Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Đề bài
Phần I: Trắc nghiệm [2 điểm]
Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau:
Câu 1 : Điều kiện để biểu thức\[A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x - 1}}\] xác định là:
A.\[x > 0\]
B.\[x > 1\]
C.\[x > 0,x \ne 1\]
D.\[x \ge 0,x \ne 1\]
Câu 2 [TH]: Cho\[\sqrt {x - 1} = 2\], giá trị của \[x\] là:
A.\[ - 3\] B.3
C.\[ - 1\] D.5
Câu 3 : Cho biểu thức \[P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}} \] với \[a \ge 0\], kết quả thu gọn của \[P\] là:
A.\[\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}\]. B.\[\dfrac{a}{4}\].
C.\[\dfrac{a}{{16}}\]. D.\[\dfrac{{\sqrt a }}{4}\].
Câu 4 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm \[A\left[ {1;4} \right]\]là:
A.\[y = {x^2} + 3\] B.\[y = x - 3\]
C.\[y = 4x\]. D.\[y = 4 - x\].
Câu 5 : Cho 2 đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]:y = \left[ {{m^2} + 1} \right]x + 2\] và \[\left[ {{d_2}} \right]:y = 5x + m\]. Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:
A.\[m = \pm 2\] B.\[m = 2\]
C.\[m = - 2\] D.\[m \ne \pm 2\]
Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:
A.\[\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\]
B.\[\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\]
C.\[\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\]
D.\[\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\]
Câu 7 : Cho hai điểm phân biệt A, B. Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:
A.0 B.1
C.2 D.Vô số
Câu 8 : Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ {O,3cm} \right]\], \[MA = 4cm\]. Độ dài đoạn thẳng AB là:
A.4,8cm B.2,4cm
C.1,2cm D.9,6cm
Phần II. Tự luận [8 điểm]
Câu 1: [2 điểm]
Cho hai biểu thức \[A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\] với\[x > 0,x \ne 25\].
- Tính giá trị biểu thức \[A\] khi\[x = 81\].
- Cho\[P = A.B\], chứng minh rằng \[P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\]
- So sánh \[P\] và\[{P^2}\].
Câu 2: [2 điểm]
Cho hàm số \[y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\] [\[m\]là tham số]
a]Vẽ đồ thị hàm số trên khi\[m = - 1\].
b]Tìm \[m\]để hai đường thẳng \[\left[ d \right]y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]và \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Câu 3: [3,5 điểm]
Cho đường tròn \[\left[ O \right]\] đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \[\left[ O \right]\][C khác Avà B] sao cho\[AC > BC\]. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn \[\left[ O \right]\] cắt OHtại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tại E.
- Chứng minh \[HA = HC,\angle DCO = {90^o}\]
- Chứng minh rằng \[DH.DO = DE.DB\]
- Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\[MK = MF\].
Câu 4: [0,5 điểm]
Cho các số dương \[x,y\] thoả mãn\[x + y \le \dfrac{4}{3}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\]
Quảng cáo
LG trắc nghiệm
Lời giải chi tiết:
Phần I:
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
Câu 1: Cho hai biểu thức \[A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\] với\[x > 0,x \ne 25\].
- Tính giá trị biểu thức \[A\] khi \[x = 81\].
Với\[x = 81\] ta có\[A = \dfrac{{\sqrt {81} - 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 - 5}}{9} = \dfrac{4}{9}\].
Vậy với \[x = 81\] ta có\[A = \dfrac{4}{9}\].
- Cho \[P = A.B\], chứng minh rằng \[P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\]
\[\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 5} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 3\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}}.\end{array}\]
Xét\[P = A.B = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 5} \right]\left[ {\sqrt x + 5} \right]}} \]\[\;= \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 2} \right]}}{{\left[ {\sqrt x + 5} \right]\left[ {\sqrt x - 5} \right]}} \]\[\;= \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\].
Vậy \[P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\].\[\]
- So sánh \[P\] và \[{P^2}\].
Xét hiệu \[P - {P^2} = P\left[ {1 - P} \right]\].
Nhận thấy: \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0\]. [1]
Xét \[1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}} = \dfrac{{\sqrt x + 5 - \left[ {\sqrt x + 2} \right]}}{{\sqrt x + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x + 5}}\].
Vì \[\sqrt x + 5 > 0\;\forall x > 0\]
\[\Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0\]. [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow P\left[ {1 - P} \right] > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0\].
Vậy \[P > {P^2}\] với mọi x thỏa mãnĐKXĐ.
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
Câu 2:
Cho hàm số \[y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\] [\[m\]là tham số]
- Vẽ đồ thị hàm số trên khi\[m = - 1\].
Với \[m = - 1\] ta có hàm số có dạng:\[y = x + 3\]
Chọn\[x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \]\[A\left[ {0;3} \right]\]thuộc đồ thị hàm số
Chọn\[y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \Rightarrow B\left[ { - 3;\;0} \right]\] thuộc đồ thị hàm số.
