[Sở Bắc Giang 2022] Có bao nhiêu số nguyên dương \[x\] sao cho ứng với mỗi \[x\] có đúng 9 số nguyên \[y\] thỏa mãn \[\left[ {{2^{y + 1}} – {x^2}} \right]\left[ {{3^y} – x} \right] < 0\] ?
A. \[64.\]
B. \[67.\]
C. 128.
D. 53.
Lời giải:
THl: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} > 0}\\{{3^y} – x < 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_2}{x^2} – 1 < y < {{\log }_3}x} \right.\] [1].
Điều kiện cần \[{\log _2}{x^2} – 1 < {\log _3}x \Leftrightarrow 2{\log _2}x – 1 < \log \] Vì \[x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x = 1.\] Thử lại \[x = 1\] loại.
TH2: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} < 0}\\{{3^y} – x > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_3}x < y < {{\log }_2}{x^2} – 1[2]} \right.\]
adsense
Để có đúng 9 số nguyên \[y\] ta phải có \[y – 1 \le {\log _3}x < y < y + 1 < \ldots < y + 8 < {\log _2}{x^2} – 1 \le y + 9\] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{y – 1}} \le x < {3^y}}\\{{2^{\frac{{y + 9}}{2}}} < x \le {2^{\frac{{y + 10}}{2}}}.}\end{array}} \right.\]
Hệ trên vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\frac{{y + 10}}{2}}} < {3^{y – 1}}}\\{{3^y} \le {2^{\frac{{y + 9}}{2}}}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y > 6,06 \ldots }\\{y \le 4,14 \ldots .}\end{array}} \right.} \right.\].
Từ đó, y nguyên ta được hệ có nghiệm khi \[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.\].
Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán
\[ + y \in \{ 5;6; \ldots ;13\} \] nghĩa là \[4 \le {\log _3}x < 5;6; \ldots ;13 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 14\], ta được \[x \in \{ 129; \ldots 181\} \] có
53 số nguyên.
\[ + y \in \{ 6; \ldots ;14\} \] nghĩa là \[5 \le {\log _3}x < 6;7; \ldots ;14 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 15\], ta được \[x \in \{ 243; \ldots 256\} \] có