1. Định nghĩa hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều . [ Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ c...
1. Định nghĩa hình lăng trụ đều:
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
[Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.]
2. Tính chất của hình lăng trụ đều:
+ Hai đáy là hai đa giác đều bằng nhau.
+ Các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
+ Các mặt bên vuông góc với mặt đáy.
+ Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
Các hình lăng trụ đều thường gặp ở các bài toán phổ thông là hình lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều, lăng trụ ngũ giác đều, hình lăng trụ lục giác đều, …
Chẳng hạn khi bài toán cho "hình lăng trụ tam giác đều" thì ta vẽ một hình lăng trụ đứng, có đáy là tam giác đều.
Còn nếu đề cho "hình lăng trụ tứ giác đều" nghĩa là phải vẽ một hình lăng trụ đứng với đáy là hình vuông.
Mục lục bài viết
1. Hình lăng trụ
1.1. Định nghĩa
Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau. Theo đó, hai đáy này có thể là hình vuông, hình bình hình, hình tam giác hoặc hình chữ nhật,.. các mặt bên đều là hình bình hành và có các cạnh bên song song và bằng nhau.
1.2. Tính chất
Hình lăng trụ sẽ bao gồm các tính chất sau:
- Hình lăng trụ sẽ có hai đáy là hai đa giác bằng nhau, chúng sẽ nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.
- Hình lăng trụ sẽ có các cạnh bên song song với nhau.
- Hình lăng trụ sẽ có tất cả mặt bên là những hình bình hành.
2. Hình lăng trụ đứng
2.1. Định nghĩa
Hình lăng trụ là hình có hai đáy của hình lăng trụ này là hai đa giác phẳng và bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song nhau. Những mặt bên của hình lăng trụ đứng này đều là hình chữ nhật và vuông góc với những mặt phẳng có chứa những đa giác đáy. Đối với hình lăng trụ dạng đứng, độ dài của cạnh bên chính là chiều cao của hình lăng trụ này, những cạnh bên song song và bằng nhau. Người ta thường gọi tên hình lăng trụ đứng theo tên của đa giác đáy như lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác,..
2.2. Tính chất
Ta có thể suy ra được những tính chất của hình lăng trụ đứng như sau:
- Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với đáy.
- Tất cả những mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật.
- Những mặt phẳng chứa đáy song song với nhau.
- Chiều cao bằng cạnh bên của hình lăng trụ đứng.
Hình lăng trụ đứng mà có đáy là hình bình hành thường còn được gọi với tên khác là hình hộp đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều sẽ được gọi tên theo đa giác đáy ví dụ: đáy là hình tam giác đều sẽ có tên là hình lăng trụ tam giác đều hoặc đáy là tứ giác đều sẽ được gọi là hình lăng trụ tứ giác đều…
3. Hình lăng trụ đều
3.1. Định nghĩa
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ vuông có đáy là đa giác đều hay hình lăng trụ đứng có đáy là những đa giác đều sẽ gọi là lăng trụ đều. Một số lăng trụ đều hay gặp: lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều, lăng trụ ngũ giác đều,....
3.2. Tính chất
- Hai đáy là hai đa giác đều bằng nhau do đó các cạnh đáy bằng nhau
- Cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
- Các mặt bên là các hình chữ nhật.
- Hai đáy là hai đa giác đều bằng nhau do đó các cạnh đáy bằng nhau
4. Lăng trụ tam giác đều
4.1. Định nghĩa
Hình lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
4.2. Tính chất
Lăng trụ tam giác đều có những tính chất giống như lăng trụ đều
Hình lăng trụ tam giác đều có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau.
