Cho tập hợp \[A = \left\{ {1;\,\,2;\,......;\,\,9;\,\,10} \right\}.\] Một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là:
- A \[C_{10}^2\]
- B \[\left\{ {1;\,\,2} \right\}\]
- C \[2!\]
- D \[A_{10}^2\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Một tổ hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử là tập hợp gồm \[k\] phần tử của \[n\] phần tử đã cho.
Lời giải chi tiết:
Ta có tập hợp \[\left\{ {1;\,\,2} \right\}\] là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của tập \[A.\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 2 :
Cho tập A có 20 phần tử. Số tập con của A có 2 phần tử là:
- A \[{20^2}\]
- B \[{2^{20}}\]
- C \[C_{20}^2\]
- D \[A_{20}^2\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Áp dụng khái niệm tổ hợp.
Lời giải chi tiết:
Lấy 2 phần tử trong 20 phần tử có \[C_{20}^2\] cách.
Vậy tập hợp A có \[C_{20}^2\] tập con có 2 phần tử.
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 3 :
Với \[n\] là số nguyên dương tùy ý lớn hơn \[1,\] mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A \[C_n^2 = \frac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}.\]
- B \[C_n^2 = n\left[ {n - 1} \right].\]
- C \[C_n^2 = 2n.\]
- D \[C_n^2 = \frac{{n!\left[ {n - 1} \right]!}}{2}.\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính \[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left[ {n - k} \right]!}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!.\left[ {n - 2} \right]!}} = \frac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}\].
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 4 :
Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần gấp một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập?
- A \[30240.\]
- B \[25.\]
- C \[50.\]
- D \[252.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổ hợp.
Lời giải chi tiết:
Lập một đoàn đại biểu gồm 5 người từ 10 người có \[C_{10}^5 = 252\] cách.
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 5 :
Cho tập hợp M có 2020 phần tử. Số tập con của M có 2 phần tử là:
- A \[A_{2020}^2\]
- B \[{2^{2020}}\]
- C \[C_{2020}^2\]
- D \[{2020^2}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Số cách chọn \[k\] phần tử trong số \[n\] phần tử có số cách chọn là \[C_n^k.\]
Lời giải chi tiết:
Số cách chọn 2 phần tử trong số 2020 phần tử có số cách chọn là \[C_{2020}^2.\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 6 :
Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó?
- A \[{2^9}\]
- B \[C_9^2\]
- C \[{9^2}\]
- D \[A_9^2\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Chọn k học sinh trong n học sinh theo thứ tự có \[A_n^k\] cách chọn \[\left[ {k < n,\,\,\,k \in \mathbb{N},\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right].\]
Lời giải chi tiết:
Chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó có \[A_9^2\] cách chọn.
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 7 :
Giả sử \[k,\,\,n\] là các số nguyên bất kì thỏa mãn \[1 \le k \le n.\] Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A \[C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!}}\]
- B \[C_n^k = kC_n^{k - 1}\]
- C \[C_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left[ {n - k} \right]!}}\]
- D \[C_n^k = C_n^{n - k}\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức và tính chất của tổ hợp để chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết:
Công thức tổ hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử là: \[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left[ {n - k} \right]!}}\] \[ \Rightarrow \] Đáp án A và C sai.
Tính chất: \[C_n^k = C_n^{n - k}\] \[ \Rightarrow \] Đáp án B sai.
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 8 :
Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ.
- A \[1140\]
- B \[2920\]
- C \[1900\]
- D \[900\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Thực hiện 2 phương án:
- Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam.
- Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ.
Sau đó áp dụng quy tắc cộng.
Lời giải chi tiết:
Để chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữa ta có các phương án sau:
Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam, có \[C_{10}^1.C_{20}^2\] cách thực hiện.
Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ, có \[C_{10}^2.C_{20}^1\] cách thực hiện.
Theo quy tắc cộng, ta có: \[C_{10}^1.C_{20}^2 + C_{10}^2.C_{20}^1 = 2920\] cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 9 :
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?
- A \[C_{10}^2.\]
- B \[A_{10}^2\]
- C \[{10^2}.\]
- D \[{2^{10}}.\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Chọn \[k\] học sinh trong số \[n\] học sinh có số cách chọn là: \[C_n^k\] cách chọn.
Lời giải chi tiết:
Số cách chọn \[2\] học sinh trong \[10\] học sinh là:\[C_{10}^2\] cách chọn.
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 10 :
Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang ?
- A \[C_7^1\].
- B \[C_7^7\].
- C \[{P_7}\].
- D \[A_7^1\].
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng phép hoán vị.
Lời giải chi tiết:
Có \[{P_7}\] cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang.
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 11 :
Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn A, B, C vào một dãy ghế hàng ngang có 4 chỗ ngồi?
- A 4 cách.
- B 64 cách.
- C 6 cách.
- D 24 cách.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính chỉnh hợp.
