Phương trình mặt phẳng lý thuyết
|
Phương trình mặt phẳng trong không gian là một trong những dạng toán “khó nhằn”, khiến nhiều bạn dễ mất điểm nếu không nắm vững kiến thức. Vì vậy, bài viết dưới đây sẽ cung cấp tổng hợp lý thuyết cũng như các dạng phương trình mặt phẳng thường gặp để giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng bài tập này. Show
Để hiểu hơn về vectơ pháp tuyến ta có: (P) là một mặt phẳng trong không gian, 1 vectơ khác vectơ 0 có phương vuông góc với (P) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vectơ chỉ phương của mặt phẳng: Ta có mặt phẳng (P). Khi 2 vectơ khác vectơ 0 và không cùng phương thì gọi là cặp vectơ chỉ phương của (P) nếu giá của chúng nằm song song hoặc nằm trên (P).
1.2. Phương trình mặt phẳng
Ax + By + Cz = 0, trong đó $A^{2}$ + $B^{2}$ + $C^{2}$ > 0. Khi đó vectơ n(A;B;C) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
1.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì ta có phương trình như sau:
1.4. Góc giữa hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì ta có phương trình sau:
>> Xem thêm: Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập 1.5. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
2. Cách giải các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian2.1. Lập phương trình mặt phẳng oxyz đi qua 3 điểmPhương trình tổng quát của mặt phẳng (P) mặt phẳng Oxyz có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với $A^{2}$ + $B^{2}$ + $C^{2}$ > 0 Để viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần có:
2.2. Viết phương trình mặt phẳng p song song và cách đềuMặt phẳng (P) đi qua điểm $M_{0}(x_{0}$,$y_{0}$,$z_{0})$ đồng thời song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m = 0 Vì M thuộc mặt phẳng (P) nên thế tọa độ M và mặt phẳng (P) ta tìm được M. Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình như sau: $A(x-x_{0})$ + $B(y-y_{0})$ + $C(z - z_{0})$ = 0 Lưu ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến. 2.3. Dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầuỞ dạng bài tập này sẽ có phương pháp giải như sau:
2.4. Viết phương trình 2 mặt phẳng vuông gócTa có điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): ${A}'x$ + ${B}'y$ + ${C}'z$ + ${D}'$ = 0 khi đó 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ⇔ ${AA}'$ + ${BB}'$ + ${CC}'$ + ${DD}'$ = 0. Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì:
2.5. Viết phương trình mặt phẳng cắt 3 trục tọa độDạng bài này ta có phương pháp cụ thể như sau:
Trong video sau đây, thầy Phạm Anh Tài sẽ cung cấp cho các em toàn bộ kiến thức về lý thuyết, bài tập vận dụng của phương trình mặt phẳng. Giải chi tiết các ví dụ giúp các em nắm được nội dung bài học dễ dàng hơn. Các em chú ý theo dõi nhé! Như vậy, bài viết trên đây đã cung cấp cho các em đầy đủ kiến thức lý thuyết, công thức toán hình 12 về phương trình mặt phẳng và các dạng bài tập thường gặp. Tuy nhiên, nếu muốn đạt kết quả tốt nhất, các em hãy truy cập vào Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để làm thêm nhiều dạng bài tập hình học không gian khác nhau nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới. >> Xem thêm:
Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán
180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi. 1.500.000₫ Chỉ còn 900.000 ₫ Chỉ còn 2 ngày
– Véctơ pháp tuyến: Véctơ $\vec{n} \neq 0$ gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. – Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$: Hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên $(\alpha)$  Chú ý: – Nếu $\vec{n}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. – Nếu hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$. Ví dụ: – Nếu $\vec{n}=(1;2;3)$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì $\vec{a}=(2;4;6)$ hoặc $\vec{b}=(3;6;9)$ hoặc $\vec{c}=(-1;-2;-3)$ cũng là những véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) – Nếu hai véctơ $\vec{a}=(2;1;2)$ và $\vec{b}=(3;2;-1)$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$ được xác định như sau: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]=\left(\left | \begin{array}{ll}1&2 \\2&-1 \end{array} \right. |;\left | \begin {array}{ll}2&2\\-1&3 \end{array} \right. |;\left | \begin{array}{ll}2&1\\3&2 \end{array} \right | \right. )= (-5;8;1)$ Xem thêm: Cách xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng– Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ bất kì trong không gian có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 +B^2 + C^2 >0$ – Nếu mặt phẳng $(P)$ bất kì có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ thì véctơ pháp tuyến của $(P)$ là : $\vec{n}=(A;B;C)$ – Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)$ có dạng: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ Chú ý: Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện: + Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua Bài giảng nên xem: 4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng 3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳngTrong bảng trên các bạn thấy khi trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa ẩn nào thì mặt phẳng đó sẽ song song hoặc chứa trục đó. Nếu trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa 2 ẩn bất kì nào thì mặt phẳng đó song song với mặt phẳng chứa hai trục đó, hoặc trùng với mặt phẳng chứa 2 trục đó. Ví dụ: Ở dòng thứ 2 trong bảng, phương trình mặt phẳng của chúng ta khuyết ẩn x, nên mặt phẳng sẽ song song hoặc chứa trục ox. Ở dòng thứ 5 trong bảng phương trình mặt phẳng khuyết 2 ẩn x và y, nên mặt phẳng sẽ song song với mặt phẳng (oxy) hoặc trùng với mặt phẳng (oxy). 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình như sau: (P): $Ax + By + Cz + D=0$ và (Q): $A’x + B’y + C’z + D’=0$ – Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}$ – Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}$ – Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}$ – Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: $AA’ + BB’ +CC’ = 0$. (biểu thức này chính là tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)). 5. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳngCho điểm $M(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D= 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ tới mặt phẳng $(P)$ được xác định như sau: $d(M,(P)) = \frac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ Ví dụ: Khoảng cách từ điểm $A(1;2;3)$ tới mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $2x + 3y -z +4 =0$ là: $d(A,(P)) = \frac{|2.1 + 3.2 -1.3 + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{14}}$ Bài giảng nên xem: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 6. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắnPhương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A(a;0;0);B(0;b;0); C(0;0;c)$ có dạng là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a.b.c \neq 0$. Trong đó $A\in Ox; B\in Oy; C\in Oz$. Khi đó $(P)$ được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Bài giảng nên xem: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Dưới đây là hai bài tập để các bạn tham khảo. Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:a. Đi qua $M(3;1;1)$ và có VTPT $\vec{n}=(-1;1;2)$ b. $(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ cho trước với $A(2;1;1)$ và $B(2;-1;-1)$ c. Đi qua $M(1;2;-3)$ và có cặp VTCP là $\vec{a}=(2;1;2)$ và $\vec{b}=(3;2;-1)$ d. Đi qua $3$ điểm không thẳng hàng $A(1;-2;4); B(3;2;-1); C(-2;1;-3)$ Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ biết:a. $(P)$ đi qua điểm $M(2;1;5)$ và song song với các mặt phẳng tọa độ b. $(P)$ đi qua điểm $M(2;1;5)$ và song song với mặt phẳng $(Q): x-2y+z-10=0$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ |
