Ngày đăng: 19/06/2019
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
Các em thân mến, câu rút gọn biểu thức chứa căn thường chiếm 2 điểm trong đề thi vào 10 của tất cả các tỉnh thành trên cả nước. Trong bài viết này hệ thống giáo dục Vinastudy.vn sẽ hướng dẫn cách giải bài toán "Rút gọn biểu thức chứa can bậc hai". Đây là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 8 lên 9, để chuẩn bị kiến thức cho năm học lớp 9 và ôn thi vào 10 thật tốt. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo !
Tải file PDF tại link: rut-gon-bieu-thuc-chua-can-bac-hai-tl310.html
- Để rút gọn các biểu thức chứa căn cần vận dụng thích hợp các phép toán đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, vào trong dấu căn, trục căn thức ở mẫu, sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử và tìm mẫu thức chung ...
- Nếu bài toán chưa cho điều kiện của $x$ thì ta cần phải tìm điều kiện trước khi rút gọn.
- Trong các đề thi Toán vào 10, sau khi rút gọn biểu thức, ta thường gặp các bài toán liên quan như:
+] Tính giá trị của A tại $x={{x}_{0}}$
+] Tìm $x$ để A > m; A < m hay A = m.
+] Tìm GTLN hoặc GTNN của A.
+] Tìm $x$ nguyên để A nguyên.
...
Bài 1: Cho K = $2\left[ \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right]:\left[ \frac{\sqrt{x}+1}{{{x}^{2}}-x} \right]$ [với $x>0;x\ne 1$]
- a] Rút gọn biểu thức K.
- b] Tìm $x$ để K = $\sqrt{2012}$
Bài giải:
K = $2\left[ \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right]:\left[ \frac{\sqrt{x}+1}{{{x}^{2}}-x} \right]=2\left[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left[ \sqrt{x}-1 \right]\sqrt{x}} \right]:\frac{\sqrt{x}+1}{x\left[ \sqrt{x}-1 \right]\left[ \sqrt{x}+1 \right]}$
$=\frac{2}{\sqrt{x}.\left[ \sqrt{x}-1 \right]}:\frac{1}{x\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=2\sqrt{x}$
- b] Để K = $\sqrt{2012}$ thì $2\sqrt{x}=\sqrt{2012}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=2\sqrt{503}$
$\Leftrightarrow x=503$ [thỏa mãn điều kiện]
Vậy $x=503$
Bài 2: Cho hai biểu thức A = $\frac{4\left[ \sqrt{x}+1 \right]}{25-x}$ và B = $\left[ \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge 0;x\ne 25$
1] Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$
2] Rút gọn biểu thức B.
3] Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức P=A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
[Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố Hà Nội năm học 2019 – 2020]
Bài giải:
1] Với $x=9$ ta có:
A = $\frac{4\left[ \sqrt{9}+1 \right]}{25-9}=\frac{4\left[ 3+1 \right]}{16}=1$
Vậy với $x=9$ thì giá trị của biểu thức A là: 1.
2] Với $x\ge 0;x\ne 25$ ta có:
B = $\left[ \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}=\frac{15-\sqrt{x}+2\left[ \sqrt{x}-5 \right]}{\left[ \sqrt{x}-5 \right]\left[ \sqrt{x}+5 \right]}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$
$=\frac{\sqrt{x}+5}{\left[ \sqrt{x}-5 \right]\left[ \sqrt{x}+5 \right]}.\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$
3] Với $x\ge 0;x\ne 25$ ta có:
P = A.B = $\frac{4\left[ \sqrt{x}+1 \right]}{25-x}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{4}{25-x}$
+] Với $25-x25$ thì P < 0
+] Với $25-x>0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x 0
Để P nhận giá trị lớn nhất thì $25-x>0$ và $25-x$ nhận giá trị nhỏ nhất.
Mà: $x$ là số nguyên nên $25-x=1\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,x=24$
Vậy P nhận giá trị lớn nhất là: P = $\frac{4}{25-24}=4$ khi $x=24$
Bài 3: Cho hai biểu thức A = $\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}$ và B = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 1$.
1] Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$.
