz+[-1]x^2z$
Các hạng tử của đa thức này là:
+] $0,1x^3$ có hệ số là $0,1$ và bậc là $3.$
+] $\left[-\dfrac{5}{9}\right]xy^2$ có hệ số là $-\dfrac{5}{9}$ và bậc là $1+2=3.$
+] $1,6xyz$ có hệ số là $1,6$ và bậc là $1+1+1=3.$
+] $[-1]x^2z$ có hệ số là $-1$ và bậc là $2+1=3.$
BT 3: Cho đa thức $M=x^2y-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{2}{3}x^2yz^5+8x^2y+\dfrac{2}{3}x^2yz^5.$
- Thu gọn đa thức $M.$
- Tìm bậc của đa thức $M.$
- Tính giá trị của $M$ khi $x=1,$ $y=3,$ $z=2023.$
- Thu gọn:
$M=x^2y-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{2}{3}x^2yz^5+8x^2y+\dfrac{2}{3}x^2yz^5$
$=x^2y+8x^2y-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{2}{3}x^2yz^5+\dfrac{2}{3}x^2yz^5$
$=[x^2y+8x^2y]-\dfrac{1}{3}y-\left[\dfrac{2}{3}x^2yz^5-\dfrac{2}{3}x^2yz^5\right]$
$=9x^2y-\dfrac{1}{3}y-0$
$=9x^2y-\dfrac{1}{3}y$
Vậy $M=9x^2y-\dfrac{1}{3}y.$
- Đa thức $M$ có hai hạng tử là:
+] $9x^2y$ có bậc là $2+1=3;$
+] $-\dfrac{1}{3}y$ có bậc là $1.$
Vì $3>1$ nên bậc của đa thức $M$ là $3.$
- Thay $x=1,$ $y=3,$ $z=2023$ vào $M=9x^2y-\dfrac{1}{3}y$ ta được:
$M=9\cdot 1^2\cdot 3-\dfrac{1}{3}\cdot 3$ $=9\cdot 1\cdot 3-1$ $=27-1$ $=26.$
Vậy khi $x=1,$ $y=3,$ $z=2023$ thì $M=26.$
BT 4: Tìm bậc của mỗi đa thức sau:
- $A=x+\dfrac{3}{4}y^2+128z^3.$
- $B=\dfrac{7}{15}xyz+6y^2-\dfrac{14}{30}xyz+\dfrac{1}{9}y^2-x.$
- $A=x+\dfrac{3}{4}y^2+128z^3$ là đa thức đã thu gọn có các hạng tử là:
+] $x$ có bậc là $1;$
+] $\dfrac{3}{4}y^2$ có bậc là $2;$
+] $128z^3$ có bậc là $3.$
Trong các số [chỉ bậc] trên thì bậc $3$ là lớn nhất nên bậc của đa thức $A$ là $3.$
- $B=\dfrac{7}{15}xyz+6y^2-\dfrac{14}{30}xyz+\dfrac{1}{9}y^2-x$
$\bigstar$ Thu gọn:
$B=\dfrac{7}{15}xyz+6y^2-\dfrac{14}{30}xyz+\dfrac{1}{9}y^2-x$
$=\dfrac{7}{15}xyz-\dfrac{14}{30}xyz+6y^2+\dfrac{1}{9}y^2-x$
$=\left[\dfrac{7}{15}xyz-\dfrac{14}{30}xyz\right]+\left[6y^2+\dfrac{1}{9}y^2\right]-x$
$=\left[\dfrac{7}{15}-\dfrac{14}{30}\right]xyz+\left[6+\dfrac{1}{9}\right]y^2-x$
$=0xyz+\dfrac{55}{9}y^2-x$
$=\dfrac{55}{9}y^2-x.$
Vậy $B=\dfrac{55}{9}y^2-x.$
$\bigstar$ Tìm bậc:
Đa thức $B$ có các hạng tử là:
+] $\dfrac{55}{9}y^2$ có bậc là $2.$
+] $-x$ có bậc là $1.$
Vì $2>1$ nên bậc của $B$ là $2.$
BT 5: Cho đa thức $Q=1,5xy^2z+\dfrac{7}{6}xz^3+5x^2z-0,3xy^2+\dfrac{1}{3}xz^3-\dfrac{3}{2}xy^2z.$
- Thu gọn và tìm bậc của đa thức $Q.$
- Tính giá trị của đa thức $Q$ tại $x=-\dfrac{1}{2},$ $y=0,$ $z=2.$
a]
$\bigstar$ Thu gọn:
$Q=1,5xy^2z+\dfrac{7}{6}xz^3+5x^2z-0,3xy^2+\dfrac{1}{3}xz^3-\dfrac{3}{2}xy^2z$
$=1,5xy^2z-\dfrac{3}{2}xy^2z+\dfrac{7}{6}xz^3+\dfrac{1}{3}xz^3+5x^2z-0,3xy^2$
