Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 3 mũ x bình trừ x trừ 9

adsense

Có bao nhiêu giá trị nguyên \[m\] để bất phương trình \[{2^{{m^2} – 14}} < {2^{{x^2} - 2x - 3}} + \frac{{{x^2} - 2x - {m^2} + 11}}{{{2^{x - 3}}}}\] nghiệm đúng với mọi giá trị thực của \[x\]. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'[x]
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'[x]
3. Lập BBT xét dấu g'[x]
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

\[{2^{{m^2} – 14}} < {2^{{x^2} - 2x - 3}} + \frac{{{x^2} - 2x - {m^2} + 11}}{{{2^{x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{{m^2} + x - 17}} < {2^{{x^2} - x - 6}} + {x^2} - 2x - {m^2} + 11\] \[ \Leftrightarrow {2^{{m^2} + x - 17}} + {m^2} + x - 17 < {2^{{x^2} - x - 6}} + {x^2} - x - 6\]. Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {2^x} + x\] có \[f'\left[ x \right] = {2^x}\ln 2 + 1 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]. Suy ra \[f\left[ x \right]\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Ta có \[f\left[ {{m^2} + x – 17} \right] < f\left[ {{x^2} - x - 6} \right] \Leftrightarrow {m^2} + x - 17 < {x^2} - x - 6 \Leftrightarrow {m^2} < {x^2} - 2x + 11\]. Đặt \[g\left[ x \right] = {x^2} - 2x + 11\]. \[g'\left[ x \right] = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow g\left[ 1 \right] = 10\].

adsense

Dựa vào BBT ta có \[\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} g\left[ x \right] = 10\].
Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow {m^2} < 10 \Leftrightarrow - \sqrt {10} < m < \sqrt {10} \] , mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\]. Vậy có 7 giá trị nguyên

Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{3}^{\dfrac{2-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}{2}}}+{{3}^{\dfrac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}-2}}}>\dfrac{10}{3},$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 0;2 \right]?$
A. 10.
B. 15.
C. 9.
D. 11.

Lời giải

Điều kiện: ${{x}^{2}}-2x+m\ge 0$
Đặt $X=\dfrac{2-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}{2}\left[ X\le 1 \right]$.
Bất phương trình $\Leftrightarrow {{3}^{X}}+{{3}^{-\dfrac{1}{X}}}>\dfrac{10}{3}.$
Xét hàm $f\left[ X \right]={{3}^{X}}+{{3}^{-\dfrac{1}{X}}}$ với $\left[ -\infty ;1 \right].$
$f'\left[ X \right]={{3}^{X}}\ln 3+\dfrac{1}{{{X}^{2}}}{{.3}^{-\dfrac{1}{X}}}\ln 3>0,\forall X\ne 0$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có $f\left[ X \right]>\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow X\in \left[ -1;0 \right]$
$X\in \left[ -1;0 \right]\Leftrightarrow -1