Đề bài
Câu 1 [2,5 điểm]: Cho parabol \[\left[ P \right]:\,\,y = - {x^2}\] và đường thẳng \[\left[ d \right]:y = 2x - 3\]
a] Vẽ parabol \[\left[ P \right]\] và đường thẳng \[\left[ d \right]\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b] Tìm tọa độ giao điểm của \[\left[ P \right]\] và \[\left[ d \right]\].
Câu 2 [2,5 điểm]: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình:
Hai tổ sản xuất cùng nhận chung được một đơn hàng, nếu hai tổ cùng làm thì sau \[15\] ngày sẽ xong. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được \[6\] ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển công việc khác, do đổ tổ II làm một mình \[24\] ngày nữa thì hoàn thành đơn hàng. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong trong bao nhiều ngày?
Câu 3 [4,0 điểm]: Cho \[\left[ {O;\,\,R} \right]\], \[MN\] là dây không đi qua tâm. \[C,\,\,D\] là hai điểm bất kì thuộc dây \[MN\] [\[C,\,\,D\] không trùng với \[M,\,\,N\]]. \[A\] là điểm chính giữa của cung nhỏ \[MN\]. Các đường thẳng \[AC\] và \[AD\] lần lượt cắt \[\left[ O \right]\] tại điểm thứ hai là \[E,\,\,F\].
a] Chứng minh \[\angle ACD = \angle AFE\] và tứ giác \[CDFE\] nội tiếp.
b] Chứng minh \[A{M^2} = AC.AE\].
c] Kẻ đường kính \[AB\]. Gọi \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[MCE\]. Chứng minh \[M,\,\,I,\,\,B\] thẳng hàng.
Câu 4 [1,0 điểm]: Với \[x,\,\,y,\,\,z\] là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \[xy + yz + zx = 5\].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left[ {{x^2} + 5} \right]} + \sqrt {6\left[ {{y^2} + 5} \right]} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\].
Lời giải chi tiết
Câu 1 [VD]
Phương pháp:
a] Lập bảng giá trị sau đó biểu diễn \[\left[ P \right]\] và \[\left[ d \right]\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b] Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left[ P \right]\] và \[\left[ d \right]\] tìm được \[x\], từ đó tìm được \[y\].
Cách giải:
Cho parabol \[\left[ P \right]:\,\,y = - {x^2}\] và đường thẳng \[\left[ d \right]:y = 2x - 3\]
a] Vẽ parabol \[\left[ P \right]\] và đường thẳng \[\left[ d \right]\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
*] Vẽ parabol \[\left[ P \right]:\,\,y = - {x^2}\]
Ta có bảng giá trị:
|
\[x\] |
\[ - 2\] |
\[ - 1\] |
\[0\] |
\[1\] |
\[2\] |
|
\[y = - {x^2}\] |
\[ - 4\] |
\[ - 1\] |
\[0\] |
\[ - 1\] |
\[ - 4\] |
\[ \Rightarrow \left[ P \right]:\,\,y = - {x^2}\] là đường cong Parabol đi qua các điểm có tọa độ\[\left[ { - 2\,;\,\, - 4} \right],\]\[\left[ { - 1\,;\,\, - 1} \right],\]\[\left[ {0\,;\,\,0} \right],\]\[\left[ {1\,;\,\, - 1} \right],\]\[\left[ {2\,;\,\, - 4} \right]\]
*] Vẽ đường thẳng \[\left[ d \right]:y = 2x - 3\]
Ta có bảng giá trị:
|
\[x\] |
\[0\] |
\[\frac{3}{2}\] |
|
\[y = 2x - 3\] |
\[ - 3\] |
\[0\] |
\[ \Rightarrow \left[ d \right]:y = 2x - 3\] là đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ \[\left[ {0\,\,;\,\, - 3} \right],\,\left[ {\frac{3}{2}\,\,;\,\,0} \right]\]
b] Tìm tọa độ giao điểm của \[\left[ P \right]\] và \[\left[ d \right]\].
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left[ P \right]\] và \[\left[ d \right]\] ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - {x^2} = 2x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 3x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} - x} \right] + \left[ {3x - 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x\left[ {x - 1} \right] + 3\left[ {x - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\]
+] Với \[x = 1\]\[ \Rightarrow y = - {1^2} = - 1\]
\[ \Rightarrow A\left[ {1\,;\,\, - 1} \right]\]
+] Với \[x = - 3\]\[ \Rightarrow y = - {\left[ { - 3} \right]^2} = - 9\]
\[ \Rightarrow B\left[ { - 3\,;\,\, - 9} \right]\]
Vậy \[\left[ d \right]\] cắt \[\left[ P \right]\] tại hai điểm phân biệt \[A\left[ {1\,;\,\, - 1} \right]\] và \[B\left[ { - 3\,;\,\, - 9} \right]\].
Câu 2 [VD]
Phương pháp:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
+] Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
+] Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.
+] Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình.
+] Giải phương trình vừa lập sau đó đối chiếu với điều kiện đề bài và kết luận
Cách giải:
Gọi thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \[x\] [ngày]; \[\left[ {x > 15} \right].\]
Gọi thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \[y\][ngày]; \[\left[ {y > 15} \right].\]
Trong một ngày, tổ I làm được \[\frac{1}{x}\] đơn hàng.
Trong một ngày, tổ II làm được \[\frac{1}{y}\] đơn hàng.
Vì hai tổ cùng làm trong \[15\] ngày thì hoàn thành xong đơn hàng, nên trong một ngày cả hai tổ làm được \[\frac{1}{{15}}\] đơn hàng. Khi đó, ta có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\] \[\left[ 1 \right]\]
Trong \[6\] ngày, cả hai tổ làm được \[\frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\] đơn hàng.
Trong \[24\] ngày, tổ II làm được \[\frac{{24}}{y}\] đơn hàng.
Vì sau khi cùng làm được \[6\] ngày thì tổ II làm một mình trong \[24\] ngày nữa thì hoàn thành xong đơn hàng nên ta có phương trình: \[\frac{2}{5} + \frac{{24}}{y} = 1\] \[\left[ 2 \right]\]
Từ \[\left[ 1 \right]\]và \[\left[ 2 \right]\]ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{2}{5} + \frac{{24}}{y} = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{{24}}{y} = \frac{3}{5}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\y = 40\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{{40}} = \frac{1}{{15}}\\y = 40\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\left[ {tm} \right]\\y = 40\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\]
Vậy thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \[24\] ngày.
Thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \[40\] ngày.
Câu 3 [VD]
Phương pháp:
a] Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách áp dụng dấu hiệu nhận biết.
b] Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc.
c] Chứng minh \[AM \bot MI\] và \[AM \bot MB\] tại \[M\]. Từ đó suy ra ba điểm \[M,\,\,I,\,\,B\] thẳng hàng.
Cách giải:
Cho \[\left[ {O;\,\,R} \right]\], \[MN\] là dây không đi qua tâm. \[C,\,\,D\] là hai điểm bất kì thuộc dây \[MN\] [\[C,\,\,D\] không trùng với \[M,\,\,N\]]. \[A\] là điểm chính giữa của cung nhỏ \[MN\]. Các đường thẳng \[AC\] và \[AD\] lần lượt cắt \[\left[ O \right]\] tại điểm thứ hai là \[E,\,\,F\].
a] Chứng minh \[\angle ACD = \angle AFE\] và tứ giác \[CDFE\] nội tiếp.
Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có:
[góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn]
[góc nội tiếp ]
Vì \[A\] là điểm chính giữa của cung nhỏ \[MN\] nên [liên hệ giữa cung và dây]
\[ \Rightarrow \angle ACD = \angle AFE\] [đpcm]
Theo chứng minh trên, ta có: \[\angle ACD = \angle AFE\]
\[ \Rightarrow \] Tứ giác \[CDFE\] nội tiếp [Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó]
b] Chứng minh \[A{M^2} = AC.AE\].
Xét đường tròn \[\left[ O \right]\], ta có:
[góc nội tiếp bị chắn bởi cung \[AN\]]
[góc nội tiếp bị chắn bởi cung \[AM\]]
Ta lại có: [chứng minh trên] suy ra \[\angle AMC = \angle AEM\].
Xét \[\Delta AMC\] và \[\Delta AEM\] ta có:
\[\angle A\] chung
\[\angle AMC = \angle AEM\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \Delta AMC = \Delta AEM\] [góc góc]
\[ \Rightarrow \frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AM}}\] [tỷ lệ cặp cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow A{M^2} = AE.AC\][đpcm]
c] Kẻ đường kính \[AB\]. Gọi \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[MCE\]. Chứng minh \[M,\,\,I,\,\,B\] thẳng hàng.
Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] ta có:
+] \[\angle AMB = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]\[ \Rightarrow AM \bot MB\] tại \[M\].
+] \[\angle AMN = \angle MEA\] [góc nội tiếp bị chắn bởi hai cung bằng nhau và ].
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \[MCE\] ta có:
+] [góc ở tâm]
[góc nội tiếp bị chắn bởi cung \[MC\]]
\[ \Rightarrow \angle MIC = 2\angle MEC\]
+] \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[MCE\]\[ \Rightarrow IM = IC = IE\][=bán kính]
Vì \[IM = IC \Rightarrow \Delta MIC\] cân tại \[I\]\[ \Rightarrow \angle IMC = \angle ICM\] [tính chất]
Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác \[IMC\] ta có:
\[\,\,\,\,\,\,\angle IMC + \angle ICM + \angle MIC = {180^0}\]
\[ \Rightarrow 2\angle IMC + \angle MIC = {180^0}\] [vì \[\angle IMC = \angle ICM\]]
\[ \Rightarrow 2\angle IMC + 2\angle MEC = {180^0}\] [vì\[\angle MIC = 2\angle MEC\]]
\[ \Rightarrow 2\angle IMC + 2\angle AMN = {180^0}\] [vì \[\angle AMN = \angle MEA\]]
\[ \Rightarrow \angle IMC + \angle AMN = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \angle AMI = {90^0}\]
\[ \Rightarrow AM \bot MI\] tại \[M\]
Mà \[AM \bot MB\] tại \[M\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \] Ba điểm \[M,\,\,I,\,\,B\] thẳng hàng [đpcm]
Câu 4 [VDC]
Phương pháp:
Thay \[xy + yz + zx = 5\] vào biểu thức \[{x^2} + 5\] sau đó phân tích thành nhân tử.
