Tác giả: Trần Mạnh Tường Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 A. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
- Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì, lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Trong hình vẽ trên, ta có thể thấy P Q n p; ;
- Một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng: Có 3 phương pháp sau đây hay được sử dụng để tính giá trị góc giữa hai mặt phẳng.
- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. Kinh nghiệm: Muốn sử dụng được phương pháp này thì ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm đã cho của bài toán thì ta có thể xác định hoặc dựng được 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng mà bài toán yêu cầu tính góc giữa chúng hay không?
- Phương pháp 2: Xác định góc. Ý tưởng của phương pháp này là ta dựng rõ hình hài của góc giữa hai đường thẳng, sau đó dùng các hệ thức lượng để tính giá trị của góc này. Kinh nghiệm: Cách này thường dùng khi 2 mặt phẳng có thể xác định được giao tuyến và có các yếu tố vuông góc. Có 2 loại phương pháp khi sử dụng phương pháp này.
- ] Phương pháp xác định góc loại 1: Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳngBước 2: Chọn 1 điểm I thích hợp trên , từ I ta dựng
2 đường thẳng, đường thẳng a nằm trên mặt phẳng P
và vuông góc với , đường thẳng b nằm trên mặt phẳng
Q và vuông góc với .
Khi đó P Q a b; ;
b
a
[Δ]
[P]
I [Q]
- ] Phương pháp xác định góc loại 2: Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳngBước 2: Chọn 1 điểm M thích hợp nằm trên 1 trong 2 mặtphẳng, từ điểm M dựng hình chiếu vuông góc H đến mặt
phẳng còn lại.
Bước 3: Dựng hình chiếu vuông góc I của điểm M hoặcđiểm H đến giao tuyến .
Khi đó P Q MIH;
- Phương pháp 3: Dùng khoảng cách.
Cho hai mặt phẳng P Q d .
Từ A P , dựng AK d AH Q ; .
Khi đó d AKH nên P Q AKH; .
Khi đó sin AH AK
, hay
####### ;
sin ;
d A Q d A d
Bình luận: Phương pháp này có ưu điểm là ta không cần xác định rõ hình hài của góc giữa hai mặt phẳng, chỉ cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và điểm đến đường thẳng, các khoảng cách này lại cũng có thể tính thông qua tỉ số giữa diện tích tam giác với một cạnh hoặc tỉ số giữa thể tích một đa diện với diện tích của 1 mặt.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: [Phương pháp xác định góc loại 1] Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều
cạnh a. A A A B A C a' ' ' 2 . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BB CC', '. Xác định cosin
của góc giữa A BC' và A MN' .
####### A. 3
####### 15
####### . B. 8 3.
####### 15
####### C. 8 3
####### 15
####### . D. 4 3
####### 15
Lời giải Chọn B
Phân tích: Rõ ràng hai mặt phẳng A BC' và A MN' có điểm chung là A'và có BC MN, là
2 đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng có thể xác định dễ dàng. Từ đó ta đi theo ý tưởng sử dụng phương pháp “ xác định góc”. Lại do các tam giác như A BC A MN A B C' , ' , ' ' 'là
các tam giác cân nên từ A'ta có thể thấy xuất hiện nhiều đường thẳng cùng vuông góc với giao
tuyến. Từ đó ta có thể lựa chọn “Phương pháp xác định góc loại 1”
Gọi K là trung điểm của BC. Do tam giác ABCđều và tam giác ABC cân tại A nên
[Δ]
[P]
[Q]
M
I H
P
Q
d
A α
H
K
Qua các phân tích trên, ta thấy rằng việc lựa chọn phương pháp khoảng cách có thể sẽ hợp lí hơn. Sau đây, ta sẽ cùng tìm hiểu cách vận dụng phương pháp này: Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt
đáy ABC. Vì A A A B A C nên H chính là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác,trong tam giác ABC có BA BC , ABC 1200 nêntâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm đốixứng của điểm B qua trung điểm M của đoạn AC.
Ta có hình vẽ
Vì là góc giữa hai mặt phẳng ABBA và
BCC B nên
####### ,
sin ,
d A BCC B d A BB
#######
#######
#######
####### .
Trong đó:
####### -
####### //
####### //
####### AA BB
####### AH BC
#######
#######
#######
####### //
####### //
####### AA BCC B
####### AH BCC B
#######
#######
#######
AHA BCC B //
BCC B ABC
####### , , , 3
####### 2
d A BCC B d A BC d H BC a
- , , 215
####### 4
d A BB d B AA SBAA a AA
#######
#######
####### , 2 5
sin , 5
d A BCC B d A BB
#######
#######
#######
####### .
