Đề bài
Trong mặt phẳng \[[\alpha]\] cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[B\]. Một đoạn thẳng \[AD\] vuông góc với \[[\alpha]\] tại \[A\]. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {ABD}\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[ABC]\] và \[[DBC]\];
b] Mặt phẳng \[[ABD]\] vuông góc với mặt phẳng \[[BCD]\];
c] \[HK//BC\] với \[H\] và \[K\] lần lượt là giao điểm của \[DB\] và \[DC\] với mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[DB\].
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
a] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[AB \, \bot \, BC\] [1]
\[AD\] vuông góc với \[[\alpha]\] nên \[AD \, \bot \, BC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BC \, \bot \, [ABD]\] suy ra \[BC \, \bot \, BD\]
\[\left. \matrix{
[ABC] \cap [DBC] = BC \hfill \cr
BD \, \bot \, BC \hfill \cr
AB \,\bot \, BC \hfill \cr} \right\} \]
\[\Rightarrow \] góc giữa hai mặt phẳng \[[ABC]\] và \[[DBC]\] là góc giữa hai đường thẳng \[BD\] và \[BA\]
Mà \[DA \, \bot \, \left[ {ABC} \right] \Rightarrow DA \, \bot \, AB\] \[ \Rightarrow \widehat {ABD} < {90^0}\]
Vậy \[\widehat {ABD}\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[ABC]\] và \[[DBC]\].
b]
\[\left. \matrix{
BC\, \bot \, [ABD] \hfill \cr
BC \, \subset \, [BCD] \hfill \cr} \right\}\] \[ \Rightarrow [ABD] \, \bot \, [BCD]\]
c] Do \[[P]\] đi qua \[A, H, K\] nên mặt phẳng \[\left[ P \right] \equiv \left[ {AHK} \right]\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[DB\] nên \[HK\bot BD\]
Trong \[[BCD]\] có:\[HK \, \bot \, BD\] và\[BC \, \bot \, BD\] nên suy ra \[HK \, // \,BC\].
Chú ý:
Từ chứng minh trên ta có thể suy ra cách dựng \[[P]\] như sau:
Trong \[[DAB],\] qua \[A\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[DB\] cắt \[DB\] tại \[H.\]
Trong \[[DBC]\], kẻ đường thẳng qua \[H\] và vuông góc với \[DB\] cắt \[DC\] tại \[K.\]
Từ đó ta có \[[P]\] chính là \[[AHK].\]