$=\left[1,5xy^2z-\dfrac{3}{2}xy^2z\right]+\left[\dfrac{7}{6}xz^3+\dfrac{1}{3}xz^3\right]+5x^2z-0,3xy^2$
$=\left[1,5-\dfrac{3}{2}\right]xy^2z+\left[\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{3}\right]xz^3+5x^2z-0,3xy^2$
$=0xy^2z+\dfrac{3}{2}xz^3+5x^2z-0,3xy^2$
$=\dfrac{3}{2}xz^3+5x^2z-0,3xy^2$
Vậy $Q=\dfrac{3}{2}xz^3+5x^2z-0,3xy^2$
$\bigstar$ Tìm bậc:
Đa thức $Q$ có các hạng tử là:
+] $\dfrac{3}{2}xz^3$ có bậc là $1+3=4.$
+] $5x^2z$ có bậc là $2+1=3.$
+] $-0,3xy^2$ có bậc là $1+2=3.$
Vì $4$ là số lớn nhất trong các số chỉ bậc trên nên bậc của $Q$ là $4.$
- Thay $x=-\dfrac{1}{2},$ $y=0,$ $z=2$ vào $Q=\dfrac{3}{2}xz^3+5x^2z-0,3xy^2,$ ta được:
$Q=\dfrac{3}{2}\cdot \left[-\dfrac{1}{2}\right]\cdot 2^3+5\cdot \left[-\dfrac{1}{2}\right]^2\cdot 2-0,3\cdot \left[-\dfrac{1}{2}\right]\cdot 0^2$ $=\dfrac{3}{2}\cdot \left[-\dfrac{1}{2}\right]\cdot 8+5\cdot \dfrac{1}{4}\cdot 2-0$ $=-6+\dfrac{5}{2}$ $=\dfrac{-7}{2}.$
Vậy $Q=\dfrac{-7}{2}$ tại $x=-\dfrac{1}{2},$ $y=0,$ $z=2.$
BT 6: Bà Khanh mua $x$ hộp sữa và $y$ hộp kẹo. Biết mỗi hộp sữa có giá $19\;000$ đồng và mỗi hộp kẹo có giá $32\;000$ đồng. Viết biểu thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả để mua sữa và kẹo vừa nêu.
Số tiền bà Khanh phải trả để mua sữa và kẹo là: $19000x+32000y$ [đồng]
Mức độ TRUNG BÌNH:
BT 7: Biểu thức nào là đa thức trong các biểu thức sau?
$2023-2024;$ $\dfrac{\sqrt{2023}}{x}-x;$ $\dfrac{x}{\sqrt{2023}}-x;$ $[\sqrt{7}+7]x^2-y\sqrt{5};$ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}x^2y-y^2x;$ $\dfrac{30}{x-y-z};$ $7y\sqrt{2}-2,5x^2+2\dfrac{4}{9}.$
+] $2023-2024$ là đa thức.
+] $\dfrac{\sqrt{2023}}{x}-x$ không phải đa thức vì chứa $x$ dưới mẫu.
+] $\dfrac{x}{\sqrt{2023}}-x=\dfrac{1}{\sqrt{2023}}x-x$ là đa thức.
+] $[\sqrt{7}+7]x^2-y\sqrt{5}$ là đa thức.
+] $\dfrac{1}{\sqrt{3}}x^2y-y^2x$ là đa thức.
+] $\dfrac{30}{x-y-z}$ không phải đa thức vì chứa $x-y-z$ dưới mẫu.
+] $7y\sqrt{2}-2,5x^2+2\dfrac{4}{9}$ là đa thức.
BT 8: Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong đa thức $R=x^2-2xy\sqrt{2}+[1+\sqrt{3}]xy^3-\dfrac{2\sqrt{3}}{7}.$ Từ đó, tìm bậc của đa thức $R.$
$R$ có các hạng tử là:
+] $x^2$ có hệ số là $1$ và bậc là $2.$
+] $-2xy\sqrt{2}=-2\sqrt{2}xy$ có hệ số là $-2\sqrt{2}$ và bậc là $1+1=2.$
+] $[1+\sqrt{3}]xy^3$ có hệ số là $1+\sqrt{3}$ và bậc là $1+3=4.$
+] $-\dfrac{2\sqrt{3}}{7}$ có hệ số là $-\dfrac{2\sqrt{3}}{7}$ và bậc là $0.$
Số $4$ là lớn nhất trong các số chỉ bậc trên nên đa thức $R$ có bậc $4.$
BT 9: Cho biểu thức $M=x\cdot 2^3-xy\sqrt{5}+\dfrac{x}{3}+\sqrt{5}xy.$
- $M$ có phải là đa thức không? Nếu $M$ là đa thức, hãy tìm bậc của nó.
