Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

10:15:1612/10/2020

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số dạng cơ bản, trong đó cách viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k là dạng chúng ta thường gặp hơn cả.

Vậy cách viết phương trình tiếp tuyến khi có hệ số góc k như thế nào? nội dung toán 11 phần đạo hàm sẽ hướng dẫn chúng ta cách làm bài toán này, chúng ta hãy cùng tìm hiểu ở bài viết này.

• Cách viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn: f'(xo) = k; (*)

- Giải phương trình (*) tìm tìm được xo. khi đó tính: yo = f(xo)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - xo) + yo

> Chú ý: 

- Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k

- Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 và d2 : y = k2x + b2. (k1; k2 là hệ số góc của các đường thẳng d1 và d2), khi đó:

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

- Đường thẳng d: y = kx + b tạo với trục hoành một góc α thì: k = ±tanα. 

• Bài tập viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

* Ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

a) Tại điểm (-1; -1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

* Lời giải:

* Với mọi x0 ∈ R thì:

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

a) Tiếp tuyến của y = x3 tại điểm (-1; -1) là:

 y = f’(-1)(x + 1) + y(1)

    = 3.(-1)2(x + 1) – 1

    = 3.(x + 1) – 1

    = 3x + 2.

b) Tại điểm có hoành độ: x0 = 2

 ⇒ y0 = f(2) = 23 = 8;

 ⇒ f’(x0) = f’(2) = 3.22 = 12.

 ⇒ Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là :

 y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 3

 ⇔ f’(x0) = 3 ⇔ 3x02 = 3

⇔ x02 = 1 ⇔ x0 = ±1.

+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

+ Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

→ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol y = 1/x.

a) Tại điểm (1/2; 2)

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/4

* Lời giải:

 * Với mọi x0 ∈ R\{0} thì:

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

a) Tại điểm (1/2; 2)

- Ta có: 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

- Do đó phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm (1/2;2) là:

 y = f'(x0)(x - x0) + y0 = -4(x - 1/2) + 2 = -4x + 4

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

- Tại x0 = -1 ⇒ y0 = -1 ⇒ f’(x0) = -1.

⇒ Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong y = 1/x tại điểm có hoành độ -1 là: y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/4.

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

+ Với x0 = 2 ⇒ y0 = 1/x0 = 1/2;

⇒ Phương trình tiếp tuyến là: 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

+ Với x0 = -2 ⇒ y0 = 1/x0 = -1/2;

⇒ Phương trình tiếp tuyến là: 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

⇒ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol y = 1/x có hệ số góc -1/4 là: 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

Nội dung trên các em đã được làm quen cách viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc vận dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm của toán 11.

Thực tế, bài toán viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc là dạng toán phổ biến, vì thực tế với bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm, hay bài toán đi qua 1 điểm đều vận dụng gián tiếp cách viết này.

Vì vậy, các em hãy học thật kỹ vì nội dung này còn gặp lại ở chương trình toán lớp 12 và cũng hay xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Đây là dạng toán không khó, vì vậy nó là cơ hội không thể bỏ qua để các em có điểm từ dạng toán này.

Đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số dạng toán mà chúng ta thường gặp như: Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm (tiếp điểm); Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm; Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k,…

I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: 

– Đạo hàm của hàm số y=f(x)”>y=f(x) tại điểm x0″>x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C)”>(C) của hàm số tai điểm M(x0;y0)”>M(x0;y0).

– Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C)”>(C) tại điểm M(x0;y0)”>M(x0;y0) là: y=y′(x0)(x−x0)+y0″>y=y′(x0)(x−x0)+y0

– Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến (PTTT) là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0″>x0.

x0″>II. Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến

° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến TẠI 1 ĐIỂM (biết Tiếp Điểm)

x0″>* Phương pháp:

x0″>- Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị (C): y=f(x) tại điểm M(x0;y0)

x0″>+ Bước 1: Tính đạo hàm y”=f”(x) ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến k=y”(x0)

x0″>+ Bước 2: PTTT của đồ thị tại điểm M(x0;y0) có dạng: y=y”(x0)(x-x0)+y0

x0″>* Lưu ý, một số bài toán đưa về dạng này như:

– Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm x0) thì tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y0=f(x0)

– Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm y0) thì tìm x0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x0)=y0

– Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C).

– Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+2×2 tại điểm M(-1;1)

° Lời giải:

– Ta có: y”=3×2 + 4x nên suy ra y”(x0) = y”(-1) = 3.(-1)2 + 4.(-1) = -1

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;1) là:

 y = y”(x0)(x – x0) + y(x0) ⇔ y = (-1).(x – (-1)) + 1 = -x

– Vậy PTTT của (C) tại điểm M(-1;1) là: y = -x.

* Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị (C): 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

° Lời giải:

– Ta có: x0 = -1 ⇒ y0 = y(-1) = 1/2.

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của (C) là:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x4 – 2×2.

