Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng song song $\left[ P \right]$ và $\left[ Q \right]$ lần lượt có phương trình $?
Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai mặt phẳng song song \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\] lần lượt có phương trình \[2x - y + z = 0\] và \[2x - y + z - 7 = 0.\] Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\] bằng
A. \[7.\]
B. \[7\sqrt 6 .\]
C. \[6\sqrt 7 .\]
D. \[\dfrac{7}{{\sqrt 6 }}.\]
Đáp án B
Lấy một điểm M[2 ;0 ;0]∈[P]. Vì hai mặt phẳng [P] và [Q] song song nên ta có:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left[ {1,0,0} \right],B\left[ {0,1,0} \right]$ và $C\left[ {0,0,1} \right]$ . Phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]$ đi qua ba điểm $A,B,C$ là:
Trong hệ trục toạ độ không gian $Oxyz$, cho \[A\left[ {1,0,0} \right],\;B\left[ {0,b,0} \right],\;C\left[ {0,0,c} \right]\], biết $b,c > 0$, phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]:y - z + 1 = 0$ . Tính $M = c + b$ biết \[[ABC] \bot [P]\], \[d\left[ {O,[ABC]} \right] = \dfrac{1}{3}\]
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left[ {1;1;2} \right].$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left[ P \right]$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$
09:36:4631/10/2020
Thực tế, việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz ở chương trình lớp 12 hầu hết các bạn sẽ thấy "dễ thở" hơn rất nhiều với hình không gian ở lớp 11.
Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay
Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu [trùng nhau, cắt nhau] thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0.
Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
- Cho 2 mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng [P] và mặt phẳng [Q] là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại. ký hiệu: d[[P];[Q]].
- Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: Ax + By + Cz + D' = 0 [D ≠ D'] ta dùng công thức sau:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
* Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [α]: x + 2y − 3z + 1 = 0 và [β]: x + 2y − 3z − 4 = 0.
* Lời giải:
- Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:
* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song [α]: x + 2y + 3z - 5 = 0 và [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0
* Lời giải:
- Ta cần đưa các hệ số [trước x,y,z] của mp [β] về giống với mp [α].
- Ta có, mp [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z - 8 = 0
- Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng [α] và [β] là:
* Bài 3 [Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12]: giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
* Lời giải:
- Ta có hình minh họa như sau:
- Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;
⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:
A[0; 0; 0] ; B[1; 0; 0]; C[1; 1; 0]; D[0; 1; 0].
A'[0; 0; 1]; B'[1; 0; 1]; C'[1; 1; 1]; D'[0; 1; 1].
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
- Ta có:
⇒ Vectơ pháp tuyến của mp [AB'D'] là:
- Tương tự, có:
⇒ [AB'D'] // [BC'D].
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
- Mặt phẳng [BC'D] có VTPT
1.[x - 1] + 1.[y – 0] - 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z - 1 = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] chính là khoảng cách từ A đến [BC'D] và bằng:
* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng [AB'D'] rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau:
- Mặt phẳng [AB'D'] có VTPT
[-1].[x - 0] - 1.[y – 0] + 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] là:
Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.
Như vậy, qua bài viết về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz với phương pháp tọa độ ở trên, các em thấy việc tính toán này là rất "dễ chịu" phải không nào?
Nếu bài toán nói tính khoảng cách của 2 mặt phẳng, các em chỉ cần kiểm tra vị trí tương đối của 2 mặt phẳng này, nếu chúng song song thì vận dụng ngay công thức ta có ở trên, còn nếu cắt nhau hoặc trùng nhau thì kết luận ngày khoảng cách này bằng 0, chúc các em học tốt.
TOANMATH.com giới thiệu đến bạn đọc bài viết vị trí tương đối của hai mặt phẳng thuộc chương trình Hình học 12 chương 3: phương pháp tọa độ trong không gian.
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ có phương trình:
$[P]: Ax + By +Cz + D = 0$, ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0.$
$[Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0$, $A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2} \ne 0.$
Có $3$ vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$:
+ Cắt nhau: $A:B:C \ne A’:B’:C’.$
+ Trùng nhau: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$
+ Song song: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.$
Chú ý: Cho mặt phẳng $[P]:Ax + By + Cz + D = 0.$
Hai điểm ${M_1}\left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]$ và ${M_2}\left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]$ nằm về hai phía của mặt phẳng $[P]$ khi và chỉ khi: $\left[ {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right]\left[ {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right] < 0.$Hai điểm ${M_1}\left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]$ và ${M_2}\left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]$ nằm cùng phía của mặt phẳng $[P]$ khi và chi khi: $\left[ {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right]\left[ {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right] > 0.$
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a] $x + 2y – z + 5 = 0$ và $2x + 3y – 7z – 4 = 0.$
b] $x – 2y + z – 3 = 0$ và $2x – 4y + 2z – 6 = 0.$
c] $x + y + z – 1 = 0$ và $2x + 2y + 2z + 3 = 0.$
a] Hai VTPT là $\vec n = [1;2; – 1]$ và $\overrightarrow {n’} = [2;3; – 7].$ Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nên hai mặt phẳng cắt nhau. b] Các hệ số của hai phương trình mặt phẳng tương ứng tỉ lệ nên hai mặt phẳng trùng nhau.
c] Ta có: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ – 1}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.
Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau: a] $3x – 2y + 3z + 5 = 0$ và $9x – 6y – 9z – 5 = 0.$ b] $x – y + 2z – 4 = 0$ và $10x – 10y + 20z – 40 = 0.$
c] $2x – 4y + 6z – 2 = 0$ và $3x – 6y + 9z + 3 = 0.$
a] Ta có $3:[ – 2]:3 \ne 9:[ – 6]:[ – 9]$ nên hai mặt phẳng cắt nhau. b] $\frac{1}{{10}} = \frac{{ – 1}}{{ – 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ – 4}}{{ – 40}}$ nên hai mặt phẳng trùng nhau.
c] Ta có $\frac{2}{3} = \frac{{ – 4}}{{ – 6}} = \frac{6}{9} \ne \frac{{ – 2}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.
Bài toán 3: Xác định giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song: a] $2x + ny + 2z + 3 = 0$ và $mx + 2y – 4z + 7 = 0.$
b] $2x + y + mz – 2 = 0$ và $x + ny + 2z + 8 = 0.$
a] Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ – 4}} \ne \frac{3}{7}.$ Vậy $n = – 1$, $m = – 4.$ b] Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{m}{2} \ne \frac{{ – 2}}{8}.$
Vậy $m = 4$, $n = \frac{1}{2}.$
Bài toán 4: Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng: $[P]:2x – y – 3z + 1 = 0$, $[Q]:x + 3y – 2z – 2 = 0$ và mặt phẳng $[R]:mx – [m + 1]y + [m + 5]z + 2 = 0$ với $m$ là một số thay đổi. a] Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ cắt nhau.
b] Tìm $m$ để cho mặt phẳng $[R]$ song song với mặt phẳng $[P].$
a] Ta có $2:[ – 1]:[ – 3] \ne 1:3:[ – 2]$ nên hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ cắt nhau. b] Điều kiện mặt phẳng $[R]$ song song với mặt phẳng $[P]$ là: $\frac{m}{2} = \frac{{ – [m + 1]}}{{ – 1}} = \frac{{m + 5}}{{ – 3}} \ne \frac{2}{1}.$ Từ $\frac{m}{2} = \frac{{ – [m + 1]}}{{ – 1}}$ ta suy ra $m= -2.$
Giá trị $m= -2$ thoả điều kiện nên với $m=-2$ thì hai mặt phẳng $[R]$ và $[P]$ song song.
Bài toán 5: Hãy xác định giá trị của $m$ để các cặp mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau: a] $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $x + 3y + 2z + 5 = 0.$
b] $5x + y – 3z – 2 = 0$ và $2x + my – 3z + 1 = 0.$
a] Hai VTPT $\vec n = [3; – 5;m]$, $\overrightarrow {n’} = [1;3;2].$ Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 3.1 + [ – 5].3 + m.2 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 6.$ b] Hai VTPT $\vec n = [5;1; – 2]$, $\overrightarrow {n’} = [2;m; – 3].$
Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 5.2 + 1.m + [ – 3].[ – 3] = 0$ $ \Leftrightarrow m = – 19.$
Bài toán 6: Cho hai mặt phẳng có phương trình là: $2x – my + 3z – 6 + m = 0$ và $[m + 3]x – 2y + [5m + 1]z – 10 = 0.$ a] Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó song song; trùng nhau; cắt nhau.
b] Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
a] Hai mặt phẳng đã cho có các vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow {{n_1}} [2; – m;3]$ và $\overrightarrow {{n_2}} = [m + 3; – 2;5m + 1].$ Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right]$ $ = \left[ { – 5{m^2} – m + 6; – 7m + 7;{m^2} + 3m – 4} \right].$ Hai vectơ đó cùng phương khi và chỉ khi $\left[ {{{\vec n}_1};{{\vec n}_2}} \right] = \vec 0$, tức là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 5{m^2} – m + 6 = 0}\\ { – 7m + 7 = 0}\\ {{m^2} + 3m – 4 = 0} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 1,m = – \frac{6}{5}}\\ {m = 1}\\ {m = 1,m = – 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 1.$ Khi đó hai mặt phẳng có phương trình là $2x – y + 3z – 5 = 0$ và $4x – 2y + 6z – 10 = 0$ nên chúng trùng nhau. Vậy không có giá trị $m$ nào để hai mặt phẳng đó song song. Khi $m=1$ thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Khi$m \ne 1$ thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.
b] Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$ $ \Leftrightarrow 2[m + 3] + 2m + 3[5m + 1] = 0$ $ \Leftrightarrow 19m + 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{9}{{19}}.$
Bài toán 7: Cho ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ lần lượt có các phương trình sau: $Ax + By + Cz + {D_1} = 0$, $Bx + Cy + Az + {D_2} = 0$, $Cx + Ay + Bz + {D_3} = 0$ với điều kiện ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0.$
Chứng minh nếu $AB + BC + CA = 0$ thì ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ đôi một vuông góc với nhau.
Các vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ lần lượt là: $\overrightarrow {{n_P}} = [A;B;C]$, $\overrightarrow {{n_Q}} = [B;C;A]$, $\overrightarrow {{n_R}} = [C;A;B].$ Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = AB + BC + CA = 0.$ $\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_R}} = AB + BC + CA = 0.$ $\overrightarrow {{n_R}} .\overrightarrow {{n_P}} = AB + BC + CA = 0.$ no.nr = AB + BC + CA = 0. và na no = AB + BC + CA = 0.
Vậy ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ đôi một vuông góc với nhau.
Bài toán 8: Xác định các giá trị $p$ và $m$ để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng: $5x + py + 4z + m = 0$, $3x – 7y + z – 3 = 0$, $x – 9y – 2z + 5 = 0.$
Các điểm chung trên hai mặt phẳng $3x – 7y + z – 3 = 0$ và $x – 9y – 2z + 5 = 0$ có toạ độ thoả mãn hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – 7y + z – 3 = 0}\\ {x – 9y – 2z + 5 = 0} \end{array}} \right. .$ Cho $y = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{1}{7}$, $z = \frac{{18}}{7}$ suy ra $A\left[ {\frac{1}{7};0;\frac{{18}}{7}} \right].$ Cho $z = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{{31}}{{10}}$, $y = \frac{9}{{10}}$ suy ra $B\left[ {\frac{{31}}{{10}};\frac{9}{{10}};0} \right].$ Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng khi mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0$ đi qua hai điểm $A$ và $B.$ Thay toạ độ của các điểm $A$, $B$ vào phương trình mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0.$ Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{5}{7} + \frac{{72}}{7} + m = 0}\\ {\frac{{155}}{{10}} + \frac{{9p}}{{10}} + m = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = – 11}\\ {p = – 5} \end{array}} \right. .$
Vậy $m = -11$ và $p = -5.$
Bài toán 9: Chứng tỏ rằng các mặt phẳng $[\alpha ]$, $[\beta ]$, $[\gamma ]$, $[\delta ]$ sau đây là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật: $[\alpha ]:7x + 4y – 4z + 30 = 0.$ $[\beta ]:36x – 51y + 12z + 17 = 0.$ $[\gamma ]:7x + 4y – 4z – 6 = 0.$
$[\delta ]:12x – 17y + 4z – 3 = 0.$
Mặt phẳng $[\alpha ]$ song song với mặt phẳng $[\gamma ]$ vì: $\frac{7}{{14}} = \frac{4}{8} = \frac{{ – 4}}{{ – 8}} \ne \frac{{30}}{{ – 12}}.$ Mặt phẳng $[\beta ]$ song song với mặt phẳng $[\delta ]$ vì: $\frac{{36}}{{12}} = \frac{{ – 51}}{{ – 17}} = \frac{{12}}{4} \ne \frac{{17}}{{ – 3}}.$ Mặt phẳng $[\alpha ]$ vuông góc với mặt phẳng $[\beta ]$ vì: $7.36 + 4[ – 51] + [ – 4].12$ $ = 252 – 204 – 48 = 0.$
Vậy bốn mặt phẳng $[\alpha ]$, $[\beta ]$, $[\gamma ]$, $[\delta ]$ là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật trong đó: $[\alpha ]//[\gamma ]$ và $[\beta ]//[\delta ]$ và $[\alpha ] \bot [\beta ].$
- Kiến thức Tọa độ không gian Oxyz