Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [ – ∞; – 1] và [ 0; 1]
Do [ 2; – 1] ⊂ [ – ∞; – 1] nên hàm số đồng biến trên khoảng [ – 2; – 1]
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho hàm số f[x] có bảng biến thiên sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. [ 1; + ∞] B. [ – ∞; + ∞] C. [ 3; 4]
D. [ 2; +∞]
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [ – ∞; 3] và [ 3; + ∞]
Mà [ 3; 4] ⊂ [ 3; +∞] nên trên khoảng [ 3; 4] hàm số đồng biến
Chọn C.
Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số [không chứa tham số]
Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{1-x}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right]$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right]$.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$.
Lời giải
Chọn D.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y’=\frac{2}{{{[1-x]}^{2}}}>0\text{, }\forall x\ne 1$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $[-\infty ;1]$và $[1;+\infty ]$
Câu 2. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+5x-2$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $[5;+\infty ]$
B. $\left[ 2;3 \right]$
C. $\left[ -\infty ;1 \right]$
D. $\left[ 1;5 \right]$
Lời giải
Chọn D.
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$.
$y’ = {x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Trên khoảng$\left[ 1;5 \right],\text{ }y' 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
- Nếu f'[x] < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
- Nếu f'[x] = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K
II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu [đồng biến, nghịch biến] của hàm số
° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể [không có tham số]
* Phương pháp:
- Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f'[x]
- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.
- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên
- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12]: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a]
b]
c]
° Lời giải:
a]
- Tập xác định : D = R
- Ta có: y' = 3 – 2x
- Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.
- Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4
- Ta có bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng [-∞; 3/2] và nghịch biến trong khoảng [3/2;+∞].
b]
- Tập xác định: D = R
- Ta có: y' = x2 + 6x - 7
- Cho y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7
- Tại x = 1 ⇒ y = [-17]/3; Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.
- Ta có bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng [-∞;-7] và [1;+∞]; nghịch biến trong khoảng [-7;1].
c]
- Tập xác định: D = R
- Ta có: y'= 4x3 – 4x.
- Cho y' = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x[x – 1][x + 1] = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1
- Tại x = 0 ⇒ y = 3; Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2
- Ta có bảng biến thiên:
* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12]: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a]
c]
° Lời giải:
a]
- Tập xác định: D = R {1}
- Ta có:
Vì y' không xác định tại x = 1
- Ta có bảng biến thiên sau:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-∞;1] và [1;+∞].
b] Học sinh tự làm
c]
- Tập xác định: D = [-∞;-4]∪[5;+∞]
- Ta có:
- Cho
y' không xác định tại x = -4 và x = 5
- Ta có bảng biến thiên sau
- Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng [-∞;-4]; đồng biến trong khoảng [5;+∞].
d] Học sinh tự làm
° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m
* Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH
* Phương pháp:
• Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d; [a≠0].
+ Tính f'[x] =3ax2 + 2bx + c, khi đó:
- Hàm đa thức bậc ba y=f[x] đồng biến trên R
- Hàm đa thức bậc ba y=f[x] nghịch biến trên R
• Đối với hàm phân thức bậc nhất:
+ Tính
- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay [ad-bc]>0
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'