Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng [Nâng Cao] giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
a] Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz.
b] Các đường thẳng đi qua điểm M0 [x0,y0,z0] [với x0y0z0 ≠ 0] và song song với mỗi trục tọa độ.
c] Đường thẳng đi qua M[-2, 1, 2] và có vectơ chỉ phương u→[0,0,-3]
d] Đường thẳng đi qua N[2, 1, 2] và vectơ chỉ phương u→=[-1,3,5]
e] Đường thẳng đó qua N[3, 2, 1] và vuông góc với mặt phẳng: 2x-5y+4=0
f] Đường thẳng đi qua hai điểm P[2, 3, -1] và Q[1, 2, 4].
Lời giải:
a] Trục Ox là đường thẳng đi qua O[0, 0, 0] và nhận i→=[0,0,0] làm vectơ chỉ Phương nên có Phương trình tham số là:
Tương tự, trục Oy có phương trình
Trục Oz có phương trình
b] Đường thẳng đi qua M0 [x0,y0,z0] song song với trục Ox sẽ có vectơ chỉ phương là i→[1,0,0] nên có phương trình tham số là:
tương tự ta có Phương trình của đường thẳng đi qua M0 [x0,y0,z0] và song song với Oy là:
phương trình đường thẳng đi qua M0 [x0,y0,z0] và song song với Oz là
c] Đường thẳng đi qua M[2, 0, -1] và có vectơ chỉ phương u→[-1,3,5] có phương trình tham số là
có phương trình chính tắc là
d] Đường thẳng đi qua N[-2, 1, 2] và có vectơ chỉ phương u→[0,0,-3] có phương trình tham số là
Đường thẳng này không có Phương trình chính tắc.
e] Đường thẳng đi qua N[3, 2, 1] và vuông góc với mặt phẳng: 2x- 5y + 4= 0 nên nó nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này làn→[2,-5,0] là vectơ chỉ phương, nên ta có phương trình tham số là
Đường thẳng này không có Phương trình chính tắc.
f] Đường thẳng đi qau P[2, 3, -1] và Q[1, 2, 4] sẽ nhận PQ→[-1,-1,5] là vectơ chỉ phương, nên có phương trình tham số là
và có phương tình chính tắc là
a] Đường thẳng đi qua điểm [4, 3, 1] và song song với đường thẳng có phương trình:
b] Đường thẳng đi qua điểm[-2, 3, 1] và song song với đường thẳng có phương trình:
Lời giải:
a] Vì hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm đi qua điểm [4, 3, 1] và nhận vectơ chỉ Phương của đường thẳng đã cho là u→=[2,-3,2] là vectơ chỉ phương.
Vậy đường thẳng đã có phương trình tham số là:
Và có phương trình chính tắc là:
b] Tương tự câu a, ta có đường đi qua [-2, 3, 1] và song song với đường thẳng:
có phương trình tham số là:
Và phương trình chính tắc là:
trên mỗi mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
Gọi [P] là mặt phẳng chứa d và [P] vuông góc với mp[Oxy]. Khi đó hình chiếu vuông góc của d trên mp[Oxy] chính là giao tuyến của [P] với mp[Oxy]. Mp[P] đi qua M0 [1,-2,3]∈d và nhận nn→=[u→,k→ ] làm vectơ pháp tuyến, với u→[2,3,1] là vectơ chỉ phương của d và k→=[0,0,1] là vectơ pháp tuyến mp[Oxy], từ đó ta tính được n→=[3,-2,0]
Vậy phương trình của [P] là: 3[x-1]-2[y+2]=0 3x-2y-7=0 mà mp[Oxy] có phương trình là: z = 0 nên Phương tình hình chiếu của [d] lên mp[Oxy] có Phương trình hình chiếu của [d] lên mp[Oxy] là:
và mặt phẳng [P]: x+y+z-7=0
a] Tìm một vectơ chỉ Phương của d và một điểm trên d.
b] Viết Phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp[P].
c] Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp[P].
Lời giải:
a] Đường thẳng d đi qua M0 [0,8,3] và vectơ chỉ phương là u→=[1,4,2]
b] Mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp[P] là mặt phẳng đi qua M0 [0,8,3]∈d và nhận n→=[n1→,u→] làm vectơ pháp tuyến, trong đó u→=[1,4,2] là chỉ Phương của d, n1→=[1,1,1] là vectơ pháp tuyến của [P] ta tính được n→=[2,1,-3], nên mặt phẳng cần tìm có phương trình là:
2[x-0]+[y-8]-3[z-3]=0 2x+y-3z+1=0
c] Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng[P] là giao tuyến của mp[P] và mp[Q] chứa d và vuông góc với mp[P]. theo câu b, ta có mp[Q] có phương trình: 2x+y-3z+1=0. Vậy Phương trình hình chiếu của d lên mp[P] là:
d’: là giao tuyến của hai mặt phẳng: [α]:x+y-z=0
[α’ ]:2x-y+2z=0
Lời giải:
a] đường thẳng d đi qua M0[1,7,3]và có vectơ chỉ phương u→=[2,1,4] đường thẳng [d’] đi qua M0‘[3,-1,-2] và có vectơ chỉ phương u’→=6,-2,1]
nên ta tính được
vậy d và d’ chéo nhau.