5. Công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác đều
Hình lăng trụ đứng tam giác đều là hình lăng trụ vuông có hai mặt đáy là hai hình tam giác và ba mặt bên là ba hình chữ nhật
Hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C' có:
A, B, C, A’, B’, C’ là sáu đỉnh
A’ACC’, B’BCC’, A’B’BA là ba mặt bên và là ba hình chữ nhật
AA’, BB’, CC’ là ba cạnh bên của ba cạnh bên đối diện đều nhau và song song với nhau
ABC, A’B’C’ là hai mặt đáy thì hai mặt đáy phải song song với nhau
AA’ là chiều cao
Diện tích xung quanh lăng trụ tam giác đều sẽ bằng tổng diện tích các mặt bên hay bằng tích chu vi đáy và chiều cao
Sxq= p.h
Trong đó:
- p là chu vi đáy hình lăng trụ tam giác đều
- h là chiều cao hình lăng trụ tam giác đều
6. Công thức tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ tam giác đều bằng tổng diện tích các mặt bên và diện tích của hai đáy
Stp= Sxq = 2Sđáy
7. Công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng
Thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác sẻ bằng tích của diện tích tam giác đáy và chiều cao
V= S.h
Trong đó:
- a là chiều dài cạnh đáy của hình lăng trụ tam giác đều
- h là chiều cao của hình lăng trụ tam giác đều
8. Một số hình lăng trụ đặc biệt
8.1. Hình hộp đứng
8.1.1. Định nghĩa
Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
8.1.2. Tính chất
Hình hộp đứng có hai đáy là hình bình hành, bốn mặt xung quanh là bốn hình chữ nhật.
8.2. Hình hộp chữ nhật
8.2.1. Định nghĩa
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
8.2.2. Tính chất
- Hình hộp chữ nhật có sáu mặt là sáu hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có 12 cạnh, 8 đỉnh và 6 mặt
- Các đường chéo có hai đầu mút là hai đỉnh đối nhau của hình hộp chữ nhật đồng quy tại một điểm
- Diện tích của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau
- Chu vi của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau
8.3. Hình lập phương
8.3.1. Định nghĩa
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông
8.3.2. Tính chất
- Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông
- Khối lập phương là hình đa diện đều loại [ 4;3 ]. Các mặt là hình vuông, mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba mặt
- Khối lập phương có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
9. Bài tập áp dụng
Câu 1. Cho khối tứ giác đều S.ABCD có thể tích là V . Nếu giảm độ dài cạnh đáy xuống hai lần và tăng độ dài đường cao lên ba lần thì ta được khối chóp mới có thể tích là bao nhiêu.
Câu 2. Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a và có thể tích V = 9 [dm3 ] Tính giá trị của a .
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của A’ trên mặt phẳng [ ABC ] trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh AA ' hợp với mặt phẳng đáy một góc 450. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C ' tính theo a bằng.
Câu 4. Nếu khối lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh 2a và đường chéo mặt bên bằng 4a thì khối lăng trụ đó có thể tích bằng bao nhiêu.
Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.
Câu 6. Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a bằng
Câu 7. Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng [ B’C’M ] chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
Câu 8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, đường thẳng AB' tạo với mặt phẳng [BCC’B’] một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc tạo bởi hai mặt phẳng [ ABC ], [ A’BC ] bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu 10. Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích là 94 thì độ dài mỗi cạnh bằng.
Câu 11. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là.
Câu 12. Tính thể tích của khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’có AB = AA’ = a.
Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng [ AB’C’] tạo với mặt đáy góc 60°. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu 14. Tính thể tích V của khối lăng trụ đều ABC.A ' B 'C ' biết AB = a và AB ' = 2a.
Câu 15. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy 43 [m ]. Biết mặt phẳng [ D’BC ] hợp với đáy một góc 60o. Thể tích khối lăng trụ là.
Câu 20. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc tạo bởi hai mặt phẳng [ ABC ], [ A'BC ] bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với [ ABC ], tam giác ABC vuông tại C, AC = a2, AB = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC = 3a
Câu 22. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D’ có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt phẳng [ D’AB ] và mặt phẳng [ ABCD ] bằng 30°. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng
Câu 23. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, đường thẳng AB’ tạo với mặt phẳng [ BCC’B’] một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Câu 24. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng [ P ], B’ và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V1 và V2 qua với V1