Bởi Thích Nhật Từ, Nguyễn Kha
Giới thiệu về cuốn sách này
Bài tập có sự giúp đỡ của SV K53, K54. Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý: facebook.com/nnvminh §1 Quy luật nhị thức B[n,p] Bài 3.1
Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,2.
Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu, tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy.
Coi mỗi lần bắn là một phép thử ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có hai khả năng đối lập là trúng hoặc trượt mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn đều bằng 0,2 do đó thỏa mãn lược đồ Bernoulli.
Gọi X là số viên đạn bắn trúng thì X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức với tham số n= 5 p=0,2.
Vậy xác suất mục tiêu bị phá hủy chính là xác suất để X 3 Theo công thức Bernoulli: P[ X 3 ] = 3 P + 4 P + 5 P Không quá 2 con trai Giả thiết xác suất sinh con trai là 0,51
Coi mỗi lần sinh con là 1 phép thử, ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có 2 khả năng đối lập xảy ra là sinh con trai hoặc không sinh con trai, xác suất sinh con trai là 0,51.
Đây là phân phối nhị thức Bernoulli.
Gọi X là số con trai trong gia đình có 5 người con thì X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức Bernoulli với các tham số n = 5 và p = 0,51: X ~ B [ 5, 0.51 ] a] Xác suất để có 2 con trai là xác suất để X = 2: P [X = 2] P [X = 2] = 2 2 3 5 [0,51] [0, 49] C = 0,306 b] Xác suất để có không quá 2 con trai là xác suất để X ≤ 2: P [X ≤ 2] P [X ≤ 2] = P 0 + P 1 + P 2 = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì ? Tại sao?
Gọi A là biến cố bán được hàng, theo giả thiết ta có
Ta có 12 lần bán hàng, mỗi lần chỉ xảy ra hoặc bán được hàng hoặc không bán được hàng nên X tuân theo quy luật B[12,1/3].
Bài 3.4 Một nữ công nhân quản lý 12 máy dệt. Xác suất để mỗi máy trong khoảng thời gian t cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân là 1/3. Tính xác suất: a] Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân.
b] Trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần sự chăm sóc của nữ công nhân.
Gọi X là số máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân trong khoảng thời gian t nên ta có X ~ B[n = 12; p = 1/3]. a] Xác suất để trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân là: Bài 3.5 Việc sản xuất ra các sản phẩm được tiến hành độc lập. Hỏi phải sản xuất mỗi đợt bao nhiêu sản phẩm để trung bình có được 10 sản phẩm đạt tiêu chuẩn biết rằng xác suất có được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8.
Gọi k là số sản phẩm cần sản xuất trong 1 đợt.
Ta coi mỗi lần sản xuất là 1 phép thử nên có k phép thử độc lập.
Mỗi phép thử chỉ quan tâm có sản xuất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn hay không, mà mỗi phép thử xác suất sản xuất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8.
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n=k và p=0,8.
Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số k sản phẩm: X ~ B[n=k; p=0,8] Ta có: E[X] = np = k.0,8 ≥ 10 hay k ≥ 10/0,8 = 12,5 suy ra k = 13.
Vậy cần sản xuất 13 sản phẩm 1 đợt.
Bài 3.6 Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được. a] X tuân theo quy luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật b] Tìm E[X] và V[X] c] Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó Giải a] X tuân theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5 và p = 0,8 Biểu thức xác suất tổng quát của quy luật là a] Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm sản xuất ra có không quá 2 sản phẩm hỏng.
b] Tìm số sản phẩm hỏng trung bình trong 5 sản phẩm đó.
c] Tìm số sản phẩm hỏng có khả năng xảy ra nhiều nhất.
a] Gọi A là biến cố trong 5 sản phẩm lấy ra có không quá 2 sản phẩm hỏng Ta có A có 3 trường hợp: 0; 1; 2 sản phẩm bị hỏng 0 0 5 1 1 4 2 2 3 5 5 5
. 0,1 .0,9 . 0,1 .0,9 . 0,1 .0,9
b] X = số sản phẩm bị hỏng trong 5 sản phẩm = 0; 1; 2; 3; 4; 5 0 0 5 0 0 5 0 .0,1 .0,9 0,59049 X P C a] X tuân theo quy luật gì? b] Tìm E[X] và V[X]
a] Gọi A là biến cố hạt nảy mầm P [A] = 0,85 [ ] 0,15 P A X là số hạt nảy mầm hay X là "số lần xuất hiện biến cố A trong 10.000 phép thử độc lập".
Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể nhận là X = 0,1,2,…,10000.
c] Xác suất để có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh là:
Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép thử độc lập và P[A] = p trong mỗi phép thử, biết rằng E[X] = 1,2 Giải: Do X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép thử độc lập Bernoulli và P[A] = p nên ta có: E[X] = np lại có E[X] = 1,2 np = 1,2 p = 0,6 Mà q = 1 -p q = 0,4 V[X] = npq = 2.0,6.0,4 = 0,48 Bài 3.12 Tiến hành các phép thử độc lập với xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử đều bằng p. Tìm p nếu phương sai của số lần xuất hiện biến cố trong 3 phép thử độc lập là 0,63.
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 3 ; p Gọi X là số lần xuất hiện biến cố đang xét => X ~ B [n = 3 ;p] => V[X] = npq = 3p[1 -p] = 0,63 p 2 -p + 0,21 = 0 p = 0,3 hoặc p = 0,7 Bài 3.13 Một kho hàng chuyên cung cấp hàng cho 12 cửa hàng. Xác suất để mỗi cửa hàng đặt hàng cho kho đó trong ngày là 0,3. Tìm số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất cho mọt ngày và xác suất tương ứng với nó. Bài 3.14 Bia bắn được chia làm 2 vòng, xác suất bắn trúng vòng trong là 0.7 còn trúng vòng ngoài là 0.3. Tìm xác suất sao cho bắn 3 viên đạn thì được ít ra là 29 điểm biết rằng bắn trúng vòng trong thì được 10 điểm, trúng vòng ngoài thì được 9 điểm.
Gọi X là số viên đạn bắn trúng vòng trong nên ta có X ~ B[n = 3; p = 0.7].
Xạ thủ đạt được ít nhất 29 điểm khi có ít nhất hai lần bắn trúng vòng trong, vậy có thể xảy ra hai trường hợp:
-Trường hợp 1: Có hai lần bắn trúng vòng trong và chỉ một lần duy nhất bắn trúng vòng ngoài → X = 2.
-Trường hợp 2: Cả ba lần bắn đều trúng vòng trong → X = 3.
Vậy xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 29 điểm là: P = P[X = 2] + P[X = 3]
Xác suất công nhân đồng ý với ý kiến trên là p = 70% = 0,7
Xác suất công nhân không đồng ý với ý kiến là q = 1 -0,7 = 0,3 Gọi X là số người đồng ý kiến với ý kiến đó, X B [n=15, p=0,7]
Do đó xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là P[X ≥ 10] Ta có P[X ≥ 10] = P 10 + P 11 + P 12 + P 13 + P 14 + P 15 [ 1] C C P X C Với X = 2 thì 2 2 3 7 4 10
[ 2] C C P X C Với X = 3 thì 3 1 3 7 4 10
[ 3] C C P X C
Với X = 4 thì [ 4] 0 P X Suy ra X tuân theo quy luật siêu bội: X ~ M [N, n] Bài 3.17 Trong số 20 công nhân của một công ty có 12 người có tay nghề khá. Tìm xác suất để khi kiểm tra ngẫu nhiên tay nghề của 5 công nhân thì có ít nhất 4 người có tay nghề khá.
Gọi X là số người có tay nghề khá trong 5 người thì X~M[N=20; M=12; n=5] 4 1 5 0 8 12 12 5 5 20 20
Bài 3.18 Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp 5 tờ 50 ngàn tiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ giấy bạc đem đi kiểm tra và giao hẹn nếu phát hiện có bạc giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiền phạt mà khách có thể phải trả.
Gọi X là số tờ bạc giả mà chủ cửa hàng có thể kiểm tra thấy. X = 0,1,2,3. X phân phối theo quy luật siêu bội với N=20, M=5, n=3.
Ta có bảng phân phối xác suất
Số tiền giả trung bình trong 3 tờ là:
Gọi Y là số tiền khách hàng phải trả nếu phát hiện tiền giả
Vậy số tiền phạt mà khách có thể phải trả là 75 ngàn đồng.
Trong 20 giấy thông báo thuế thu nhập có 3 giấy mắc sai sót. Nhân viên kiểm tra lấy ngẫu nhiên 5 giấy thông báo để kiểm tra. a] Thiết lập phân phối xác suất của số giấy thông báo có lỗi.
b] Tìm trung bình và phương sai của số giấy thông báo có lỗi được kiểm tra.
a] Gọi X là số giấy thông báo lỗi của phép thử.
Bài 3.20 Trong 100 bóng đèn có 40 bóng hỏng. Tìm xác suất để lấy được 3 bóng hỏng trong 5 bóng được kiểm tra ngẫu nhiên.
Ta có: N = 100; M = 40; n = 5
Gọi X là số bóng hỏng trong 5 bóng được kiểm tra: X M[N = 100; n = 5].