b] Thay x, y, z ở phương trình tham số của d vào phương trình [α] ta được: t-3-4t+3+3t=0 0 = 0 [đúng với ∀t]
Vậy d ⊂ [α] [1]
Thay x, y, z ở phương trình tham số của d vào phương trình [α’ ]ta được:
2t+3+4t-6-6t=0 -3=0 [vô nghiệm]
Vậy d // α’ [2]
Từ [1] và [2] suy ra: d // d’
Lời giải:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =[P]∩[Q], trong đó [P] chứa A và d và [Q] chứa A và d’. đường thẳng d đi qua Mo [1,0,3] và có vectơ chỉ phương u→=[2,1,-1] nên mp[P] đi qua A[1, -1, 1] và nhận [u→,MoA→ ]=[-3,4,-2] là vectơ pháp tuyến, suy ra mp[P] có phương trình:
-3x+4y-2z+9=0
Tương tự mp[Q] có phương trình: x+y+z-1=0
Vậy Phương trình của Δ là
Lời giải:
Gọi Δ là đường cần tìm, thì Δ=[P]∩[Q];
Trong đó [P] là mặt phẳng chứa d2 và [P] // d1
[Q] là mặt phẳng chứa d3 và [Q] // d1
d1,d2,d3 lần lượt có các vectơ chỉ phương là: u1→=[0,4,-1],u2 →=[1,4,3],u3 →=[5,9,1]
Ta viết được Phương trình mp[P] là: 16x-y-4z-10=0
Phương trình mp[Q] là: 13x-5y-20z+17=0
Vậy Phương trình của Δ là:
hay Δ có Phương trình tham số là:
a] Chứng tỏ rằng giữa đường thẳng đó chéo nhau:
b] Viết Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d1 và d2.
c] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2.
d] Viết Phương trình vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Lời giải:
a] Đường thẳng [d1] đi qua M1 [8,5,8] và có vectơ chỉ phương là u1→=[1,2,-1]
Đường thẳng [d2] đi qua M2 [3,1,1] và có vectơ chỉ phương là u2→=[-7,2,3]
Ta có: u1u2→=[8,4,16];M2M1→=[5,4,7] nên u1u2→.M2M1→=168 ≠ 0, suy ra d1 và d2 chéo nhau. [đpcm]
b] Mặt phẳng đi qua O[0, 0, 0] và song song với d1 và d2ẽ nhận vectơ u1u2→=[8,4,16] làm vectơ pháp tuyến, nên đường trình của mặt phẳng đó là: 8[x-0]+4[y-0]+16[z-0]=0 2x+y+4z=0
c] Khoảng cách giữa d1 và d2 là:
[α]:2x+y+z-8=0
a] Tìm góc giữa d và [α]
b] Tìm tọa độ giao điểm của d và [α].
c] Viết phương trình hình chiếu vuông góc của [d] trên [α]
Lời giải:
a] Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u→=[2,3,5]
Mặt phẳng [α] có vectơ pháp tuyến là n→=[2,1,1]
Ta có
b] Tọa độ giao điểm của d và [α] là nghiệm của hệ:
c] Hình chiếu vuông góc của d lên [α] là đường thẳng đi qua giao điểm
của d và [α] và nhận vectơ: [[n→,v→ ],n→ ] làm vectơ chỉ phương, trong đó u→=[2,3,5] làm vectơ chỉ phương của [d].
n→=[2,1,1] là vectơ pháp tuyến của [α]
Ta tính được [n→,v→ ]=[-2 ;8; -4], [[n→,v→ ],n→ ]=[12,-6,-18]
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là:
[P]:2x+z-5=0
a] Xác định tọa độ giao điểm A của Δ và [P].
b] Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong [P] và vuông góc với Δ.
Lời giải:
a] Tọa độ giao điểm A của Δ và [P] là nghiệm của hệ Phương trình:
Vậy A = [1, 2, 3]
b] Đường thẳng đi qua A[1, 2, 3] nằm trong [P] và vuông góc với Δ có vectơ chỉ phương của Δ:n→=[2,0,1] là vectơ pháp tuyến của [α]. Ta tính được [[n→,v→ ]]=[2,3,-4]. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
a] Tính khoảng cách từ điểm M[2, 3, 1] đến đường thẳng Δ có phương trình:
b] Tính khoảng cách từ điểm N[2, 3, -1] đến đường thẳng d di qua điểm
và vectơ chỉ phương u→=[-4,2,-1]
Lời giải:
a] Đường thẳng [d]:
đi qua M0 [-2,1,-1] và có vectơ chỉ phương u→=[1,2,-2].
Khoảng cách từ M[2, 3, 1] đến đường thẳng [d] là:
Với MM0→=[-4,-2,-2] nên [MM0→,u→ ]=[8,-10,-6]
Suy ra
Khoảng cách từ N đến đường thẳng d đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u→ là :
Lời giải:
a] Đường thẳng d:
đi qua M[1, -1, 1] và có vectơ chỉ phương n→=[1,−1,0]
Đường thẳng d’:
đi qua M’[2, -2, 3] và có vectơ chỉ phương n’→=[-3,3,0]
Nên ta thấy d // d’
Vậy khoảng cách giữa d và d’ là khoảng cách từ M[1, -1, 1] ∈ d đến đường thẳng d’ và bằng :
Ta có: MN’→=[1,-1,2], suy ra [MN’→,n’→ ]=[-6,-6,0]
Vậy khoảng cách cần tìm là:
b] Đường thẳng d:
đi qua M[0, 4, -1] và có vectơ chỉ phương u→[-1,1,-2]
Khoảng cách giữa [d] và [d’] là: