Bài 22 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:
- \[ \sqrt{13^{2}- 12^{2}}\]; b] \[ \sqrt{17^{2}- 8^{2}}\];
- \[ \sqrt{117^{2} - 108^{2}}\]; d] \[ \sqrt{313^{2} - 312^{2}}\].
Lời giải:
Câu a: Ta có:
\[\sqrt{13^{2}- 12^{2}}=\sqrt{[13+12][13-12]}\]
\[=\sqrt{25.1}=\sqrt{25}\]
\[=\sqrt{5^2}=|5|=5\].
Câu b: Ta có:
\[\sqrt{17^{2}- 8^{2}}=\sqrt{[17+8][17-8]}\]
\[=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}\]
\[=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|\].
\[=5.3=15\].
Câu c: Ta có:
\[\sqrt{117^{2} - 108^{2}} =\sqrt{[117-108][117+108]}\]
\[=\sqrt{9.225}\] \[=\sqrt{9}.\sqrt{225}\]
\[=\sqrt{3^2}.\sqrt{15^2}=|3|.|15|\]
\[=3.15=45\].
Câu d: Ta có:
\[\sqrt{313^{2} - 312^{2}}=\sqrt{[313-312][313+312]}\]
\[=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}\]
\[=\sqrt{25^2}=|25|=25\].
Bài 23 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Chứng minh.
- \[[2 - \sqrt{3}][2 + \sqrt{3}] = 1\];
- \[[\sqrt{2006} - \sqrt{2005}]\] và \[[\sqrt{2006} + \sqrt{2005}]\] là hai số nghịch đảo của nhau.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức sau:
+] \[a^2-b^2=[a-b][a+b]\].
+] \[[\sqrt{a}]^2=a\], với \[a \ge 0\].
+] Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau ta chứng minh tích của chúng bằng \[1\].
Lời giải:
Câu a: Ta có:
\[[2 - \sqrt{3}][2 + \sqrt{3}]=2^2-[\sqrt{3}]^2=4-3=1\]
Câu b:
Ta tìm tích của hai số \[[\sqrt{2006} - \sqrt{2005}]\] và \[[\sqrt{2006} + \sqrt{2005}]\]
Ta có:
\[[\sqrt{2006} + \sqrt{2005}].[\sqrt{2006} - \sqrt{2005}]\]
\= \[[\sqrt{2006}]^2-[\sqrt{2005}]^2\]
\[=2006-2005=1\]
Do đó \[ [\sqrt{2006} + \sqrt{2005}].[\sqrt{2006} - \sqrt{2005}]=1\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{2006}-\sqrt{2005}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}\]
Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.
Bài 24 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Rút gọn và tìm giá trị [làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba] của các căn thức sau:
\[a]\] \[ \sqrt{4[1 + 6x + 9x^{2}]^{2}}\] tại \[x = - \sqrt 2 \];
\[b]\] \[ \sqrt{9a^{2}[b^{2} + 4 - 4b]}\] tại \[a = - 2;\,\,b = - \sqrt 3 \].
Lời giải:
- Ta có:
\[ \sqrt{4[1 + 6x + 9x^{2}]^{2}}\] \[=\sqrt {4}. \sqrt {{{[1 + 6x + 9{x^2}]}^2}} \]
\[=\sqrt{4}.\sqrt{[1+2.3x+3^2.x^2]^2}\]
\[=\sqrt{2^2}.\sqrt{\left[1^2+2.3x+[3x]^2\right]^2}\]
\[=2.\sqrt {{{\left[ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^2}} \right]}^2}} \]
\[=2.\left|[1+3x]^2\right|\]
\[=2[1+3x]^2\].
[Vì \[ [1+3x]^2 > 0 \] với mọi \[x\] nên \[\left|[1+3x]^2\right|=[1+3x]^2 \]]
Thay \[x = - \sqrt 2 \] vào biểu thức rút gọn trên, ta được:
\[ 2{\left[ {1 + 3.[-\sqrt 2] } \right]^2}=2[1-3\sqrt{2}]^2\].