Câu 3: [Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa] Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA x và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SCD tạo với nhau một góc
####### 60. 0
####### A.
32ax. B.2ax. C. x a. D. x a 2.
Lời giải Chọn C
Phân tích: Rõ ràng ta thấy hai mặt phẳng SBC và SCD có giao tuyến là SC nên có thể nghĩ đến phương pháp xác định góc hoặc phương pháp khoảng cách đều được. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ thử tư duy theo phương pháp dùng định nghĩa để rèn luyện sự linh hoạt của tư duy và sự phong phú của cách làm. Để sử dụng phương pháp dùng định nghĩa, ta cần xác định được 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng này. Ta làm như sau Từ A kẻ AH vuông góc với SB H SB . Ta có SA BCAB BC BC SAB BC AH
mà AH SB
suy ra AH SBC . Từ A kẻ AK vuông góc với SD K SD Tương tự, chứng minh được AK SCD . Như vậy, đến đây ta đã xác định được 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng trên là AH và AK. Khi đó SC AHK suy ra SBC SCD; AH AK HAK; 60. 0 Lại có SAB SAD AH AK mà HAK 600 suy ra tam giác AHK đều. Tam giác SAB vuông tại S, có
22222
111 AH xa. AH SA AB x a Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2. SH SA AH x SH x x a SB x a
Vì HK//BD suy ra
2 222222
- . 2 2
SH HK x xa x x a SB BD x a x a a x a Qua 3 ví dụ trên,chúng ta thấy rằng, để xác định được góc giữa 2 mặt phẳng, chúng ta cần có tư duy linh hoạt, chủ động, nhãn quan sắc bén. Mời độc giả tiếp tục rèn luyện thông qua các ví dụ sau: III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng
####### 3 3 2
####### 4
a
. Gọi P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng P và
ABCD.
- 300. B. 450. C. 600. D. 900.Câu 2: Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành, AB AD BAD3, 4, 120 0. Cạnh bênSA2 3 vuông góc với mặt đáy. Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh SA AD BC, ,.
Tính góc giữa hai mặt phẳng [ ]SBC và [ ]MNP.
- 300. B. 450. C. 600. D. 900.Câu 3: Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông tại C; ABC 30. Tam giác SAC đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc SC sao cho mặt phẳng MAB tạo
với mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABC các góc bằng nhau. Tính
SMMC
####### .
####### A. 2 5
####### 5
####### . B. 5
####### 2
####### . C. 1
####### 3
####### . D. 1
####### 2
####### .
HKCADBSCâu 11: Lăng trụ tam giác ABC A BC. có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và AA AB A C a .
Gọi M là điểm trên cạnh AA sao cho 3 4
AM a. Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng MBC
và ABC là:
####### A.
####### 2
####### 2
. B. 2. C. 1
####### 2
####### . D.
####### 3
####### 2
####### .
Câu 12: Xét khối chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông cân tại A,SA vuông góc với đáy, khoảng cách
từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi là góc giữa mặt phẳng SBC và ABC, tính cos
khi thể tích khối chóp S ABC. nhỏ nhất.
####### A.
cos 13. B. cos 2
####### 2
. C. cos 3
####### 3
. D. cos 23.
####### ĐÁP ÁN
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng
####### 3 3 2
####### 4
a
. Gọi P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng P và
ABCD.
- 300. B. 450. C. 600. D. 900.
Lời giải
Chọn B
Gọi O tâm của hình vuông ABCD ta có SO ABCD .
Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng ta có : P ABCD SC SO CSO, ,
Vì các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác đều có diện tích bằng
####### 3 3 2
####### 4
a nên các cạnh
của hình chóp có độ dài bằng a 3.
Trong tam giác SCO vuông tại Ocó : SC a 3 ,62 2OC AC a
####### .
Suy ra 0 sin 245 2
####### CSO OC CSO
####### SC
#######
Câu 3: Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông tại C; ABC 30. Tam giác SAC đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc SC sao cho mặt phẳng MAB tạo
với mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABC các góc bằng nhau. Tính SM
MC
####### .
####### A. 2 5
####### 5
####### . B. 5
####### 2
####### . C. 1
####### 3
####### . D. 1
####### 2
####### .
Lời giải Chọn B
Gọi H là trung điểm của AC.
####### SAC ABC
####### SH AC
####### SH ABC
####### AC SAC ABC
####### SH SAC
#######
#######
#######
#######
#######
#######
####### .