* Lời giải:

– Ta có y” = 4×3 – 4x = 4x(x2 – 1)

– Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành (Ox) là:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.

– Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 và k = y”(x0) = 0 

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

– Với

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 và 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Với

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 và

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = -4√2 là:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

 y = 0; y = 4√2x – 8 và y = -4√2x – 8

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM

x0″>* Phương pháp:

– Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị

+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA;yA) có hệ số góc k có dạng:

 d: y=k(x-xA)+yA (*)

+ Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm

+ Bước 1: Gọi M(x0;f(x0)) là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k=f”(x0) theo x0.

+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f”(x0)(x-x0)+f(x0) (**)

 Vì điểm A(xA;yA) ∈ (d) nên yA=f”(x0)(xA-x0)+f(x0) giải phương trình này tìm được x0.

+ Bước 3: Thay x0 tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.

* Ví dụ 1: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4×3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).

° Lời giải:

– Ta có: y” = -12×2 + 3

– Đường thẳng d đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + 2

– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 ⇔ x = -1 hoặc x = 1/2.

• Với x = -1 ⇒ k = -12.(-1)2 + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 7

• Với x = 1/2 ⇒ k = -12.(1/2)2 + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2

• Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2) là: y = -9x – 7 và y = 2.

* Ví dụ 2: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 đi qua điểm A(-1;4).

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Định Dạng Trang In Trong Excel 2010, Định Dạng Và In Ấn Trong Microsoft Excel

° Lời giải:

– Điều kiện: x≠1; Ta có: 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Đường thẳng (d) đi qua A(-1;4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4

– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Ta thấy x = -1 (loại), x = -4 (nhận)

– Với x = -4 ⇒ 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 phương trình tiếp tuyến là: 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết Hệ số góc k

x0″>* Phương pháp:

– Bài toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

+ Bước 1: Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm và tính y”=f”(x)

+ Bước 2: Khi đó,

– Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f”(x0)

– Giải phương trình k=f”(x0) này ta tìm được x0, từ đó tìm được y0.

+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:

 (d): y=y”0(x-x0)+y0

* Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.

• Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.

• Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc α thì k=±tanα.

* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

° Lời giải:

– Ta có: y” = 3×2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0)

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y”(x0) 

 ⇔ 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Với x0 = 2 ⇒ y0 = (2)3 – 3.(2) + 2 = 4 ta có tiếp điểm M1(2;4)

 Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Với x0 = -2 ⇒ y0 = (-2)3 – 3.(-2) + 2 = 0 ta có tiếp điểm M2(-2;0)

 Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là:

 (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 song sóng với đường thẳng Δ: 3x – y + 2 = 0.

° Lời giải:

– Ta có: 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

; và 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 3x + 2 nên ta có:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

• Với x0 = -1 thì 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 ta có tiếp điểm M1(-1;-1)

– Phương trình tiếp tuyến tại M1 là (d1): y = 3(x + 1) – 1 ⇔ y = 3x + 2

 Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d1≡Δ nên loại.

• Với x0 = -3 thì 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 ta có tiếp điểm M2(-3;5)

– Phương trình tiếp tuyến tại M2 là (d2): y = 3(x + 3) + 5 ⇔ y = 3x + 14

• Vậy đồ thị (C) có 1 tiếp tuyến // với Δ là (d2): y = 3x + 14

* Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (Δ):

* Lời giải:

– Gọi đườn thẳng (d) có hệ số góc k là tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ) có dạng: y = kx + b

– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng (Δ):  nên suy ra k = -6; khi đó pttt (d) có dạng: y = -6x + b.

– Để (d) tiếp xúc với (C) thì hệ sau phải có nghiệm:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

⇒ phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với (Δ) là: y = -6x + 10.

* Cách giải khác:

– Ta có hệ số góc của tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) là y” = -4×3 – 2x.

– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với (Δ):  nên:

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

 (vì 2×2 + 2x + 3 > 0, ∀x).

– Với x = 1 suy ra y = -14 – 12 + 6 = 4 và y”(1) = -4.13 – 2.1 = -6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;4) là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m

x0″>* Phương pháp:

– Vận dụng phương pháp giải một trong các dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.

* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1.

° Lời giải:

– TXĐ: D = R

– Ta có: y” = 3×2 – 6x

– Điểm M có hoành độ x0 = 1 ⇒ 

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

. Vậy điểm tọa độ điểm M(1;-2)

– Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(1;-2) của (C) có dạng:

 y – y0 = y”(x0)(x – x0) ⇔ y + 2 = (3.12 – 6.1)(x – 1) ⇔ y = -3x + 1

– Khi đó để (d) // Δ

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

– Khi đó pt đường thẳng Δ: y = -3x + 3

– Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại M(1;-2) song sóng với Δ.

Xem thêm: bài tập số hữu tỉ lớp 7 violet

* Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x – 4y + 1 = 0.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình