\[[{e^{ - x}}]'= {e^{ - x}}\left[ { - 1} \right]= - {e^{ - x}}\] và \[[ - {e^{ - x}}]' = \left[ { - 1} \right][ - {e^{ - x}}] = {e^{ - x}}\]
- \[sin^2x\] là nguyên hàm của \[sin2x\], vì:
\[\left[ {si{n^2}x} \right]'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left[ {sinx} \right]' = 2sinxcosx = sin2x\]
- \[[1-\frac{4}{x}]e^{x}\] là một nguyên hàm của \[[1-\frac{2}{x}]{2}e{x}\] vì:
\[[{[1-\frac{4}{x}]e^{x}]}'\] = \[\frac{4}{x^{2}}e^{x}+[1-\frac{4}{x}]e^{x}\] = \[\left [1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2}} \right ]e^{x}\] \= \[[1-\frac{2}{x}]{2}e{x}\]
Bài 2 trang 100-101-SGK Giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
- \[f[x] = \frac{x+\sqrt{x}+1}{{\sqrt[3]{x}}}\] ; b] \[ f[x]=\frac{2{x}-1}{e^{x}}\]
- \[f[x] = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\]; d] \[f[x] = sin5x.cos3x\]
- \[f[x] = tan^2x\] g] \[f[x] = e^{3-2x}\]
- \[f[x] =\frac{1}{[1+x][1-2x]}\] ;
Giải
- Điều kiện \[x>0\]. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
\[f[x] = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}\] = \[x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\] = \[x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\]
\[∫f[x]dx = ∫[x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}]dx\] = \[\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\] +C
- Ta có \[f[x] = \frac{2^{x}-1}{e^{x}}\] = \[[\frac{2}{e}]{x}\]\[-e{-x}\]
; do đó nguyên hàm của \[f[x]\] là:
\[F[x]= \frac{[\frac{2}{e}]{x}}{ln\frac{2}{e}} + e{-x}+C\] =\[\frac{2^{x}}{e^{x}[ln2 -1]}+\frac{1}{e^{x}}+C\]= \[\frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}[ln2-1]} + C\]
- Ta có \[f[x] = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=\frac{4}{sin^{2}2x}\]
hoặc \[f[x] =\frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sin^{2}x}\]
Do đó nguyên hàm của \[f[x]\] là \[F[x]= -2cot2x + C\]
- Áp dụng công thức biến tích thành tổng:
\[f[x] =sin5xcos3x = \frac{1}{2}[sin8x +sin2x]\].
Vậy nguyên hàm của hàm số \[f[x]\] là
\[F[x]\] = \[-\frac{1}{4}\][\[\frac{1}{4}cos8x + cos2x] +C\]
- Ta có \[tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}-1\]
vậy nguyên hàm của hàm số f[x] là \[F[x] = tanx - x + C\]
- Ta có \[\int {{e^{3 - 2x}}} dx = - {1 \over 2}\int {{e^{3 - 2x}}} d[3 - 2x] = - {1 \over 2}{e^{3 - 2x}} + C\]
- Ta có :\[\int \frac{dx}{[1+x][1-2x]]}=\frac{1}{3}\int [\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x}]dx\]
\= \[\frac{1}{3}[ln\left | 1+x \right |]-ln\left | 1-2x \right |]+C\]
\= \[\frac{1}{3}ln\left | \frac{1+x}{1-2x} \right | +C\].
Bài 3 Trang 101- SGK Giải tích 12
Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
- \[∫{[1-x]}^9dx\] [đặt \[u =1-x\] ] ;
- \[∫x{[1 + {x^2}]^{{3 \over 2}}}dx\] [đặt \[u = 1 + x^2\] ]
- \[∫cos^3xsinxdx\] [đặt \[t = cosx\]]
- \[\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\] [đặt \[u= e^x+1\]]
Giải
- Cách 1: Đặt \[u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\]. Khi đó ta được \[-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C\]
Suy ra \[\int[1-x]{9}dx=-\frac{[1-x]{10}}{10}+C\]
Cách 2: \[\smallint {\left[ {1 - x} \right]9}dx = - \smallint {\left[ {1 - x} \right]{9}}d\left[ {1 - x} \right]=\] \[-\frac{[1-x]^{10}}{10} +C\]
- Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.
Cách 2: \[\int x[1+x^{2}]{\frac{3}{2}}dx\] = \[\frac{1}{2}\int [1+x{2}]^{\frac{3}{2}}d[1+x^2{}]\]
\= \[\frac{1}{2}.\frac{2}{5}[1+x^{2}]{\frac{5}{2}}+C\] = \[\frac{1}{5}.[1+x{2}]^{\frac{5}{2}}+C\]
c]\[∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd[cosx]\]
\[= -\frac{1}{4}.cos^{4}x + C\]
- \[\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\] = \[\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\]= \[\int \frac{d[e^{x}+1]}{[e^{x}+1]^{2}}dx\]
\=\[\frac{-1}{e^{x}+1} + C\].
Bài 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
- \[∫xln[1+x]dx\]; b] \[\int {[{x^2} + 2x + 1]{e^x}dx}\]
- \[∫xsin[2x+1]dx\]; d] \[\int [1-x]cosxdx\]
Giải
- Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
Đặt \[u= ln[1+x]\]
\[dv= xdx\]
\[\Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx\] , \[v=\frac{x^{2}-1}{2}\]
Ta có: \[∫xln[1+x]dx = \frac{1}{2}.[x^{2}-1]ln[1+x]\]\[-\frac{1}{2}\int [x-1]dx]\]
\[=\frac{1}{2}.[x^{2}-1]ln[1+x]-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C\]
- Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần:
Đặt \[u = [{x^2} + 2x - 1]\] và \[dv=e^xdx\]
Suy ra \[du = [2x+2]dx\], \[v=e^x\]
. Khi đó:
\[\int {[{x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1]{e^x}dx} \] = \[[{x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1]{e^x}\] - \[\int {[2x + 2]{e^x}dx} \]
Đặt : \[u=2x+2\]; \[dv={e^x}dx\]
\[\Rightarrow du = 2dx ;v={e^x}\]
Khi đó: \[\int {[2x + 2]{e^x}dx} \]\[= {[2x + 2]{e^x}}\]\[- 2\int {{e^x}dx} \]\[= {\rm{ }}{e^x}\left[ {2x + 2} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}2{e^x} + C\]