Vậy xác suất để lấy được 3 bóng hỏng trong 5 bóng được kiểm tra ngẫu nhiên là: Gọi X là số máy gọi đến tổng đài Ta có n=100 [máy điện thoại], p=0,02
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Do n quá lớn, p quá nhỏ nên, X phân phối Poisson với tham số là λ=n.p=100.0.2=2 Số máy gọi tới tổng đài trung bình trong phút là E[X]=λ=2 [máy điện thoại].
Bài 3.23 Số khách vào một cửa hàng bách hóa trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật Poisson với mật độ [số khách trung bình] là 8 khách trong một giờ. Tìm xác suất để trong một giờ nào đó có hơn 4 khách vào.
Gọi X là số khách vào trong một giờ thì X~P [λ]
Ta có E[X] = λ=8
Bài 3.24 Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Người ta kiểm tra 150 sản phẩm của lô hàng đó nếu trong đó có không quá 2 sản phẩm phế phẩm thì được chấp nhận. Tính xác suất lô hàng được chấp nhận.
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n= 150, p= 0,04
Gọi X là số phế phẩm trong 150 sản phẩm => X~ B [n = 150; p = 0,04] Do n và p thỏa mãn n.p = 150 x 0,04 = 6 n.p.
[1 -p] Nên có thể coi X ~[ 6] P Xác suất lô hàng được chấp nhận là: P [X 2] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] = 6 e +
c] Xác suất để có hơn 1 người phải đợi là:
Do đó không tăng thêm xe chở khách.
Bài 3.26 Cứ 5000 con cá biển đánh bắt được thì có 1 con bị nhiễm khuẩn có hại cho sức khỏe con người. Tìm xác suất để trong một lô cá gồm 1800 con mới đánh bắt về có không quá 2 con bị nhiễm khuẩn.
Nếu xem việc kiểm tra mỗi con cá là một phép thử thì ta có 1800 phép thử độc lập.
Trong mỗi phép thử chỉ quan tâm đến việc con cá đó nhiễm khuẩn hay không.
Trong mỗi phép thử, xác suất để một con bị nhiễm khuẩn đều là 1/5000.
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 1800; p = 1/5000. Gọi X là số cá bị nhiễm khuẩn trong 1800 con X ~ B[n = 1800; p = 1/5000].
Do n và p thỏa mãn np = 1800.1/5000 = 0,36 ≈ np[1 -p] nên có thể coi như X ~ P[ = 0,36].
Vậy xác suất để trong một lô cá gồm 1800 con không có quá 2 con bị nhiễm khuẩn là
X có hàm phân bố xác suất là:
Xác suất để doanh nghiệp đạt doanh số ít nhất là 32 triệu là b] Tìm tỷ lệ các bóng đèn có tuổi thọ dưới 1500 giờ.
Gọi X là biến cố tỷ lệ các bóng đèn có tuổi thọ dưới 1500 giờ a]
Hàm phân phối xác suất của X là:
P[X < 1500]= F[1500] = 1 -1500/1500 e = 1 1 e = 0,6321.
Vậy tỷ lệ các bóng đèn có tuổi thọ dưới 1500 giờ là 0,6321.
Bài 3.30 Thời gian phục vụ mỗi khách hàng tại một cửa hàng mậu dịch là biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật lũy thừa với mật độ xác suất như sau:
Với X được tính bằng phút/khách hàng. a] Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến 1 phút. b] Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.
Ta có:
a] Xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến 1 phút là:
Với x được tính bằng tháng. Tìm thời gian chờ đợi trung bình của mỗi con tàu để được bốc xếp.
Theo đề bài ta có λ = 2 Vậy thời gian chờ đợi trung bình của mỗi con tàu để được bốc xếp là 0,5 tháng.
Bài 3.32 Khoảng cách thời gian mà 2 khách hàng kế tiếp đến ngân hàng là biến ngẫu nhiên phân phối lũy thừa với trung bình là 3 phút. Giả sử vừa có 1 khách đến. Tìm xác suất để trong vòng ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng
Gọi X là khoảng cách thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng Giải:
X tuân theo phân phối chuẩn Áp dụng công thức, ta có: c] Giải thích bằng đồ thị kết quả tìm được ở phần [a].
X N[100; 2 1 ]
Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy là: Bài 3.40 Năng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với μ = 50 tạ/ha và σ = 3,6 tạ/ha. Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2 thửa ruộng có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha.
Xác suất để gặt ngẫu nhiên thửa ruộng bất kỳ có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha là:
Lúc đó, xác suất để gặt 3 thửa ruộng có 2 thửa có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không vượt quá 0,5 tạ/ha được tìm theo công thức Bernoulli: Bài 3.41 Cho X i [i=1, n ] là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng tuân theo quy luật chuẩn với E[X 1 ]=E[X 2 ]=…=E[X n ]=m V[X 1 ]=V[X 2 ]=…=V[X n ]= δ 2 Lập công thức tính
Suy ra: P[| X -m| < ε] = P[ε m X ε m]
Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n lần thử => X B[n, p 0,5] Tìm xác suất để viên bi bị loại.