Từ đó ta có đồ thị hàm số:
b]Tìm \[m\]để hai đường thẳng \[\left[ d \right]y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]và \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Phương trình của trục tung có dạng \[x = 0\]. Thay \[x = 0\] vào hàm số \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] ta có \[y = 3\]
Suy ra \[A\left[ {0;3} \right]\] là giao điểm của\[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] và trục tung.
Vì hai đường thẳng \[\left[ d \right]:y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]và \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên điểm \[A\left[ {0;3} \right]\] thuộc đường thẳng \[\left[ d \right]:y = \left[ {m + 2} \right]x + 2{m^2} + 1\]
\[ \Rightarrow 3 = \left[ {m + 2} \right].0 + 2{m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\].
Với \[m = 1 \Rightarrow y = 3x + 3 \Rightarrow \]\[\left[ d \right]\] trùng với \[\left[ {d'} \right]:y = 3x + 3\] [loại vì nếu hai đường thẳng trùng nhau thì không thể cắt nhau tại 1 điểm]
Với \[m = - 1 \Rightarrow y = x + 3\] [thỏa mãn]
Vậy\[m = - 1\] là giá trị cần tìm.
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
Câu 3:
Cho đường tròn \[\left[ O \right]\] đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \[\left[ O \right]\][C khác Avà B] sao cho\[AC > BC\]. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại A của đường tròn \[\left[ O \right]\] cắt OH tại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tại E
a]Chứng minh \[HA = HC,\angle DCO = {90^o}\]
Xét tam giác AOC có: \[AO = CO\][do cùng là bán kính], suy ra tam giác AOC cân tại O
Mà có OH là đường cao ứng với đỉnh O nên OH đồng thời cũng là trung trực của AC
Suy ra \[HA = HC\]. [đpcm]
Xét tam giác AOC cân tại O có OH là đường cao, suy ra OH đồng thời là đường phân giác
\[ \Rightarrow \angle AOH = \angle COH\].
Xét tam giác DOC và tam giác DOA có:
+] Chung cạnh OD
+] \[AO = CO\][do cùng là bán kính]
+] \[\angle AOH = \angle COH\]
\[ \Rightarrow \Delta DOC = \Delta DOA \Rightarrow \angle DCO = \angle DAO = {90^o}\][do AD là tiếp tuyến nên \[\angle DAO = {90^o}\]]\[\]\[\]
b]Chứng minh rằng \[DH.DO = DE.DB\]
Xét tam giác vuông ADO vuông tại A có AHlà đường cao
\[ \Rightarrow A{D^2} = DH.DO\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông] [1]
Xét tam giác vuông DABvuông tại A có AElà đường cao [ AE vuông góc với BD do \[\angle AEB\]là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow A{D^2} = DE.DB\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[DH.DO = DE.DB\;\;\left[ { = A{D^2}} \right]\] [đpcm] \[\]\[\]
- Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FKcắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\[MK = MF\].
Kéo dài BM cắt AD tại G, GF cắt AB tại L
Xét tam giác ABG có:
\[\begin{array}{l}DO//BG\;\left[ { \bot AC} \right]\\OA = OB\;\left[ { = R} \right]\end{array}\]
\[ \Rightarrow AD = DG\] [tính chất đường trung bình]
Xét tam giác GFA có:
+] D là trung điểm củaAG [do\[AD = DG\]]
+]E là trung điểm của AF [giả thiết]
\[ \Rightarrow \]DE song song với GF[tính chất đường trung bình]
Xét tam giác GAL có:
+] D là trung điểm AG [do \[AD = DG\]]
+] DB song song với GL [do DE song song với GF]
Suy ra B là trung điểm của AL [tính chất đường trung bình], suy ra\[AB = \dfrac{1}{2}AL\]\[\]
Xét tam giác GKM có KM song song với AB [do cùng vuông góc với AG]
\[ \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KG}}{{AG}}\] [định lí Ta-lét] [3]
Xét tam giác GAL có KF song song với AL [do cùng vuông góc với AG]
\[ \Rightarrow \dfrac{{KF}}{{AL}} = \dfrac{{GK}}{{AG}}\] [định lí Ta-lét] [4]
Từ [3] và [4] \[ \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KF}}{{AL}}\]. Mà có \[AB = \dfrac{1}{2}AL\] [cmt]
\[ \Rightarrow KM = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow MF = KF - KM = KF - \dfrac{1}{2}KF = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow KF = KM\][đpcm].
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
Cho các số dương \[x,y\] thoả mãn\[x + y \le \dfrac{4}{3}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\[S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\]
Ta có: \[S = \left[ {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right] + \left[ {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right] + \dfrac{{11}}{{36}}\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right]\].
Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:
\[\begin{array}{l} + ]\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\\ + ]\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\end{array}\]
Chứng minh bất đẳng thức phụ:
\[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left[ {x + y} \right]^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left[ {x - y} \right]^2} \ge 0\][luôn đúng]
Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \[\dfrac{{11}}{{36}}\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right] \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}\]
Mà có \[x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right] \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}\].
\[ \Rightarrow S = \left[ {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right] + \left[ {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right] + \dfrac{{11}}{{36}}\left[ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right] \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}\].
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}\]