a] Ta có: \[ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=k2\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+k2\pi \]
\[ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}}+k2\pi \right]={{a}_{1}}\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\frac{y}{{{a}_{2}}}\Leftrightarrow y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \]
Vì \[ -1\le \cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{1}} \right]\le 1 \] nên \[ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \]
Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi: \[ y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \] với \[ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \]
b] Ta có: \[ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left[ 2k+1 \right]\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left[ 2k+1 \right]\pi \]
\[ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left[ 2k+1 \right]\pi \right]=-{{a}_{1}}\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=-\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}+\frac{y}{{{a}_{2}}}=0\Leftrightarrow y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \] với \[ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \]
Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi: \[ y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \] với \[ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \].
c] Ta có: \[ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left[ 2k+1 \right]\frac{\pi }{2}\Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left[ 2k+1 \right]\frac{\pi }{2} \]
\[ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left[ 2k+1 \right]\frac{\pi }{2} \right]=\pm {{a}_{1}}\sin \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\pm \sin \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Rightarrow {{\left[ \frac{x}{{{a}_{1}}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{y}{{{a}_{2}}} \right]}^{2}}={{\cos }^{2}}\left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right]+{{\sin }^{2}}\left[ \omega t+{{\varphi }_{2}} \right] \] với \[ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \]
\[ \Leftrightarrow {{\left[ \frac{x}{{{a}_{1}}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{y}{{{a}_{2}}} \right]}^{2}}=1 \]
Vậy chất điểm chuyển động trên một đường elip có dạng: \[ {{\left[ \frac{x}{{{a}_{1}}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{y}{{{a}_{2}}} \right]}^{2}}=1 \].
d] Ta có:
\[ x={{a}_{1}}\left[ \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right] \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\text{ }[1] \]
\[ y={{a}_{2}}\left[ \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Rightarrow \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\text{ }[2] \]
Nhân [1] với \[ \cos {{\varphi }_{2}} \] và [2] với \[ -\cos {{\varphi }_{1}} \]rồi cộng vế với vế:
\[ [1]\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left[ \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right]\begin{matrix}{} & [3] \\\end{matrix} \]
\[ [2]\Rightarrow -\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=-\cos {{\varphi }_{1}}\left[ \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right]\begin{matrix}{} & [4] \\\end{matrix} \]
\[ [3]+[4]\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left[ \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right]-\cos {{\varphi }_{1}}\left[ \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right] \]
\[ \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\cos {{\varphi }_{2}} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin \left[ {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right]\begin{matrix}{} & [5] \\\end{matrix} \]
Lại nhân [1] với \[ \sin {{\varphi }_{2}} \] và [2] với \[ -\sin {{\varphi }_{1}} \] rồi cộng vế với vế:
\[ \frac{x}{{{a}_{1}}}\sin {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\sin {{\varphi }_{1}}=\cos \omega t.\sin \left[ {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right]\begin{matrix} {} & [6] \\\end{matrix} \]
Bình phương [5] và [6] rồi cộng vế với vế:
\[ \frac{{{x}^{2}}}{a_{1}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{a_{2}^{2}}-\frac{2xy}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}\cos \left[ {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right]={{\sin }^{2}}\left[ {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right]\begin{matrix}{} & [7] \\\end{matrix} \]
Phương trình [7] biểu diễn một đường elip.
Nhận xét: Có thể thu được các kết luận của phần a], b], c] bằng cách thay \[ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \] bằng các giá trị tương ứng đã cho vào [7].