Giải bài 24 trang 111, 112 SGK Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn với hướng dẫn và lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa môn Toán 9, các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán.
Bài 24 SGK Toán 9 tập 1 trang 111 112
Bài 24 [trang 111 112 SGK]: Cho đường tròn [O], dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
- Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
- Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.
Hướng dẫn giải
- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Để nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn ta có hai dấu hiệu sau:
+ Dấu hiệu 1: Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung [định nghĩa tiếp tuyến].
+ Dấu hiệu 2: Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Lời giải chi tiết
- Gọi H là giao điểm của OC và AB, ΔAOB cân tại O [OA = OB, bán kính].
OH là đường cao nên cũng là đường phân giác.
Vì AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn [O]
Xét tam giác OAC và tam giác OBC có”
OA = OB [bằng bán kính]
[chứng minh trên]
OC là cạnh chung
![\begin{matrix} \Rightarrow \Delta AOC = \Delta BOC\left[ {c - g - c} \right] \hfill \ \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OBC} = {90^0} \hfill \ \end{matrix}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20%20%5CRightarrow%20%5CDelta%20AOC%20%3D%20%5CDelta%20BOC%5Cleft[%20%7Bc%20-%20g%20-%20c%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CRightarrow%20%5Cwidehat%20%7BOAC%7D%20%3D%20%5Cwidehat%20%7BOBC%7D%20%3D%20%7B90%5E0%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D]
\=> CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn [O]
⇒ CB là tiếp tuến của đường tròn [O] tại B. [điều phải chứng minh]
- Ta có:
HO vuông góc AB nên H là trung điểm của AB
\=> HA = BH = AB/2 = 12
Xét tam giác OAH vuông tại H, áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:
![\begin{matrix} O{A^2} = O{H^2} + H{A^2} \hfill \ \Leftrightarrow {15^2} = O{H^2} + {12^2} \hfill \ \Leftrightarrow O{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81 \hfill \ \Rightarrow OH = 9\left[ {cm} \right] \hfill \ \end{matrix}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20O%7BA%5E2%7D%20%3D%20O%7BH%5E2%7D%20%2B%20H%7BA%5E2%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%7B15%5E2%7D%20%3D%20O%7BH%5E2%7D%20%2B%20%7B12%5E2%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20O%7BH%5E2%7D%20%3D%20%7B15%5E2%7D%20-%20%7B12%5E2%7D%20%3D%2081%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CRightarrow%20OH%20%3D%209%5Cleft[%20%7Bcm%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D]
Xét tam giác vuông OAC có đường cao AH, áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\begin{matrix} O{A^2} = OH.OC \hfill \ \Rightarrow OC = \dfrac{{O{A^2}}}{{OH}} = \dfrac{{{{15}^2}}}{9} = 25\left[ {cm} \right] \hfill \ \end{matrix}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20O%7BA%5E2%7D%20%3D%20OH.OC%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CRightarrow%20OC%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7BO%7BA%5E2%7D%7D%7D%7B%7BOH%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%7B%7B15%7D%5E2%7D%7D%7D%7B9%7D%20%3D%2025%5Cleft[%20%7Bcm%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D]
Vậy OC = 25 cm
-> Bài tiếp theo: Bài 25 trang 112 SGK Toán 9 tập 1
-------
Trên đây GiaiToan đã chia sẻ Giải Toán 9 Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn giúp học sinh nắm chắc Chương 2: Đường tròn. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh tham khảo, chuẩn bị cho bài giảng sắp tới tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!
Nhận xét. Ở câu a] ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn [O]. Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính CO, mà CA là tiếp tuyến nên CB phải là tiếp tuyến.
Cho đường tròn [O], dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
- Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tòn.
- Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB=24cm. Tính độ dài OC.
Giải:
- Gọi H là giao điểm của OC và AB.
Vì \[OH\perp AB\] nên \[HA=HB\], suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó \[CB=CA.\]
\[\Delta CBO=\Delta CAO\] [c.c.c]
\[\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}\].
Vì AC là tiếp tuyến của đường trong [O] nên:
\[AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}\].
Do đó \[\widehat{CBO}=90^{\circ}\].
Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn [O].
- Xét tam giác HOA vuông tại H, có
\[OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}\]
\[=15^{2}-12^{2}=81\]
\[\Rightarrow OH=9[cm]\]
Xét tam giác BOC vuông tại B, có:
\[OB^{2}=OC\cdot OH\]
\[\Rightarrow OC=\frac{OB^{2}}{OH}=\frac{225}{9}=25[cm].\]
Nhận xét. Ở câu a] ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn [O]. Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính CO, mà CA là tiếp tuyến nên CB phải là tiếp tuyến.