Gọi 1 là góc giữa mặt phẳng MAB và mặt phẳng ABC
và 2 là góc giữa mặt phẳng SAB với mặt phẳng ABC.
Ta có:
1
d ; sin d ;
####### S MAB
####### S AB
;
2
d ; sin d ;
####### C MAB
####### C AB
.Gọi K là hình chiếu của C lên AB; I là trung điểm của AK.Giả sử AC a BC a 3 ;
####### 3
####### 2
a SH
d ;C AB
CK CB .sin30 3
####### 2
a ; 3 2 4
HI CK a.
Do
####### SH AB
####### SI AB
####### HI AB
#######
#######
#######
nên d ; 2215
####### 4
S AB SI SH HI a.
Mặt khác sin sin 1 2 nên
d ; d ; d ; d ;
####### S MAB C MAB
####### S AB C AB
#######
d ; d ; 5 d ; d ; 2
####### S MAB S AB
####### C MAB C AB
####### 5
####### 2
####### SM
####### CM
####### .
I
H
A
C
B
S
K
M
Câu 4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 60. Tam giác SAB đều vànằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC. Trên cạnh SA lấy điểm
N sao cho SN NA 2. Khi đó, sin của góc giữa hai mặt phẳng DMN và ABCD bằng:
####### A. 4 19
####### 19
####### . B.
5719
####### . C.
34
####### . D.
3 1919
####### .
Lời giải
Chọn B
Đáy ABCD là hình thoi cạnh a vàABC 60 nên tam giác ABC đều cạnh a.Gọi H là trung điểm của AB thì
SH ABCD .
Gọi E MN AC , AB DE Q ,
QN SH I . Khi đó ta có
ED DMN ABCD .
Xét tam giác SAC có MS EC NA.. 1 EC EA 2
####### MC EA NS
. Suy ra A là trung điểm của EC.Xét tam giác ECD có / / 1
####### 2
####### AQ CD AQ CD HA AQ .
Và 2
AC AD AE EC CD DE HQ DE
Ta có SH ABCD SH DE . Suy ra DE SHQ . Từ đó góc giữa mặt phẳng DMN
và mặt phẳng ABCD là góc HQN.
Xét tam giác SHA có QA IH NS.. 1 IH 1 IH IS
####### QH IS NA IS
####### .
Kẻ HK QN có sin
####### HQN HK
####### HQ
#######
Ta có tam giác SAB là tam giác đều cạnh a nên 33
####### 2 4
SHa IH a
Tam giác HIK có 1 1 1 2 2 2 57
####### 19
HK a HK HI HQ
#######
Vậy sin 57 19
####### HQN HK
####### HQ
####### .
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' ' cạnh a. Tính sin với là góc giữa hai mặt phẳng
AB D' ' và BA C' '.
####### A.
####### 2 2
sin 3
. B.
####### 3
sin 2
. C.
####### 3
sin 3
. D.
####### 2
sin 3
.
Lời giải Chọn A Gọi I A C B D K A B AB ' ' ' ', ' '. Khi đó,
IK AB D BA C ' ' ' '
Ta có,
####### ', ' '
sin ',
d A AB D d A IK
#######
Vì ' ' 2 2
IK A I A K a nên tam giác A IK' đều. Gọi E là trung điểm của IK
####### ', ' 6.
####### 4
d A IK A E a
Gọi Hlà hình chiếu của A' trên AB D' '. Khi đó, d A AB D A H ', ' ' ' .
Ta có 12 1 1 2 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 A H A A A B A D a a a a' ' ' ' ' '
####### ' 3
####### 3
A Ha
Vì vậy,
####### 3
####### ', ' ' 3 2 2
sin ', 6 3 4
a d A AB D d A IK a
####### .
Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A BC. có AB2 3 và AA 2. Gọi M N P, , lần lượt là
trung điểm của các cạnh A B A C , và BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và
MNP bằng
####### A. 6 13
####### 65
####### . B. 13
####### 65
####### . C. 17 13
####### 65
####### . D. 18 13
####### 65
####### .
Lời giải Chọn B
Gọi I AC NC K AB BM , .
Suy ra IK AB C MNP
Ta có MN là đường trung bình của tam giác AB C MN B C IK BC// // Gọi Q là trung điểm của BC AQ B C
####### AQ IK.
Vì A Q B C và AA BC nên BC AA Q IK AA QP IK EP
Từ đây ta suy ra góc giữa AB C và MNP là góc giữa AQ và EP.
Xét hình chữ nhật AA QP có AA 2 và A Q A B .sin60 3 AQ 13. Gọi E MN A Q nên E là trung điểm của A Q 5 2