Bài tập chứng minh đẳng thức Newton

Cập nhật lúc: 14:19 01-12-2017 Mục tin: LỚP 11

Các bài tập về nhị thức Newton là bài toán quan trọng trong đề thi trung học phổ thông Quốc Gia. Chuyên đề này giúp học sinh nắm chắc dạng bài tập về: tính tổng, rút gọn biểu thức, tìm hệ số và số hạng trong khai triển lũy thừa thông qua các ví dụ.

                                        NHỊ THỨC NEWTON

I]KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Hoán vị:

                                    \[{P_n} = n.[n - 1].[n - 2]...3.2.1\]

2. Chỉnh hợp:

                                    \[A_n^k = \frac{{\left[ {n - k} \right]!}}{{k!}} = n.[n - 1]...[n - k + 1]\]

3. Tổ hợp:

                                    \[C_n^k = \frac{{n!}}{{k![n - k]!}} = \frac{{n.[n - 1]...[n - k + 1]}}{{k!}}\]

   *] Tính chất:   \[C_n^k = C_n^{n - k}\]

                        \[C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\]

4. Công thức Newton:

  \[{\left[ {a + b} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^n{b^n}\]

   \[{\left[ {a - b} \right]^n} = {\left[ { - 1} \right]^n}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - ... + {\left[ { - 1} \right]^n}C_n^n{b^n}\]

II] CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Phương trình, bất phương trình chỉnh hợp tổ hợp.

Dạng 2: Rút gọn đẳng thức, chứng minh biểu thức.

Dạng 3: Xác định hệ số, số hạng trong khai triển lũy thừa.

 III]BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

TOANMATH.com giới thiệu đến thầy, cô và các em học sinh tài liệu bài tập nhị thức Niu-tơn vận dụng cao do bạn Nguyễn Minh Tuấn biên soạn, đây là dạng toán thường gặp không chỉ trong chương trình Đại số và Giải tích 11 mà còn bắt gặp trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Các bài toán vận dụng cao về nhị thức Niu-tơn [Newton] thường được phát biểu dưới dạng các công thức cồng kềnh, khó nắm bắt nên gây nhiều khó khăn cho các em học sinh, thông qua tài liệu này, tác giả mong muốn giới thiệu đến các em những phương pháp hay và mạnh để giải quyết dạng toán này.

Nội dung tài liệu:
I. Công thức nhị thức Niu-tơn: Trình bày lý thuyết, công thức nhị thức Niu-tơn và các công thức cơ bản liên quan đến khai triển nhị thức Niu-tơn.
II. Giới thiệu tam giác Pascal.
III. Các dạng toán liên quan tới nhị thức Niu-tơn: Trình bày các dạng toán, phương pháp giải cùng các ví dụ minh họa với lời giải chi tiết về các bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn. Các dạng toán bao gồm: 1. Bài toán khai triển nâng cao. 2. Bài toán hệ số lớn nhất. 3. Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh đẳng thức tổ hợp. 4. Ứng dụng tích phân trong chứng minh đẳng thức tổ hợp. 5. Ứng dụng số phức chứng minh đẳng thức tổ hợp. 6. Đồng nhất hệ số 2 vế.

IV. Các bài toán tổng hợp: Tổng hợp các bài toán tự luyện, có hướng dẫn giải và đáp số.

Bài viết nhị thức Newton bao gồm: nhị thức Newton cơ bản, khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, nhị thức Newton trong đề thi đại học…

Công thức nhị thức Newton

– Quy ước:

Tam giác Pascal trong khai triển nhị thức Newton

Các hàng đẳng thức

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau:

Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

Nếu hàng thứ

thì hang thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hang thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở vị trí đầu hàng và cuối hàng.

Nhận xét: Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n+1 số

.

Một số công thức khai triển nhị thức Newton hay sử dụng

Một số dạng bài tập áp dụng nhị thức Newton

Dạng 1: Dạng tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton.

Phương pháp chung:

Số hạng thứ k trong khai triển [a + b]n là

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển [2 – 3x]25.

Giải:

Số hạng thứ 21 là:

Dạng 2: tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm hệ số của

trong khai triển.

Phương pháp chung:

– Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.

– Tìm số hạng có chứa

và tìm hệ số tương ứng.

Ví dụ 2: Tìm hệ số của

trong khai triển

Giải:

Ta có:

Cho

ta được hệ số của là

Dạng 3: Tính tổng, chứng minh đẳng thức.

Phương pháp chung:

– Sử dụng khai triển

– Bằng cách thay

bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.

Ví dụ 3: Chứng minh

Giải:

Ta có:

Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các

nên cho ta được:

Suy ra điều phải chứng minh.

Dạng 4: Số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức.

Ví dụ 4:

Khai triển

thành đa thức . Tìm số lớn nhất trong các số .

Giải:

Ta có

Như vậy .

Giả sử

. Khi đó:

   

Suy ra,

và .
So sánh với ta có là số lớn nhất trong các số .

Nhận xét:

+] Lời giải trên đã sử dụng ý tưởng phân dãy số hạng

thành nhiều nhóm nhỏ, rồi tìm số hạng lớn nhất trong mỗi nhóm, từ đó so sánh chúng với nhau và tìm được số hạng lớn nhất.

+] Để dễ hình dung, giả sử ta phân được thành 3 nhóm và các số hạng trong mỗi nhóm sẽ tăng dần hoặc giảm dần. Chẳng hạn như:

   

Như vậy, số hạng lớn nhất trong nhóm 1 là

, số hạng lớn nhất trong nhóm 2 là , số hạng lớn nhất trong nhóm 3 là . Tiếp tục so sánh 3 số với nhau để tìm ra số hạng lớn nhất trong cả dãy .

+] Bằng cách giải bất phương trình

với ẩn là số nguyên nằm trong giới hạn từ đến ta sẽ phân được thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm tăng dần.

Còn lại các số nguyên nằm trong giới hạn từ đến nhưng không thỏa mãn bất phương trình

thì sẽ là nghiệm của bất phương trình , nên các số nguyên này sẽ phân thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm giảm dần.

Cụ thể như trong ví dụ trên, bất phương trình

nghiệm đúng với các số nguyên , tức là .

Như thế

. Các số nguyên còn lại là nghiệm của bất phương trình , nghĩa là .
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!