Gọi X là đường kính 1 viên bi
Viên bi không bị loại nếu d 1 < X < d 2. Do đó xác suất viên bi bị loại là: P = 1 -P[d 1 < X < d 2 ]
= 1 -P [ Vì u =0,67 suy ra =0,2514.
Gọi Y là tiền lãi nhận được khi bán 1 sản phẩm.
Suy ra Y=150 khi sản phẩm không bị hỏng trong thời gian bảo hành.
Y=150-500=-350 khi sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành. Nếu được biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độ dài không vượt quá 84cm thì xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết được ít nhất 1 chi tiết có độ dài không dưới 80cm là bao nhiêu.
Gọi X là độ dài chi tiết: X N[; 2 = 9 2 ] Theo đề bài ta có: ] 0,2877 P[X < 80] 0,7123
Xác suất để lấy ngẫu nhiên ra 3 chi tiết trong đó có ít nhất 1 chi tiết có độ dài không dưới 80 cm là: P = 1-P[X < 80] 3 = 1-0,7123 3 0,6386.
Bài 3.51 Hàng sáng đi tàu đến nơi làm việc, một người mê trò chơi ô chữ có đúng 30 phút để điền các ô chữ. Qua kinh nghiệm đối với ô chữ in trong báo A thì trung bình phải mất 25,2 phút để điền xong với độ lệch chuẩn là 3,9 phút. Với ô chữ in trong báo B thì trung bình cũng cần 25,2 phút để điền xong với độ lệch chuẩn là 1,9 phút. Biết thời gian điền xong ô chữ là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Vậy người này nên mua báo nào nhằm khả năng điền xong ô chữ cao hơn.
t=30 phút, gọi X là thời gian người đó điền xong ô chữ Giải: V[X] = 3 2 δ + 2 β -2 δ = 2 β +2 2 δ Bài 3.53 Một người cân nhắc giữa việc mua nhà bây giờ hay gửi tiền vào tiết kiệm với lãi suất 12% một năm để chờ một năm sau mới mua. Biết mức tăng giá nhà là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với kì vọng toán là 8% một năm và độ lệch chuẩn là 10% một năm. Tìm khả năng rủi ro của người đó nếu gửi tiền vào tiết kiệm và chờ một năm.
Gọi X là mức tăng giá nhà thì X ~ N [ µ=8%; 2
Lãi suất gửi tiết kiệm là 12%. Nếu người đó gửi tiết kiệm [chờ mua nhà] thì sẽ gặp rủi ro khi giá nhà tăng trên 12%, nghĩa là biến cố gặp rủi ro là Sai lệch quá lớn nên không thể coi là lời quảng cáo đúng sự thật.
Bài 3.56 Lãi suất đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Biết xác suất để hằng năm đạt lãi trên 20% là 0,2 và dưới 10% là 0,1. Tìm xác suất để công ty đó đạt được ít nhất 14% 1 năm
Gọi X là biến ngẫu nhiên lãi suất khi đầu tư vào một công ty [đơn vị %]. Theo giả thiết X là Xác suất để đầu tư lãi ít nhất 14% một năm là 0,667
Bài 3.57 Chiều dài X và chiều rộng Y của một chi tiết được gia công một cách độc lập và là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với X =8cm; Y =4cm; X =0,3cm; Y =0,2cm. Chi tiết được coi là đạt tiêu chuẩn nếu các kích thước của nó sai lệch so với kích thước trung bình không quá 0,1cm. a] Tìm xác suất để chi tiết đạt tiêu chuẩn. Xác suất để khi gia công 3 chi tiết thì có ít nhất 1 chi tiết đạt tiêu chuẩn là
Gọi xác suất bom rơi trúng cầu là P.
Gọi X, Y là khoảng cách từ điểm trúng bom đến trục đối xứng theo chiều dọc và ngang của cầu.
Gọi A i là quả bom thứ i rơi trúng cầu [ i=1,2]. Lãi suất tối thiểu của công ty A là 59.87 %.
Lãi suất tối thiểu của công ty B là 55.96%.
Vậy để thỏa mãn như đầu bài thì người nó nên đầu tư vào công ty A.
b] Giả sử tỉ lệ đầu tư là A:B=p:[1-p].
Z=p.X+ [1-p]Y.
Mức độ rủi ro của phương án này là: V[Z]=p 2 V[X]+ [1-p] 2 .V[Y]= p 2. .4 2 + [p 2 -2p+1].2,6 2 =22,76p 2 -13.52p+ 6,76.
Cần tìm p để V[Y] là nhỏ nhất.
Đặt f[p]= 22,76p 2 -13.52p + 6.76.
f'[p]= 45,52p-13.52. Nên p =0.297