Lời giải chi tiết:
Có 3 bạn xếp vào 4 chỗ ngồi thì có \[P_4^3 = 24\] cách xếp chỗ.
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 12 :
Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh ?
- A \[A_{15}^4.\]
- B \[{4^{15}}.\]
- C \[{15^4}.\]
- D \[C_{15}^4.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng phép tổ hợp.
Lời giải chi tiết:
Số cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh là: \[\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 13 :
Trong một nhóm có 6 nam và 4 nữ. Số cách chọn ra hai người có cả nam và nữ là:
- A \[10\].
- B \[45\].
- C \[90\].
- D \[24\].
Đáp án: D
Phương pháp giải:
- Chọn 1 học sinh nam trong 6 học sinh nam.
- Chọn 1 học sinh nữ trong 4 học sinh nữ.
- Áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết:
Chọn 1 học sinh nam có 6 cách.
Chọn 1 học sinh nữ có 4 cách.
Vậy số cách chọn ra hai người có cả nam và nữ là: \[4.6 = 24\] [cách].
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 14 :
Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?
- A \[14\]
- B \[48\]
- C \[6\]
- D \[8\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Tính tổng số học sinh. Số cách chọn một học sinh trong số \[n\] học sinh là: \[C_n^1.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có số học sinh là: \[6 + 8 = 14\] [học sinh].
Như vậy có \[C_{14}^1 = 14\] cách chọn một học sinh.
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 15 :
Một nhóm học sinh gồm 9 học sinh nam và \[x\] học sinh nữ. Biết rằng có 15 cách chọn ra một học sinh từ nhóm học sinh trên, khi đó giá trị của \[x\] là:
- A \[24\]
- B \[6\]
- C \[12\]
- D \[225\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc cộng.
Lời giải chi tiết:
Để chọn ra một học sinh ta có 2 phương án thực hiện:
Phương án 1: Chọn một học sinh nam, có 9 cách chọn.
Phương án 2: Chọn một học sinh nữ, có \[x\] cách chọn.
Theo quy tắc cộng, ta có: \[9 + x\] cách chọn ra một học sinh
Theo bài ra, ta có: \[9 + x = 15 \Leftrightarrow x = 6\].
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 16 :
Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ?
- A \[120\]
- B \[168\]
- C \[288\]
- D \[364\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Thực hiện 2 phương án:
- Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
- Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ.
Sau đó áp dụng quy tắc cộng.
Lời giải chi tiết:
Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ, có \[C_6^2.C_8^1 = 120\] cách thực hiện.
Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ, có \[C_6^1.C_8^2 = 168\] cách thực hiện.
Theo quy tắc cộng, ta có: \[120 + 168 = 288\] cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 17 :
Cho tập \[A\] gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của tập \[A\] là
- A \[{5^{10}}\]
- B \[A_{10}^5\]
- C \[C_{10}^5\]
- D \[{P_5}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng khái niệm tổ hợp: Giả sử tập hợp \[A\] có \[n\] phần tử \[\left[ {n \ge 1} \right]\]. Mỗi tập hợp con gồm \[k\] phần tử của \[A\] được gọi là một tổ hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử\[\left[ {C_n^k} \right]\] đã cho.
Lời giải chi tiết:
Số tập hợp con có 5 phần tử là số cách chọn 5 trong 10 phần tử
\[ \Rightarrow \] Có \[C_{10}^5\] tập con gồm 5 phần tử của tập \[A\].
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 18 :
Cho tập hợp \[M\] có \[30\] phần tử. Số tập con gồm \[5\] phần tử của \[M\] là
- A \[A_{30}^4\]
- B \[{30^5}\]
- C \[{5^30}\]
- D \[C_{30}^5\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa tổ hợp: Giả sử tập \[A\] có \[n\] phần tử \[\left[ {n \ge 1} \right]\]. Mỗi tập con gồm \[k\] phần tử của \[A\] được gọi là một tổ hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử \[\left[ {C_n^k} \right]\] đã cho.
Lời giải chi tiết:
Số tập con gồm \[5\] phần tử của \[M\] là \[C_{30}^5\].
Chọn: D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 19 :
Trong lớp học có 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Có bao nhiêu cách chọn đội văn nghệ gồm 6 bạn sao cho số nam bằng số nữ?
- A \[100\].
- B \[255\].
- C \[150\].
- D \[81\].
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tổ hợp.
Lời giải chi tiết:
Để tạo thành 1 đội văn nghệ gồm 6 bạn mà số nam bằng số nữ thì ta cần 3 nam và 3 nữ.
Số cách chọn là: \[C_5^3.C_5^3 = 100\]
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 20 :
Tập hợp \[M\] có 30 phần tử. Số các tập con gồm 5 phần tử của \[M\] là:
- A \[{30^5}\].
- B \[A_{30}^4\].
- C \[C_{30}^5\].
- D \[{30^6}\].
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng khái niệm chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] là số cách chọn \[k\] phần tử khác nhau từ tập hợp có \[n\] phần tử.
