Lý thuyết về công thức tính diện tích tam giác vuông chính xác nhất
Lý thuyết về tam giác vuông là học phần tương đối gần gũi đối với các bạn học sinh, nó xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi. Nhằm giúp các bạn cũng cố và nắm vững phần lý thuyết quan trọng này, chúng tôi đã tổng hợp nên bộ công thức tính diện tích tam giác vuông cần ghi nhớ. Hy vọng nó sẽ thú vị đối với bạn đọc!
I. Định nghĩa
1. Tam giác vuông là gì?
Tam giác vuông là một tam giác có một góc là góc vuông [góc 90 độ]. Mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông là nền tảng cơ bản của lượng giác học.
2. Tính chất
- Đường trung tuyến trong tam giác vuông: trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền. Hai cạnh kề với góc vuông là cạnh bên [hay còn gọi là cạnh góc vuông]. Cạnh a có thể xem là kề với góc B và đối góc A, trong khi cạnh b kề góc A và đối góc B.
II. Các công thức đặc biệt trong tam giác vuông
1. Định lý Pytago
Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyềncủa tam giác này.
Nó được thể hiện bằng phương trình: \[{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}\]
Trong đó, c là chiều dài của cạnh huyền và a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.
2. Tính cạnh huyền tam giác vuông
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Cạnh huyền BC được tính theo công thức sau
\[BC= \sqrt{AB^2+BC^2}\]
3. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Nếu một đường cao được vẽ từ đỉnh góc vuông cho tới cạnh huyền thì tam giác vuông được chia thành hai tam giác nhỏ hơn tương tự với tam giác gốc và tương tự với nhau. Từ đó:
- Chiều cao là trung bình nhân của hai đoạn cạnh huyền
- Mỗi cạnh của tam giác vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hai đoạn của cạnh huyền kề với cạnh bên.
Công thức được viết là: \[{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de}\]
Ta có:
- \[{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce}\]
- \[{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}\]
Trong đó, a, b, c, d, e, f được thể hiện như trong biểu đồ. Do đó: \[{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}\]
Hơn nữa, chiều cao với cạnh huyền còn có liên quan tới các cạnh bên của tam giác vuông: \[{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}\]
4. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Định nghĩa các tỷ số lượng giác của góc nhọn:
- \[Sin \widehat{A} = \dfrac{a}{c}\]
- \[Cos \widehat{A} = \dfrac{b}{c}\]
- \[Tan \widehat{A} = \dfrac{a}{b}\]
- \[Cot \widehat{A} = \dfrac{b}{a}\]
Tương tự với góc B và C.
- Một số tích chất của tỷ số lượng giác:
Cho hai góc \[\alpha\] và \[\beta\] phụ nhau:
- \[sin \alpha= cos\beta\]
- \[cos \alpha= sin \beta\]
- \[tan \alpha = cot \beta\]
- \[cot \alpha = tan \beta\]
Cho góc nhọn \[\alpha\]. Ta có:
- \[sin^2\ \alpha +cos^2 \alpha = 1\]
- \[tan \alpha= \dfrac{sin \alpha}{cos\alpha}\]; \[cot \alpha= \dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\]; \[tan \alpha . cot \alpha = 1\].
- Các hệ thức lượng về cạnh trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi đó:
- b = asinB
- b = ccotC
- b = ctanB
- c = asinC
- c = btanC
- c = bcotB
Xem thêm: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
5. Trọng tâm tam giác vuông
Định lý: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua điểm và điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm
Giả thuyết: G là trọng tâm ∆ ABC
Kết luận: \[\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{BG}{BE}=\dfrac{CG}{CF}=\dfrac{2}{3}\] .
6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Lý thuyết: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
- Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia
- Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
Áp dụng: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Ta có: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' và \[\widehat{A}=\widehat{A'}=90^{\circ }\]. Khi đó:
\[\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}\]
Xem ngay tại đây: Các công thức liên quan đến tam giác vuông
III. Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
- Bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng chiều dài một nửa cạnh huyền: \[{\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}\]
2. Đường tròn nội tiếp tam giác vuông
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông là giao điểm của ba đường phân giác.
- Bán kính của đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông với hai cạnh bên a và b và cạnh huyền c là: \[{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}\]
IV. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
1. Các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông.
- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau[theo trường hợp c.g.c]
- Nếu một cạnh của tam giác vuông này và một góc nhọn kề cạnh ấy bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền mà một cạnh góc vuông
- Nếu cạnh huyền và môt cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Có thể bạn quan tâm:
V. Công thức tính diện tích tam giác vuông
1. Diện tích tam giác vuông ABC
\[{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}a.b\] trong đó a, b là độ dài hai cạnh góc vuông.