2] Chứng minh: B = $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
3] Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\frac{A}{B}\ge \frac{x}{4}+5$
[Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019]
Bài giải:
1] Với $x=9$[thỏa mãn điều kiện của biểu thức A] ta có:
A = $\frac{\sqrt{9}+4}{\sqrt{9}-1}=\frac{7}{2}$
Vậy với $x=9$ thì giá trị của biểu thức A là: $\frac{7}{2}$
2] Với $x\ge 0;x\ne 1$, ta có:
B = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}=\frac{3\sqrt{x}+1}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$
$=\frac{3\sqrt{x}+1-2\left[ \sqrt{x}-1 \right]}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=\frac{\sqrt{x}+3}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
Vậy với $x\ge 0;x\ne 1$ thì B = $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
3] Với $x\ge 0;x\ne 1$, ta có:
$\begin{align} & \frac{A}{B}\ge \frac{x}{4}+5\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}:\frac{1}{\sqrt{x}-1}\ge \frac{x}{4}+5 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x}+4\ge \frac{x}{4}+5 \\ & \Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4\le 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left[ \sqrt{x}-2 \right]}^{2}}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x}-2=0 \\ \end{align}$
$\Leftrightarrow x=4$ [thỏa mãn điều kiện]
Vậy $x=4$
Bài 4: Cho hai biểu thức A = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và B = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0,x\ne 25$.
1] Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$
2] Chứng minh B = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$
3] Tìm tất cả giá trị của $x$ để $A=B.|x-4|$
[Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố Hà Nội năm học 2017 – 2018]
Bài giải:
1] Với $x=9$ [thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức A] ta có:
A = $\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-5}=-\frac{5}{2}$
Vậy với $x=9$ thì A = $-\frac{5}{2}$
2] Với $x\ge 0,x\ne 25$ ta có:
B = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{\left[ \sqrt{x}+5 \right]\left[ \sqrt{x}-5 \right]}$
$=\frac{3\left[ \sqrt{x}-5 \right]+20-2\sqrt{x}}{\left[ \sqrt{x}+5 \right]\left[ \sqrt{x}-5 \right]}=\frac{\sqrt{x}+5}{\left[ \sqrt{x}+5 \right]\left[ \sqrt{x}-5 \right]}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$
Vậy B = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$ [điều phải chứng minh]
3] Với $x\ge 0,x\ne 25$ ta có:
$\begin{align} & A=B.|x-4|\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}.|x-4| \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x}+2=|x-4| \\ \end{align}$
|
Chú ý các dạng toán về giá trị tuyệt đối: Dạng 1: $|f\left[ x \right]|=k$ trong đó $f\left[ x \right]$ là biểu thức chứa biến $x$ , k là một số cho trước. Phương pháp giải: Nếu k < 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu k = 0 thì $|f\left[ x \right]|=k$$\Leftrightarrow f\left[ x \right]=0$ Nếu k > 0 thì $|f\left[ x \right]|=k\,\,\,\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & f\left[ x \right]=k \\ & f\left[ x \right]=-k \\ \end{align} \right.$ Dạng 2: $|f\left[ x \right]|=|g\left[ x \right]|$ Cách giải: $|f\left[ x \right]|=|g\left[ x \right]|\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & f\left[ x \right]=g\left[ x \right] \\ & f\left[ x \right]=-g\left[ x \right] \\ \end{align} \right.$ Dạng 3: $|f\left[ x \right]|=g\left[ x \right]$ [1] Cách giải: +] Nếu $f\left[ x \right]\ge 0$ thì [1] trở thành: $f\left[ x \right]=g\left[ x \right]$ Giải phương trình và kiểm tra điều kiện $f\left[ x \right]\ge 0$ +] Nếu $f\left[ x \right] Giải phương trình và kiểm tra điều kiện $f\left[ x \right]0;x\ne 4$. 1] Tính giá trị của biểu thức P khi $x=9$. 2] Rút gọn biểu thức Q. 3] Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $\frac{P}{Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất. [Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố Hà Nội năm học 2015 – 2016] Bài giải: 1] Với $x=9$ [thỏa mãn điều kiện xác định của P] ta có: P = $\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=12$ Vậy với $x=9$ thì giá trị của biểu thức P là: 12. 2] Với $x>0;x\ne 4$ ta có: Q = $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left[ \sqrt{x}-2 \right]\left[ \sqrt{x}+2 \right]}=\frac{\left[ \sqrt{x}-1 \right]\left[ \sqrt{x}-2 \right]+5\sqrt{x}-2}{\left[ \sqrt{x}-2 \right]\left[ \sqrt{x}+2 \right]}$ $=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left[ \sqrt{x}-2 \right]\left[ \sqrt{x}+2 \right]}=\frac{\sqrt{x}\left[ \sqrt{x}+2 \right]}{\left[ \sqrt{x}-2 \right]\left[ \sqrt{x}+2 \right]}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ Vậy Q = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ 3] Với $x>0;x\ne 4$ ta có: $\frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{x.\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}\,\,\,\,\Leftrightarrow x=3$ [thỏa mãn điều kiện] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{P}{Q}$ là $2\sqrt{3}$ khi $x=3$ Bài 7: Cho biểu thức A = $\frac{{{\left[ \sqrt{x}+1 \right]}^{2}}+{{\left[ \sqrt{x}-1 \right]}^{2}}}{\left[ \sqrt{x}-1 \right]\left[ \sqrt{x}+1 \right]}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}$ với $x\ge 0;\,\,\,x\ne 1$.
[Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh Bắc Ninh năm học 2019 – 2020] Bài giải:
A = $\frac{{{\left[ \sqrt{x}+1 \right]}^{2}}+{{\left[ \sqrt{x}-1 \right]}^{2}}}{\left[ \sqrt{x}-1 \right]\left[ \sqrt{x}+1 \right]}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1}{\left[ \sqrt{x}+1 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left[ \sqrt{x}-1 \right]\left[ \sqrt{x}+1 \right]}$ $=\frac{2x+2}{\left[ \sqrt{x}+1 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left[ \sqrt{x}+1 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left[ \sqrt{x}+1 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=\frac{\left[ 2\sqrt{x}-1 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}{\left[ \sqrt{x}+1 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$
$2019.A=2019.\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=2019.\left[ 2-\frac{3}{\sqrt{x}+1} \right]=4038-\frac{6057}{\sqrt{x}+1}$ Vì $x$ là số chính phương nên $\sqrt{x}+1$ là số tự nhiên. Để x$2019.A$ là số nguyên thì $\frac{6057}{\sqrt{x}+1}$ cũng là số nguyên. Mà: $\sqrt{x}+1$ là số tự nhiên nên $\sqrt{x}+1\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;3;9;2019;6057\}$ Ta có bảng sau:
Vậy $x\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;4;64;{{2018}^{2}};{{6056}^{2}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ Bài 8: Cho biểu thức P = $\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$ với $x\ge 0;x\ne 1$. 1] Rút gọn biểu thức P. 2] Tìm $x$ sao cho P = $-\frac{1}{2}$ [Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh Thái Bình năm học 2017 – 2018] Bài giải: 1] Với $x\ge 0;x\ne 1$ ta có: P = $\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$ P = $\frac{3+5\sqrt{x}-4}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}-\frac{\left[ \sqrt{x}+1 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}+\frac{{{\left[ \sqrt{x}+3 \right]}^{2}}}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}$ P = $\frac{3x+5\sqrt{x}-4-x+1+x+6\sqrt{x}+9}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}$ P = $\frac{3x+11\sqrt{x}+6}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=\frac{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ 3\sqrt{x}+2 \right]}{\left[ \sqrt{x}+3 \right]\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$ 2] Với $x\ge 0;x\ne 1$ ta có: Để P = $-\frac{1}{2}$ thì $\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=-\frac{1}{2}$ $\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x}+4+\left[ \sqrt{x}-1 \right]}{2\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=0 \\ & \Leftrightarrow \frac{7\sqrt{x}+3}{2\left[ \sqrt{x}-1 \right]}=0 \\ \end{align}$ $\Leftrightarrow 7\sqrt{x}+3=0$ [không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn] Vậy không có giá trị nào của $x$ để P = $-\frac{1}{2}$ Bài 9: Cho P = $\frac{1}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$ với $x>0;x\ne 1$. 1] Rút gọn biểu thức P. 2] Tìm các giá trị của $x$ sao cho 3P = $1+x$ [Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh Nam Định năm học 2017 – 2018] Bài giải: 1] Với $x>0;x\ne 1$ ta có: P = $\frac{1}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}\left[ {{\left[ \sqrt{x} \right]}^{3}}-1 \right]}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left[ x+\sqrt{x}+1 \right]}$ $=\frac{1}{\sqrt{x}\left[ \sqrt{x}-1 \right]\left[ x+\sqrt{x}+1 \right]}.\frac{\sqrt{x}\left[ x+\sqrt{x}+1 \right]}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\left[ \sqrt{x}-1 \right]\left[ \sqrt{x}+1 \right]}=\frac{1}{x-1}$ Vậy P = $\frac{1}{x-1}$ 2] Với $x>0;x\ne 1$ ta có: Để 3P = $1+x$ thì $3.\frac{1}{x-1}=1+x$ $\begin{array}{*{35}{l}} \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & \Leftrightarrow 3=\left[ x-1 \right]\left[ x+1 \right] \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & \Leftrightarrow 3={{x}^{2}}-1 \\ {} & \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4 \\ {} & {} \\\end{array}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & x=2[TM] \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & x=-2[KTM] \\\end{array} \right.$ Vậy để 3P = $1+x$ thì $x=2$ Bài 10: 1] Cho biểu thức A = $\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$ [với $x\ge 0$]. Tính giá trị của A khi $x=9$. 2] Cho biểu thức B = $\left[ \frac{x+14\sqrt{x}-5}{x-25}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \right]:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge 0$ và $x\ne 25$ .
|