Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán 11
Show
NẾU CẦN HỖ TRỢ TẢI TÀI LIỆU, HOẶC GẶP KHÓ KHĂN GÌ KHI TẢI VÀ XEM TÀI LIỆU HÃY INBOX ĐỂ ĐƯỢC HỖ TRỢ.
Để trở thành học sinh giỏi môn toán lớp 11 thì ngoài việc học ghi nhớ những kiến thức trong sách giáo khoa. Sách dành cho học sinh giỏi toán 11 còn là một trong những phương pháp quan trọng và bất cứ cho bất cứ bạn học sinh nào, hoặc làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô. >>> Mua ngay: Sách cấp 3 tại đây <<< Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 với cuốn 10 Trọng Điểm Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 11Cuốn 10 Trọng Điểm Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 11 này có 21 chuyên đề với nội dung, là tóm tắt kiến thức trọng tâm của Toán phổ thông và Toán chuyên. Phần các bài toán chọn lọc có khoảng 900 bài với nhiều dạng loại cùng mức độ từ cơ bản đến phức tạp, bài tập tự luyện khoảng 250 bài và có hướng dẫn hay đáp số. Cuốn sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 này có 3 chuyên đề nâng cao:
Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 với cuốn Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Đại Số Giải Tích 11 Tập 1Cuốn sách “Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Đại Số Giải Tích 11 Tập 1” được biên soạn, nhằm giúp các em học sinh cũng như quý thầy cô giáo có một nguồn tài liệu tham khảo cho quá trình học tập, giảng dạy của mình. Cuốn sách học sinh giỏi toán này gồm các phần sau : Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác:
Chương 2: Tổ hợp và xác suất
Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 với cuốn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi qua các kỳ thi OLYMPIC TOÁN TẬP 1Phong trào toán Olympic Việt Nam những năm gần đây được nâng cao rõ rệt. Từ sau sự kiện Việt Nam tổ chức thành công kỳ thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 47 tại Hà Nội năm 2007. Theo kinh nghiệm của những người được trưởng thành từ các kì thi HSG Toán, chúng tôi luôn mong muốn các bạn học sinh chuyên Toán được tiếp cận các đề thi HSG mới và có nội dung hay của các nước trên thế giới. Các đề thi trong nước để học sinh có cơ hội thực hành các kĩ năng giải toán và là một nguồn tư liệu, để tham khảo ngoài những sách chuyên đề được biên soạn vì các thầy giáo nổi tiếng được xuất bản gần đây. Sau một thời gian ấp ủ chúng tôi đã có cơ hội thực hiện được điều này. Các bạn đang cầm trên tay bộ sách bồi dưỡng cho lớp 11: “Chuyên đề Bồi Dưỡng HSG Qua Các Kì Thi Olympic Toán” gồm 2 tập . Đây là bộ sách bao gồm những bài toán đã được chọn lọc qua các kì thi: IMO, VMO, thi HSG các nước trên thế giới. Các tạp chí và nhiều bài toán được chúng tôi chọn lọc và sưu tầm từ các nguồn khác nhau nên sẽ có sơ sót, mong các tác giả sẽ phản hồi cho chúng tôi. Những bài toán được chọn lọc là tiêu biểu và chuẩn mực cho từng phân môn, nhất là phía sau mỗi bài toán sẽ có những phân tích và các kiến thức liên quan, để đi đến lời giải. Để biết thêm chi tiết về các loại Sách tham khảo cho sinh giỏi toán 11, môn hóa hay môn sinh. Bạn hãy gọi tới hotline của nhà sách Tiến Thọ - Chuỗi nhà sách lớn nhất Hà Nội
Mua ngay: Sách bồi dưỡng học sinh giỏi sinh học 10 Xem thêm: sách bồi dưỡng học sinh giỏi sinh học 9
by Hoc sinh gioi · March 13, 2021 Các chuyên đề khó và chất bồi dưỡng HSG Olympic toán 11 Trong bài viết này xin giới thiệu Các chuyên đề khó và chất bồi dưỡng HSG Olympic toán 11. Cuốn sách Tinh Lọc Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Luyện Thi Olympic Toán Lớp 11 được biên soạn nhằm mang lại cho các em học sinh lớp 11 luyện thi Olympic các dạng toán hay, khó, cũng như các phương pháp giải hay để các em rèn luyện thêm. Cuốn sách này được đúc kết từ những kinh nghiệm tinh túy của 2 tác giả TS Huỳnh Công Thái và Văn Phú Quốc, họ là những người Thầy đã có hơn 10 kinh nghiệm trực tiếp giảng dạy cho các đội dự thi Olympic. Cuốn sách này được chia ra thành 4 chuyên đề sau: Dãy số, Phương trình hàm, Đa thức và Hình học không gian. Mỗi chuyên đề đều được tóm tắt lý thuyết, định hướng phương pháp giải, trình bày các dạng toán thường gặp trong các cuộc thi Olympic và bài tập đề nghị dành cho học sinh rèn luyện thêm kĩ năng giải toán của mình. Xem tài liệu tại đây Để duy trì và động viên đội ngũ các bạn biên tập trong Clb. CLB thu chút phí trên mỗi bộ bộ đề. Các bạn vui lòng ủng hộ Clb nha. xin cảm ơn Ghi chú: Quý thầy, cô hoặc bạnđọc muốn liên hệ với Clb HSG, vui lòng gửi về: + Fanpage: ĐỀ Thi Học Sinh Giỏi + Nhắn tin vào SDT: 0898.666.919 Tags: Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 có đáp án
I. PHƯƠNG TRÌNH 1. Không có tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương Giải phương trình Lời giải +Biến đổi phương trình tương đương : Giải phương trình Lời giải Điều kiện: Nhận thấy là một nghiệm của phương trình. Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với Vì nên và Suy ra vì vậy Do đó phương trình Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau : Lời giải Giải phương trình: ,với . Hướng dẫn giải. Giải phương trình . Hướng dẫn giải. Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình . Hướng dẫn giải Ta có: Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau: ; ; ; Giải ba hệ phương trình trên ta được: . (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình: Hướng dẫn giải Đặt ta được Giải ta được suy ra Dạng 2: Đặt ẩn phụ Giải phương trình trên tập số thực: (1). Hướng dẫn giải Điều kiện: . không là nghiệm của phương trình. . Đặt . Phương trình trở thành: . Khi đó ta có: . Vậy . Giải phương trình sau trên tập số thực: . Hướng dẫn giải Phương trình (1) . Đặt . Ta có phương trình: (*). . Phương trình (*) . Vậy . Giải phương trình sau trên tập số thực: . Hướng dẫn giải Đặt . Điều kiện: Ta có: Thay vào phương trình ta được: +) : phương trình vô nghiệm do Vậy là nghiệm phương trình. Giải phương trình sau Lời giải Nhận xét rằng không là nghiệm của phương trình đã cho. Suy ra . Chia cả hai vế của phương trình cho rồi đặt , ta có phương trình Xét hàm số . Ta có hàm số liên tục trên và . Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng . Khi đó phương trình đã cho có dạng (do ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và . Giải phương trình sau : Lời giải Đặt . Điều kiện xác định: Đặt Ta có . Phương trình đã cho trở thành (tm đk). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là Giải phương trình: (1) Điều kiện: và do đó và . (1) Đặt: a = 8 + 4 > 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0. Do đó: (1) lna + 1(t + 1) = lnat Cách 1: (1) lna + 1(t + 1) = lnat . Từ (I) ta được: y = 1: là nghiệm của (2). y < 1: , y < 1: . Nên (2) có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: (1) t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4 ( thỏa *) x2 – 2x – 20 - 4 = 0 x = 2 + 2 hoặc x = -2. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2. Cách 2: Xét hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat (a >1 Ta được: vì a > 1, nên hàm số giảm trên (0; +) và ta có f(t) = 0 có nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a. Vậy: (1) (1) lna + 1(t + 1) = lnat t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4 ( thỏa *) x2 – 2x – 20 - 4 = 0 x = 2 + 2 hoặc x = -2. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2. Giải phương trình: (1). nên điều kiện là: x -1. x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt , Với điều kiện x -1: (1) trở thành: 3(a2 + b2) = 10ab 3a2 – 10ab + 3b2 = 0 (a – 3b)(3a – b) = 0 a = 3b hay a = b/3. a = 3b =3 x + 1 = 9(x2 + x + 1) 9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghiệm) a = b/3 3a = b 3 =9(x + 1) = x2 + x + 1 x2 - 8x - 8 = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm:. Giải phương trình : Điều kiện: x -1 +) Nếu x > 3 thì: x- 3x + 2 = (x – 1) - 3(x- 1) > 4(x – 1) – 3(x – 1) = x – 1 > Chứng tỏ x > 3 không thỏa mãn Với -1 x 3 Đặt x = 2cost + 1 ( 0 t ) Khi đó phương trình trở thành: (2cost + 1) - 3(2cost + 1) + 2 = 8cost – 6cost = 2cos3t = 2cos cos3t = cos Giải phương trình Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: Đặt Ta có . Phương trình đã cho trở thành . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình : [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình Lời giải Phương trình tương đương với Đặt , ta có phương trình Vì nên Tập nghiệm Giải phương trình: ,với Hướng dẫn giải. Từ pt ta thấy (1) Đặt: Pt trở thành: Giải phương trình Giải phương trình: . Hướng dẫn giải. Đặt từ phương trình ta có Như vậy: ngược hướng Suy ra: (1) Giải (1) và thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là Giải phương trình: ,với Hướng dẫn giải. Đk: Đặt Ta có: Vậy phương trình có một nghiệm: , Giải phương trình: . Giải phương trình: Hướng dẫn giải. Phương trình đã cho có điều kiện Với điều kiện trên ta có: Đặt ta có: Với ta có : So với điều kiện , phương trình đã cho có nghiệm Giải phương trình sau trên tập số thực: . Hướng dẫn giải. Điều kiện: Đặt (), ta thu được hệ Suy ra Do vậy Thay vào, thử lại thấy thỏa mãn. Đáp số: Giải phương trình: . Hướng dẫn giải. = 0 (x = 0 không là nghiệm) Đặt ta được So với điều kiện ta được So với điều kiện , ta được Giải phương trình sau: với . Hướng dẫn giải. Đặt . Khi đó phương trình trở thành: (*) (*) Với thì có một nghiệm là Với thì có một nghiệm là Khi thì hoặc . Khi thì hoặc . Giải phương trình . Hướng dẫn giải. Điều kiện Đặt ta có Phương trình đã cho trở thành Ta có nên Ta được phương trình Với thì Với thì Giải phương trình . Hướng dẫn giải. Ta có phương trình tương đương với Xét (1), đặt , suy ra và . Ta được . Từ đó suy ra . Thử lại ta được nghiệm của phương trình là và . Giải phương trình . Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với . Đặt , ta có phương trình Vì nên Tập nghiệm . (Chuyên Hưng Yên ) Giải phương trình Hướng dẫn giải Đặt , ta được hệ:Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta được: TH1: TH2: phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: Giải phương trình : . Hướng dẫn giải Đặt . Từ phương trình đã cho ta có : (*) Ta có : (*) Với ta có Đặt từ phương trình (**) ta có :(***) Dùng máy tính điện tử hoặc khảo sát hàm số trên ta thấy (***) có một nghiệm duy nhất Ta biểu diễn dưới dạng: Ta có : nên có thể chọn sao cho : Vậy ta có : Như vậy được chọn là nghiệm của phương trình : Suy ra: Ta tìm được nghiệm của (***) là .Suy ra : Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ; Giải phương trình sau: . Hướng dẫn giải: Ta có: Đặt ,. Phương trình trở thành: Dạng 3. Sử dụng hàm số Giải các phương trình sau: a) b) . Giải phương trình sau: a) b) Giải phương trình . Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với: Xét x = 0; x = 1: Thay vào (1) ta thấy đều thỏa nên phương trình có các nghiệm: x = 0; x = 1. Xét x 0; x 1: Khi đó (1) Với t 0, xét hàm số: . * Với t > 0 thì 3t – 1 > 0 f(t) > 0 và với t < 0 thì 3t – 1 < 0 f(t) > 0, do đó: Vì (2) f(x) + f(x2 – 1) = 0 nên (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tất cả là 3 nghiệm: x = 0; x = 1. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình : Giải phương trình: . Ta có (1). Đặt thì do đó đồng biến và liên tục trên . Từ đó: . . Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Giải phương trình (1) Hướng dẫn giải Có không là nghiệm của (1) Xét , chia hai vế cho , được Đặt , khi đó có PT Suy ra Xét hàm số .Vì f(t) là hàm số đồng biến trên R nên = Giải tìm được y = 0 (loại); Tính x theo Tập nghiệm của phương trình (1) là Giải phương trình . Hướng dẫn giải. Điều kiện: Phương trình Ta có: x = 0, x = 5 không là nghiệm phương trình. Xét hàm số ; ta có: (*) Áp dụng (*) với Ta có: . Vậy là nghiệm phương trình. Giải phương trình . Hướng dẫn giải. Đặt ta được: (*) Xét hàm số trên có hàm số đồng biến trên ; (*) Thử lại, ta được: là nghiệm phương trình. Giải phương trình : trên . Hướng dẫn giải Đặt .Với ta có . Phương