- Kẻ \[QS \bot PR\]
Ta có: \[\widehat {QTS} = 180^\circ - \widehat {QTP}\]\[ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]
Trong tam giác vuông \[QST\], ta có:
\[QS = QT.\sin \widehat {QTS} \]\[= 8.\sin 30^\circ = 4\left[ {cm} \right]\]
\[TS = QT.c{\rm{os}}\widehat {QTS} \]\[= 8.c{\rm{os30}}^\circ \approx 6,928\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông \[QSP\], ta có:
\[SP = QS.\cot g\widehat {QPS}\]\[ = 4.\cot g18^\circ = 12,311\left[ {cm} \right]\]
\[PT = SP - TS \approx 12,311 - 6,928\]\[ = 5,383\left[ {cm} \right]\]
- Ta có:
\[\displaystyle {S_{\Delta QPR}} = {1 \over 2}.QS.PR\]\[ = \dfrac{1}{2}.QS.[PT + TR]\]
\[ \approx \dfrac{1}{2}.4.[5,383 + 5] \]\[= 2.10,383 = 20,766\left[ {c{m^2}} \right]\]
Bài 60 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường tròn [K] bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
Lời giải:
- Gọi D là tiếp điểm của đường tròn [K] với cạnh BC.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BE = BD; CD = CF
AE = AB + BE
AF = AC + CF
Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF
\= AB + AC + [BD + DC]
\= AB + AC + BC = c + b + a
Mà: AE = AF [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Bài 61 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB]. Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
- Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB
- Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất
- Tìm vị trí của C, D để hình thang ABCD có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm
Lời giải:
- Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
Ax ⊥ AB
By ⊥ AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Suy ra tứ giác ABDC là hình thang
Gọi I là trung điểm của CD
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC
Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB
Suy ra: IC = ID = IO = [1/2].CD [tính chất tam giác vuông]
Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.
Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.
- Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CA = CM
DB = DM
Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD
Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + BD + DC + CA = AB + 2CD
Vì đường kính AB của [O] không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất
Ta có: CD ≥ AB nên CD nhỏ nhât khi và chỉ khi CD = AB
Khi đó CD // AB ⇔ OM ⊥ AB
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn [O] thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
- Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD [chứng minh trên]
Suy ra: 14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 [cm]
Hay CM + DM = 5 ⇒ DM = 5 – CM [1]
Tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OM2 = CM.DM ⇔ 22 = CM.DM ⇔ 4 = CM.DM [2]
Thay [1] vào [2] ta có: CM.[5 – CM] = 4
⇔ 5CM – CM2 – 4 = 0 ⇔ 4CM – CM2 + CM – 4 = 0
⇔ CM[4 – CM] + [CM – 4] = 0 ⇔ CM[4 – CM] – [4 – CM] = 0
⇔ [CM – 1][4 – CM] = 0 ⇔ CM – 1 = 0 hoặc 4 – CM = 0
⇔ CM = 1 hoặc CM = 4
Vì CM = CA [chứng minh trên] nên AC = 1 [cm] hoặc AC = 4 [cm]
Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.
Bài 62 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB]. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:
- MN ⊥ AB b. MN = NH
Lời giải:
Ax ⊥ AB
By ⊥ AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Trong tam giác BND, ta có AC // BD
Suy ra: ND/NA = BD/AC [hệ quả định lí Ta-lét] [1]
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = CM và BD = DM [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ND/NA = MD/MC
Trong tam giác ACD, ta có: ND/NA = MD/MC
Suy ra: MN // AC [theo định lí đảo định lí Ta-lét]
Mà: AC ⊥ AB [vì Ax ⊥ AB]
Suy ra: MN ⊥ AB
- Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC
Suy ra: MN/AC = DN/DA [hệ quả định lí Ta-lét] [3]
Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC [vì M, N, H thẳng hàng]
Suy ra: HN/AC = BN/BC [hệ quả định lí Ta-lét] [4]
Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD
Suy ra: ND/NA = BN/NC [hệ quả định lí Ta-lét]
⇒ ND/[DN + NA] = BN/[BN + NC] ⇔ ND/DA = BN/BC [5]
Từ [3], [4] và [5] suy ra: MN/AC = HN/AC ⇒ MN = HN
Bài 63 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng SABC = BD.DC