Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cos x = cos alpha là

Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.

Các dạng phương trình lượng giác

Phương trình sinx = m

Nếu \(\left | m \right |\)>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left | m \right |\) \(\leq\) 1 thì chọn 1 góc \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha = m\).

Khi đó nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\) với \(k \epsilon \mathbb{Z}\)

Phương trình cosx = m

Nếu \(\left | m \right |\)>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left | m \right |\) \(\leq\) 1 thì chọn 1 góc \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha = m\) .

Khi đó nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\) với \(k \epsilon \mathbb{Z}\)

Phương trình tanx = m

Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\tan \alpha = m\).

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \epsilon \mathbb{Z})\)

Hoặc \(\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\) (m bất kỳ)

Chú ý: \(\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\), \(\tan x\) không xác định khi \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi\)

Phương trình cot(x) = m

Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\csc \alpha = m\).

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\(\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k\epsilon \mathbb{Z})\) Hoặc \(\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\) (m bất kỳ)

Chú ý: \(\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\),

\(\csc x\) không xác định khi \(x = k\pi\)

Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:

Phương trình lượng giác chứa tham số

Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \(a\sin x + b \cos x = c\) có nghiệm khi và chỉ khi \(a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\)

Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:

• Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
• Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm

Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản

• Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
• Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Ví dụ: Xác định m để phương trình \((m^{2} – 3m + 2)\cos ^{2}x = m(m-1)\) (1) có nghiệm.

Cách giải

\((1)\Leftrightarrow (m-1)(m-2)\cos ^{2}x = m (m-1)\) (1’)

Khi m = 1: (1) luôn đúng với mọi \(x\epsilon \mathbb{R}\)

Khi m = 2: (1) vô nghiệm

Khi \(m\neq 1; m\neq 2\) thì:

(1’) \(\Leftrightarrow (m-2)\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\)  (2)

Khi đó (2) có nghiệm \(\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\)

Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \(m\leq 0\)

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát

Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g(x,m) = 0 (1). Xác định m để phương trình (1) có nghiệm \(x\epsilon D\)

Phương pháp:

• Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
• Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
• Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
• Tính f’(m, t) và lập bảng biến thiên trên miền D1
• Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:

(Nguồn: www.youtube.com)

Please follow and like us:

trong: Toán học, Toán học lớp 11, Đại số

Xem mã nguồn

• m
  
  [-1;1] => phương trình vô nghiệm
• m ∈ [-1;1] thì:

• sinx=sinα (α = SHIFT sin)

x = α + k2.π hoặc x = pi - α + k2.π (α: rad, k∈Z) x = a + k.360° hoặc x = 180° - a + k.360° (a: độ°, k∈Z)

• Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:

• x = arcsinm + k2.pi (arc = SHIFT sin)
• x = pi - arcsinm + k2.pi

• sinx = 1 <=> x=
  
• sinx = -1 <=> x=
  
• sinx = 0 <=> x=k.pi

• m [-1;1] => phương trình vô nghiệm
• m ∈ [-1;1] thì:

• cosx=cosα (α = SHIFT sin)

x = ±α + k2.pi (α: rad, k∈Z) x = ±a + k.360° (a: độ°, k∈Z)

• Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:

• x = ±arccosm + k2.pi (arc = SHIFT cos)

• cosx = 1 <=> x=
  
• cosx = -1 <=> x=
  
• cosx = 0 <=> x=

• tanx=tanα (α = SHIFT tan)

<=> x = α + k.pi (α: rad, k∈Z)

<=> x = a + k.360° (α: độ°, k∈Z)

• Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì

cotx=m

• cotx=cotα (α = SHIFT tan(1/m))

<=> x = α + k.pi (α: rad, k∈Z)

<=> x = a + k.360° (α: độ°, k∈Z)

• Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì

Xem lại các giá trị lượng giác của các góc, cung đặc biệt:

Một số dạng toán

Biến đổi

• sinf(x) = -sing(x) = sin(-g(x))
• sinf(x) = cosg(x) → sinf(x) = sin(pi/2 - g(x))
• sinf(x) = -cosg(x) → cosg(x) = -sinf(x) = sin(-f(x)) → cosg(x) = cos(pi/2 - f(x))
• Khi có
  
  , ta thường "hạ bậc tăng cung".

Tìm nghiệm và số nghiệm

1) Giải phương trình A với x ∈ a.

• Trước hết tìm họ nghiệm của phương trình a.
• Xét x trong a. Lưu ý k ∈ Z. Khi tìm được k, quay lại họ nghiệm để tìm ra nghiệm x.

2) Tìm số nghiệm k

• Các bước tương tự như trên.
• Tìm được k → số nghiệm.

Tìm giâ trị lớn nhất và nhỏ nhất

Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất

1) Với nghiệm âm lớn nhất

• Xét x < 0 (k ∈ Z)
• Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.

2) Với nghiệm dương nhỏ nhất

• Xét x > 0 (k ∈ Z)
• Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.

Tìm tập giá trị

Tìm tập giá trị của phương trình A.

• Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai.
• Đặt phương trình lượng giác (sin, cos...) = t (nếu có điều kiện)
• Tìm đỉnh I (-b/2a; -Δ/4a)
• Vẽ bảng xét giả trị (hình minh họa): (pt âm → mũi trên đi ↑ rồi ↓ và ngược lại)

• Tìm miền giá trị tại hai điểm thuộc t (thay 2 giá trị đó vào t) rồi rút ra kết luận.
• Chú ý: Asinx + Bcosx = C

Điều kiện

≥