trình đã cho trở thành : (*) Với Ta có: Vậy trên phương trình đã cho có nghiệm . Giải phương trình: . Lời giải Biến đổi phương trình: (1) Đa thức có tối đa 3 nghiệm và ta có: ; ; ; . liên tục trên khoảng và , , nên có 3 nghiệm trên khoảng . Do có đúng 3 nghiệm trong khoảng , nên ta có thể đặt với . Phương trình (1) trở thành: (do ) (với ) hay hay . Giải phương trình sau: . Hướng dẫn giải Điều kiện . Đặt . Từ phương trình đã cho ,ta có hệ phương trình: Đặt S = x + y; P = xy đưa đến hệ phương trình: Kết hợp với điều kiện, nghiệm pt đã cho là:. Giải phương trình:. (Chưa giải) Giải phương trình: (Chưa giải) Dạng 3: Sử dụng hàm số Cho phương trình: với. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất Hướng dẫn giải: Xét hàm số với nguyên, (1) +) Ta có: . Do nên khi thì Vậy là hàm số đồng biến trên . Lại có: ( vì nguyên và ) Ta có: và liên tục, đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất trên . +) Mặt khác với thì suy ra với mọi Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi nguyên, Cho phương trình: . Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm. Với là nghiệm của phương trình nghiệm, tính tổng: Hướng dẫn giải 1. Xét hàm số: . * f(x) là hàm số xác định và liên tục trên R. * Ta có: ; Phương trình có 5 nghiệm phân biệt sao cho: * Ta có là nghiệm của (1) nên: Do đó: Xét biểu thức: Đồng nhất thức ta được: Do vậy: Mặt khác: Với ta được: và Do đó: Vậy: . Dạng 4: Đánh giá Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: Hướng dẫn giải Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta có: (1) . * Để (1) có nghiệm x nguyên điều kiện cần là: ( k nguyên, không âm) * Lại xem là phương trình bậc hai ẩn y . Để có nghiệm nguyên y điều kiện cần là là một số chính phương (m nguyên dương). Do và 16 = 16.1 = 8.2 = 4.4 nên ta có các trường hợp. +) TH1: suy ra phương trình (1) có nghiệm . +) TH2: suy ra phương trình (1) có nghiệm . +) TH3 : Loại. [Đề xuất, Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, DHĐBBB, 2015] Giải phương trình Lời giải Điều kiện: Nhận thấy là một nghiệm của phương trình. Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với Vì nên và Suy ra vì vậy Do đó phương trình Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc [Đề thi hsg tỉnh Nghệ An, bảng A, 2015-2016] Ký hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Giải phương trình Hướng dẫn giải Ta có pt Vậy . Có tham số Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt .(1) Hướng dẫn giải Đặt ; điều kiện: . Ta có: (2) Pt (2) có hai nghiệm phân biệt .Vậy . Thay vào phương trình ta được: (3) Đặt . Ta có: số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm phương trình (3). Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm. Xét hàm số ; . Cho . Bảng biến thiên t1 2 +∞ y’ 0 +y8 +∞ 7 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: Hướng dẫn giải Phương trình đã cho tương đương: . Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay: (*). Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm và , trong đó là nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có (2). Xét các trường hợp sau: *) Nếu (3). Từ (2) và (3) ta có hệ: . *) Nếu (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: . Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải. Lời giải: Điều kiện: PT (1) (2) Đặt Ta có: ; Do đó : Phương trình (2) trở thành (3) Xét hàm số , Ta có : Bảng biến thiên : Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm Tìm để phương trình sau (ẩn ) chỉ có một nghiệm. Cho hai phương trình sau: (1) (2) (a là tham số, x là ẩn số) Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2). Cho phương trình: có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm. Với mỗi số tự nhiên , gọi là số nghiệm của phương trình . Tính giới hạn sau Lời giải Giả sử là một nghiệm của phương trình , khi đó mọi nghiệm của phương trình trên có dạng Vì x 0 và y 0 nên . Suy ra Suy ra Kết hợp với , ta có . Vậy Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm . Hướng dẫn giải. Điều kiện : PT (1) (2) Đặt , Do Phương trình (2) trở thành : (3) Xét hàm số , Ta có : Bảng biến thiên : Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Hướng dẫn giải. Với tập xác định , Phương trình đã cho tương đương với . Đặt t = thì t 0; 3) Xét hàm số ; f’(t) = ; f’(t) = 0 t = - 4 hoặc t = 2. Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn 0; 3 Phương trình đã cho có nghiệm x - 2; 4) Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t), t 0; 3 - 6 ≤ m ≤ - 2 Cho phương trình: , với m là tham số. Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực. Hướng dẫn giải. Điều kiện: .Đặt với Ta có: ; suy ra: Do nên phương trình trở thành: Tìm m để pt sau có nghiệm . Hướng dẫn giải. . Ta đưa pt về dạng đẳng cấp Từ pt suy ra Chia hai vế pt cho , ta được Đặt , lập bbt với tìm được P t trở thành (1) Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (1) có nghiệm thuộc t thuộc (0;2). Tìm được (Chuyên Hưng Yên). Giả sử với hai số dương thì phương trình có các nghiệm đều lớn hơn 1. Xác định giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó (là số nguyên dương cho trước). Hướng dẫn giải Gọi là các nghiệm của phương trình đã cho. Theo định lý Vi-et ta có Theo bất đẳng thức AM - GM ta được hay Theo bất đẳng thức thì hay Suy ra , do (*) Do đó ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó phương trình có ba nghiệm trùng nhau và đều bằng Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi Giải phương trình . Tìm để BPT sau vô nghiệm: Giải bất phương trình Chứng minh phương trình: có ít nhất 2 nghiệm với Hướng dẫn giải Xét phương trình: (1) Xét hàm số: sao cho sao cho Hàm số liên tục trên các đoạn và phương trình có ít nhất 1 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm. Cho các phương trình: (1) (2) trong đó x là ẩn số và m là tham số (0 < m < 1). 1) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng nghiệm. 2) Chứng minh phương trình (2) có nghiệm. (Chưa giải) Cho phương trình. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: . (Chưa giải) Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng: (Chưa giải) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: (Chưa giải) Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm: (Chưa giải) Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức: Hướng dẫn giải + Tập xác định: R. là tam thức bậc hai có biệt số + Pt: có 3 nghiệm phân biệt nên có 2 nghiệm phân biệt và + Suy ra: (là hai nghiệm của phương trình ). + Thực hiện phép chia đa thức ta được: Suy ra + + Vì là 2 nghiệm của phương trình: nên Do đó: . suy ra: + Vì và nên Cho phương trình: . a/ Giải phương trình khi b/ Tìm để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn giải Câu a: +Đặt u = v = . +Ta có hệ +Hàm số có nên f(u) tăng trên [1; + ). + và tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: từ đó ta có nghiệm của phương trình là: . Câu b: + ) tăng trên [1; + ) mà nên phương trình có nghiệm khi hay Giải và biện luận phương trình theo tham số m: Hướng dẫn giải (1). +Điều kiện: Đặt Phương trình trở thành: . Xét tam thức bậc hai có: +Trường hợp 1: t = 0 là nghiệm của (2).Khi đó ta có m = . + m = : (2) nên (1) lgcosx = 0 cosx = 1x =2k, kZ. + m =-: (2) nên (1) +Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 khác 0 (t1 t2): . Với điều kiện (1) có nghiệm nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp sau: a/; b/ a/ . Khi đó (2) có hai nghiệm t1, t2 âm nên (1) có các họ nghiệm:. b/ Khi đó (1) . +Kết quả: + : (1) có nghiệm: . + : (1) có nghiệm: + : (1) có nghiệm: + (1) có nghiệm . + : (1) vô nghiệm. + : (1) có nghiệm + : (1) có nghiệm: . BÀI TẬP CHƯA CÓ LỜI GIẢI 1. Giải phương trình: . 2. Giải phương trình: 3. Cho trước các số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên dương. 4. Giải phương trình: . Trong đó a là tham số. 5. Giải phương trình: 6. Giải các phương trình sau: a) ; b) . c) 7. Giải phương trình: |