- Tính giá trị của $M$ tại $x=-\dfrac{1}{25},$ $y=-\dfrac{1}{24}.$
- $M$ là đa thức.
Ta có:
$M=x\cdot 2^3-xy\sqrt{5}+\dfrac{x}{3}+\sqrt{5}xy$ $=8x-\sqrt{5}xy+\dfrac{1}{3}x+\sqrt{5}xy$ $=8x+\dfrac{1}{3}x-\sqrt{5}xy+\sqrt{5}xy$ $=\left[8+\dfrac{1}{3}\right]x+0$ $=\dfrac{25}{3}x$
Vậy $M=\dfrac{25}{3}x$ và có bậc là $1.$
- Thay $x=-\dfrac{1}{25},$ $y=-\dfrac{1}{24}$ vào $M=\dfrac{25}{3}x,$ ta được: $M=\dfrac{25}{3}\cdot \left[-\dfrac{1}{25}\right]=-\dfrac{1}{3}.$
BT 10: Bà Khanh dự định mua $x$ hộp sữa [mỗi hộp giá $21$ nghìn đồng] và $y$ hộp kẹo [mỗi hộp giá $32$ nghìn đồng]. Nhưng khi đến cửa hàng, bà Khanh thấy giá sữa đã giảm $2$ nghìn đồng mỗi hộp [giá kẹo như cũ] nên quyết định mua thêm $3$ hộp sữa và bớt đi $1$ hộp kẹo. Viết biểu thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả cho cửa hàng.
Sữa giảm $2$ nghìn đồng mỗi hộp nên giá mỗi hộp sữa tại cửa hàng là $21-2=19$ [nghìn đồng].
Giá kẹo như cũ nên giá mỗi hộp kẹo tại cửa hàng vẫn là $32$ nghìn đồng.
Tại cửa hàng, bà Khanh quyết định mua thêm $3$ hộp sữa và bớt đi $1$ hộp kẹo. Vậy bà Khanh đã mua $x+3$ hộp sữa và $y-1$ hộp kẹo.
Vậy số tền bà Khanh phải trả cho cửa hàng là $[x+3]\cdot 19+[y-1]\cdot 32$ [nghìn đồng].
Thu gọn biểu thức trên: $[x+3]\cdot 19+[y-1]\cdot 32$ $=x\cdot 19+3\cdot 19+y\cdot 32-1\cdot 32$ $=19x+57+32y-1$ $=19x+32y+57-1$ $=19x+32y+56.$
Vậy biểu thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả cho cửa hàng là $19x+32y+56$ [nghìn đồng].
BT 11: Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước [tính theo $cm]$ như hình sau:
- Viết đa thức $S$ biểu thị tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật đó.
- Tính giá trị của $S$ tại $a=2\;cm$ và $h=5\;cm.$
- Tổng diện tích các mặt chính là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật.
Chu vi đáy: $[3a+2a]\cdot 2=5a\cdot 2=10a.$
Diện tích xung quanh: $10a\cdot h=10ah.$
Tổng diện tích hai đáy: $3a\cdot 2a\cdot 2=12a^2.$
Suy ra tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật đó là $S=12a^2+10ah.$
Đa thức cần tìm là $S=12a^2+10ah.$
- Thay $a=2$ và $h=5$ vào $S=12a^2+10ah,$ ta được:
$S=12\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 5$ $=12\cdot 4+100$ $=24+100$ $=124.$
Vậy $S=124$ tại $a=2$ và $h=5.$
BT 12: Một hình chữ nhật có chiều rộng là $x\;[m]$ và chiều dài là $y\;[m].$
- Viết biểu thức $S$ và biểu thức $P$ lần lượt biểu thị diện tích và chu vi của hình chữ nhật đó.
- Nếu tăng chiều rộng của hình chữ nhật đó lên $3$ lần và giữ nguyên chiều dài thì được một hình chữ nhật mới. Viết biểu thức $P_m$ biểu thị chu vi của hình chữ nhật mới.
- $S=xy\;\;[m^2]$ và $P=2[x+y]\;\;[m].$
- Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật mới lần lượt là $3x\;\;[m]$ và $y\;\;[m].$
Do đó, chu vi của hình chữ nhật mới là $2[3x+y]=6x+2y\;\;[m].$
Vậy $P_m=6x+2y.$
BT 13: Giữa một cái sân hình vuông cạnh $a$ mét, người ta xây một bồn hoa hình vuông có cạnh $b$ mét $[a>b].$
- Viết đa thức $S$ biểu thị diện tích còn lại của cái sân.
- Tìm bậc của đa thức $S.$
- Tính giá trị của $S$ tại $a=40\;[m]$ và $b=12\;[m].$
- Diện tích các sân là $a^2\;\;[m^2].$
Diện tích bồn hoa là $b^2\;\;[m^2].$
Suy ra diện tích còn lại của cái sân là $a^2-b^2\;\;[m^2].$
Vậy $S=a^2-b^2.$
- Đa thức $S$ có các hạng tử là:
+] $a^2$ có bậc $2;$
+] $-b^2$ có bậc $2.$
Suy ra đa thức $S$ có bậc $2.$
- Thay $a=40$ và $b=12$ vào $S=a^2-b^2,$ ta được:
$S=40^2-12^2$ $=1600-144$ $=1456.$
Mức độ KHÓ:
BT 14: Cho đa thức $A=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3.$
- Xác định bậc của đa thức $A.$
- Tính giá trị của đa thức $A$ tại $x, y$ thỏa mãn $2x=3y$ và $x-2y=-1.$
- Đa thức $A$ có các hạng tử là:
+] $x^3$ có bậc là $3;$
+] $-6x^2y$ có bậc là $2+1=3;$
+] $12xy^2$ có bậc là $1+2=3;$
+] $-8y^3$ có bậc là $3.$
Vậy đa thức $A$ có bậc $3.$
$\bigstar$ Trước tiên, ta tìm $x,y$ thỏa mãn $2x=3y$ và $x-2y=-1.$
Vì $2x=3y$ nên $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}.$
Dựa vào tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-2y}{3-2\cdot 2}=\dfrac{-1}{-1}=1.$
Suy ra $x=3$ và $y=2.$
$\bigstar$ Tại $x=3$ và $y=2$ thì $A=3^3-6\cdot 3^2\cdot 2+12\cdot 3\cdot 2^2-8\cdot 2^3$ $=27-6\cdot 9\cdot 2+12\cdot 3\cdot 4-8\cdot 8$ $=27-108+144-64$ $=-1.$
BT 15: Một bể nước có ba vòi chảy vào và một vòi chảy ra. Vòi thứ nhất mỗi phút chảy vào $x$ lít nước. Vòi thứ hai cứ hai phút chảy vào $y$ lít nước. Vòi thứ ba cứ ba phút chảy vào $z$ lít nước. Vòi thứ tư chảy ra cứ bốn phút chảy mất $t$ lít nước.
- Viết biểu thức $V$ biểu thị lượng nước có thêm trong bể khi mở cả bốn vòi trong thời gian $a$ phút.
- Tính giá trị của $V$ tại $x=20,$ $y=60,$ $z=45,$ $t=40$ và $a=15.$
- Vòi thứ nhất mỗi phút chảy vào $x$ lít nước nên $a$ phút chảy vào $ax$ lít nước.
Vòi thứ hai cứ hai phút chảy vào $y$ lít nước nên $a$ phút chảy vào $\dfrac{ay}{2}$ lít nước.
Vòi thứ ba cứ ba phút chảy vào $z$ lít nước nên $a$ phút chảy vào $\dfrac{az}{3}$ lít nước.
Vòi thứ tư cứ bốn phút chảy ra mất $t$ lít nước nên $a$ phút chảy ra mất $\dfrac{at}{4}$ lít nước.
Do đó, nếu mở cả bốn vòi thì sau $a$ phút bể có thêm $ax+\dfrac{ay}{2}+\dfrac{az}{3}-\dfrac{at}{4}$ lít nước.
Vậy $V=ax+\dfrac{ay}{2}+\dfrac{az}{3}-\dfrac{at}{4}$ $=a\left[x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}-\dfrac{t}{4}\right]$
- Tại $x=20,$ $y=60,$ $z=45,$ $t=40$ và $a=15$ thì $V=15\cdot \left[20+\dfrac{60}{2}+\dfrac{45}{3}-\dfrac{40}{4}\right]=825.$