Lời giải chi tiết:
Số các tập con gồm 5 phần tử của \[M\] là: \[C_{30}^5\].
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 21 :
Trong mặt phẳng cho 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng
Câu 1:
Số tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm đã cho là
- A \[A_{18}^3\]
- B \[C_{18}^3\]
- C \[6\]
- D \[\dfrac{{18!}}{3}\]
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
- Chọn ra 3 điểm bất kì trong 18 điểm sẽ tạo thành 1 tam giác: \[C_{18}^3\]cách chọn.
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu 2:
Số vectơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập điểm đã cho là
- A \[A_{18}^2\]
- B \[C_{18}^2\]
- C \[9\]
- D \[\dfrac{{18!}}{2}\]
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
Chọn 2 điểm trong 18 điểm và hoán đổi vị trí sẽ tạo thành 1 vec tơ: \[A_{18}^2\]cách.
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 22 :
Công thức tính số hoán vị \[{P_n}\] là
- A \[{P_n} = \left[ {n - 1} \right]!.\]
- B \[{P_n} = \left[ {n + 1} \right]!.\]
- C \[{P_n} = \dfrac{{n!}}{{n - 1}}.\]
- D \[{P_n} = n!.\]
Đáp án: D
Lời giải chi tiết:
\[{P_n} = n!\].
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 23 :
Số [5! – P4] bằng:
- A 5
- B 12
- C 24
- D 96
Đáp án: D
Lời giải chi tiết:
\[5! - {P_4} = 5! - 4! = 96\].
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 24 :
Với \[n\] là số nguyên dương tùy ý lớn hơn \[1,\] mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A \[C_n^2 = \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}\]
- B \[C_n^2 = n\left[ {n - 1} \right]\]
- C \[C_n^2 = 2n\]
- D \[C_n^2 = \dfrac{{n!\left[ {n - 1} \right]!}}{2}\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: \[C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left[ {n - k} \right]!}},\,\,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left[ {n - k} \right]!}}\]
Lời giải chi tiết:
+] Xét đáp án A: \[C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left[ {n - 2} \right]!}} = \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]\left[ {n - 2} \right]!}}{{2\left[ {n - 2} \right]!}} = \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}\]
\[ \Rightarrow \] Đáp án A đúng.
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 25 :
Từ các chữ số \[1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\] lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
- A \[A_7^3\].
- B \[{7^3}\].
- C \[{3^7}\].
- D \[C_7^3\].
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng phép chỉnh hợp.
Lời giải chi tiết:
Từ các chữ số \[1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\] lập được \[A_7^3\] số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau.
Chọn: A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 26 :
Một nhóm học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Số cách chọn 4 học sinh của nhóm để tham gia buổi lao động là
- A \[A_{12}^4.\]
- B \[C_5^4 + C_7^4.\]
- C \[4!\].
- D \[C_{12}^4.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng tổ hợp.
Lời giải chi tiết:
Tổng số học sinh của tổ là \[5 + 7 = 12\] [học sinh].
Vậy số cách lấy 4 học sinh của nhóm để tham gia lao động là \[C_{12}^4.\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 27 :
Tìm các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập \[\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\].
- A \[4005\]
- B \[5004\]
- C \[5040\]
- D \[4050\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng hoán vị.
Lời giải chi tiết:
Số các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập \[\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\] là \[7! = 5040\].
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 28 :
Có bao nhiêu cách xếp 6 người vào một bàn tròn có 6 chỗ ngồi?
- A 120.
- B 360.
- C 150.
- D 720.
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
Lấy một người làm mốc.
Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí: 5!.
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 29 :
Số các hoán vị của dãy \[a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\] mà phần tử đầu tiên bằng \[a\] là:
- A \[5!\]
- B \[4!\]
- C \[3!\]
- D \[2!\]
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
Phần tử đầu tiên cố định là a
\[ \Rightarrow \] Hoán vị 4 phần tử b,c,d,e còn lại ta có: 4! Cách
\[ \Rightarrow \] Có: \[1.4!\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 30 :
Trong mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt. Hỏi có tất cả bao nhiêu vectơ khác vectơ không mà có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2019 điểm trên ?
- A \[\dfrac{{2019!}}{{2!.2017!}}.\]
- B \[\dfrac{{2019!}}{{2!}}.\]
- C \[\dfrac{{2017!}}{{2019!}}.\]
- D \[\dfrac{{2019!}}{{2017!}}.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổ hợp \[C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.\left[ {n - k} \right]!}}\].
Lời giải chi tiết:
Cứ 2 điểm bất kì trong 2019 điểm đã cho sẽ tạo thành 2 véotơ khác véctơ không.
Do đó có tất cả số véctơ là: \[2.C_{2019}^2 = 2.\dfrac{{2019!}}{{2!.2017!}} = \dfrac{{2019!}}{{2017!}}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Xem thêm
\>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi [Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD] tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.