Làm tương tự đối với \[{y^2} + 5\], \[{z^2} + 5\]. Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si.
Cách giải:
Với \[x,\,\,y,\,\,z\] là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \[xy + yz + zx = 5\].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left[ {{x^2} + 5} \right]} + \sqrt {6\left[ {{y^2} + 5} \right]} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\]
Vì \[x,\,\,y,\,\,z\] là các số thực dương nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + z > 0\\y + z > 0\end{array} \right.\]
\[{x^2} + 5 = {x^2} + xy + yz + xz\]\[ = \left[ {{x^2} + xy} \right] + \left[ {yz + xz} \right]\]
\[ = x\left[ {x + y} \right] + z\left[ {x + y} \right]\]\[ = \left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]\]
\[{y^2} + 5 = {y^2} + xy + yz + xz\]\[ = \left[ {{y^2} + xy} \right] + \left[ {yz + xz} \right]\]
\[ = y\left[ {x + y} \right] + z\left[ {x + y} \right]\]\[ = \left[ {y + z} \right]\left[ {x + y} \right]\]
\[{z^2} + 5 = {z^2} + xy + yz + xz\]\[ = \left[ {{z^2} + xz} \right] + \left[ {yz + xy} \right]\]
\[ = z\left[ {x + z} \right] + y\left[ {x + z} \right]\]\[ = \left[ {y + z} \right]\left[ {x + z} \right]\]
Khi đó, ta có:
\[P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]} + \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {y + z} \right]} + \sqrt {\left[ {x + z} \right]\left[ {y + z} \right]} }}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
\[\sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]} \]\[ = \sqrt {3\left[ {x + y} \right].2\left[ {x + z} \right]} \]
\[ \le \left[ {\frac{{3\left[ {x + y} \right] + 2\left[ {x + z} \right]}}{2}} \right]\] \[ = \frac{{3x + 3y + 2x + 2z}}{2}\]\[ = \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\]
\[\sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {y + z} \right]} \]\[ = \sqrt {3\left[ {x + y} \right].2\left[ {y + z} \right]} \]
\[ \le \left[ {\frac{{3\left[ {x + y} \right] + 2\left[ {y + z} \right]}}{2}} \right]\]\[ = \frac{{3x + 3y + 2y + 2z}}{2}\]\[ = \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\]
\[\sqrt {\left[ {x + z} \right]\left[ {y + z} \right]} = \sqrt {\left[ {x + z} \right].\left[ {y + z} \right]} \]
\[ \le \frac{{\left[ {x + z} \right] + \left[ {y + z} \right]}}{2}\]\[ = \frac{{x + y + 2z}}{2}\]
\[ \Rightarrow \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]} \]\[ + \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {y + z} \right]} \]\[ + \sqrt {\left[ {x + z} \right]\left[ {y + z} \right]} \]
\[ \le \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\]\[ + \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\]\[ + \frac{{x + y + 2z}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]} \]\[ + \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {y + z} \right]} \]\[ + \sqrt {\left[ {x + z} \right]\left[ {y + z} \right]} \]
\[ \le \frac{{9x + 9y + 6z}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]} \]\[ + \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {y + z} \right]} \]\[ + \sqrt {\left[ {x + z} \right]\left[ {y + z} \right]} \]
\[ \le \frac{{3.\left[ {3x + 3y + 2z} \right]}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]} + \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {y + z} \right]} + \sqrt {\left[ {x + z} \right]\left[ {y + z} \right]} }}{{\left[ {3x + 3y + 2z} \right]}} \le \frac{3}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {x + z} \right]} + \sqrt {6\left[ {x + y} \right]\left[ {y + z} \right]} + \sqrt {\left[ {x + z} \right]\left[ {y + z} \right]} }} \ge \frac{2}{3}\]
\[ \Leftrightarrow P \ge \frac{2}{3}\]
Dấu \[ = \] xảy ra khi và chỉ khi
\[\left\{ \begin{array}{l}3\left[ {x + y} \right] = 2\left[ {x + z} \right]\\3\left[ {x + z} \right] = 2\left[ {y + z} \right]\\x + z = y + z\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\].
Vậy \[Min\,P = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\].