2. Diện tích tam giác vuông cân
Do tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng chiều cao nên diện tích tam giác được tính bằng một nửa bình phương cạnh đáy hoặc 1 nửa bình phương chiều cao.
\[S=\dfrac{1}{2}a^{2}\]
Với a là độ dài cạnh đáy
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = 3cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Giải: \[S=\dfrac{1}{2}AC^{2}=\dfrac{1}{2}.3^{2}=4,5cm^2\]
Trên đây là bài viết tổng hợp các công thức liên quan đến tính chất tam giác vuông thông dụng và cách tính diện tích tam giác vuông chính xác nhất. Nếu có bất kì băn khoăn thắc mắc hay đóng góp các bạn để lại bình luận bên dưới để chúng mình hoàn thiện bài viết nhé. Cảm ơn các bạn đã quan tâm, nếu thấy hay thì chia sẻ nha!
15:04:0902/10/2018
Về phần lý thuyết tam giác vuông, chúng ta sẽ cùng ôn lại về định lý pitago và các công thức về góc và cạnh trong tam giác vuông, các em cần nắm vững vì đây là nội dung kiến thức ôn thi vào lớp 10.
I. Lý thuyết về định lý Pitago
* Hệ thức và cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
1. AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH
2. AH2 = BH.CH
3. AB.AC = BC.AH
4.
+ Áp dụng định lý Pitago vào
- Tam giác vuông ABC: BC2 = AB2 + AC2
- Tam giác vuông ABH: AB2 = AH2 + BH2
- Tam giác vuông ACH: AC2 = AH2 + CH2
* Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông
1.
3.
* Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau [
sin∝ = cosβ; cos∝ = sinβ; tan∝ = cotβ; cot∝ = tanβ;
* Một số tính chất của tỉ số lượng giác
1.
3.
* Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông [ký hiệu: Cạnh góc vuông = cgv; Cạnh huyền = ch]
+ cgv = ch.sin[góc đối]:
AC = BC.sinB; AB = BC.sinC
+ cgv = ch.cos[góc kề]:
AC = BC.cosC; AB = BC.cosB
+ cgv1 = cgv2.tan[góc đối]:
AC = AB.tanB; AB = AC.tanC
+ cgv1 = cgv2.cot[góc kề]:
AC = AB.cotA; AB = AC.cotB
II. Bài tập áp dụng định lý pitago và các hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông
Bài 1: Cho ΔABC có AB = 5cm; AC = 12cm; BC = 13cm
a] chứng minh ΔABC vuông tại A và tính độ dài đường cao AH
b] Kẻ HE ⊥ AB tại E, HF ⊥ AC tại F. Chứng minh AE.AB = AF.AC
* Lời giải: Ta có hình vẽ sau
a] Ta có AB2 = 52 = 25; AC2 = 122 = 144; BC2 = 132 = 169
Ta thấy: BC2 = AB2 + AC2 ⇒ ΔABC vuông tại A
b] Theo hệ thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Xét ΔAHB vuông tại H. Ta có HA2 = AB.AE [1]
Xét ΔAHC vuông tại H. Ta có HA2 = AF.AC [2]
Từ [1] và [2] ⇒ AE.AB = AF.AC [ĐPCM]
Bài 2: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 3,6cm; HC = 6,4cm
a] Tính độ dài AB, AC, AH
b] Kẻ HE ⊥ AB tại E, HF ⊥ AC tại F. Chứng minh AE.AB = AF.AC
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Từ D hạ đường vuông góc xuống AC cắt AC tại H. Biết rằng AB = 13cm; DH = 5cm; tính độ dài BD;
Bài 4: Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 3cm; AC = 4cm và AH
a] Tính BC, AH
b] Tính góc B, góc C
c] Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE
Bài 5: Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH = 6cm, HC = 8cm
a] Tính độ dài HB, BC, AB, AC
b] Kẻ HD ⊥ AC [D∈AC] Tính độ dài HD và diện tích ΔAHD
Bài 6: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm
a] Tính BC
b] Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE
c] Từ E kẻ EM và EN vuông góc với AB, AC. Hỏi tứ giác AMEN là hình gì? Tính diện tích AMEN?
Bài 7: Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH, BH = 9cm, CH = 25cm. Tính AH, AB?
Bài 8: Cho ΔABC, BC = 15cm; góc B = 340, góc C = 400 ; Kẻ AH ⊥ BC [H∈BC] tính AH?
Bài 9: Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm
a] Tính BC, góc B, góc C
b] Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD?
Bài 10: Cho ΔABC vuông tại A, góc C = 300, BC = 10cm
a] Tính AB, AC
b] Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với đường phân giác trong và ngoài của B. Chứng minh: AN//BC, AB//MN
c] chứng minh ΔMAB đồng dạng với ΔABC
Hy vọng với bài viết hệ thống về định lý pitago, các hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp ý các em vui lòng để lại bình luận phía dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.