Bấm máy tính, ta được: \[ 2{\left[ {1 - 3\sqrt 2 } \right]^2} \approx 21,029\].
- Ta có:
\[ \sqrt{9a^{2}[b^{2} + 4 - 4b]} =\sqrt{3^2.a^2.[b^2-4b+4]}\]
\[=\sqrt{[3a]^2.[b^2-2.b.2+2^2]}\]
\[=\sqrt{[3a]^2}. \sqrt{[b-2]^2}\]
\[=\left|3a\right|. \left|b-2\right| \]
Thay \[a = -2\] và \[b = - \sqrt 3 \] vào biểu thức rút gọn trên, ta được:
\[\left| 3.[-2]\right|. \left| -\sqrt{3}-2\right| =\left|-6\right|.\left|-[\sqrt{3}+2] \right|\]
\[=6.[\sqrt{3}+2]=6\sqrt{3}+12\].
Bấm máy tính, ta được: \[6\sqrt{3}+12 \approx 22,392\].
Bài 25 trang 16 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Tìm \[x\] biết:
- \[ \sqrt{16x}= 8\]; b] \[ \sqrt{4x} = \sqrt{5}\];
- \[ \sqrt{9[x - 1]} = 21\]; d] \[ \sqrt{4[1 - x]^{2}}- 6 = 0\].
Phương pháp:
- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa: \[\sqrt A \] có nghĩa khi và chỉ khi \[A \ge 0\]
- Bình phương hai vế rồi giải bài toán tìm x.
- Ta sử dụng các cách làm sau:
\[\sqrt A = B\left[ {B \ge 0} \right] \Leftrightarrow A = {B^2}\]
\[\sqrt A = \sqrt B \left[ {A \ge 0;B \ge 0} \right] \Leftrightarrow A = B\]
Lời giải:
- Điều kiện: \[x \ge 0\]
\[\sqrt {16x} = 8\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {16x} } \right]^2} = {8^2}\] \[ \Leftrightarrow 16x = 64\] \[ \Leftrightarrow x = \dfrac{{64}}{{16}} \Leftrightarrow x = 4\] [thỏa mãn điều kiện]
Vậy \[x=4\].
Cách khác:
\[\begin{array}{l} \sqrt {16x} = 8 \Leftrightarrow \sqrt {16} .\sqrt x = 8\\ \Leftrightarrow 4\sqrt x = 8 \Leftrightarrow \sqrt x = 2\\ \Leftrightarrow x = {2^2} \Leftrightarrow x = 4 \end{array}\]
- Điều kiện: \[4x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\]
\[\sqrt {4x} = \sqrt 5 \] \[ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {4x} } \right]^2} = {\left[ {\sqrt 5 } \right]^2} \Leftrightarrow 4x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\] [thỏa mãn điều kiện]
Vậy \[x=\dfrac{5}{4}\].
- Điều kiện: \[9\left[ {x - 1} \right] \ge 0 \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\]
\[\sqrt {9\left[ {x - 1} \right]} = 21\]\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 1} = 21\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 7\] \[ \Leftrightarrow x - 1 = 49 \Leftrightarrow x = 50\] [thỏa mãn điều kiện]
Vậy \[x=50\].
Cách khác:
\[\begin{array}{l} \sqrt {9\left[ {x - 1} \right]} = 21 \Leftrightarrow 9\left[ {x - 1} \right] = {21^2}\\ \Leftrightarrow 9\left[ {x - 1} \right] = 441 \Leftrightarrow x - 1 = 49\\ \Leftrightarrow x = 50 \end{array}\]
- Điều kiện: \[x \in R\] [vì \[4.[1-x]^2\ge 0\] với mọi \[x]\]
\[\sqrt {4{{\left[ {1 - x} \right]}^2}} - 6 = 0\]\[ \Leftrightarrow 2\sqrt {{{\left[ {1 - x} \right]}^2}} = 6\] \[ \Leftrightarrow \left| {1 - x} \right| = 3\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x = 3\\1 - x = - 3\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 4\end{array} \right.\]