Phương pháp tập hợp và cách xác định tập hợp
Trang trước Trang sau
Với Phương pháp tập hợp và cách xác định tập hợp sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.
1. Lý thuyết:
a. Tập hợp
- Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
- Giả sử đã cho tập hợp A. Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A [đọc là a thuộc A]. Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A [đọc là a không thuộc A].
- Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.
b. Cách xác định tập hợp
- Có 2 cách xác định tập hợp:
Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp.
Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
- Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.
c. Tập hợp con
- Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết A ⊂ B [đọc là A chứa trong B].
- Nếu A không phải là một tập con của B ta viết A ⊄ B .
- Tính chất:
+] A ⊂ A, ∀A
+] ∅ ⊂ A, ∀A .
+] A ⊂ B, B ⊂ A ⇒ A ⊂ C
d. Tập hợp bằng nhau
- Khi A ⊂ Bvà B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.
2. Phương pháp giải:
- Tâp hợp con: A ⊂ B ⇔ [∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B]
- Tập hợp bằng nhau:A = B ⇔ [∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B]
- Nếu tập hợp có n phần tử thì nó có 2n tập hợp con.
3. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:Liệt kê các phần tử của tập hợp:
a. A = { x ∈ N | x < 20 và x chia hết cho 3}.
b. B = { x ∈ N | 2x2 - 3x + 1} .
Hướng dẫn:
a. Tập hợp A gồm các phần tử là số tự nhiên nhỏ hơn 20 và chia hết cho 3.
Vậy A = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18}.
b. Tập hợp B gồm các phần tử là các số thực thỏa mãn phương trình 2x2 - 3x + 1 = 0 .
Ta có: phương trình 2x2 - 3x + 1 có nghiệm x = 1 hoặc x =
Mà x ∈ Z nên x = 1.
Vậy B = {1}.
Ví dụ 2:Tìm một tích chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp sau: A =
Hướng dẫn:
Ta có: 2 = 1.2; 6 = 2.3; 12 = 3.4; 20 = 4.5; 30 = 5.6
Suy ra dạng tổng quát của dãy trên là:
Vậy A =
Ví dụ 3:Cho tập hợp X = {a; b; c}. Tìm tất cả các tập hợp con của X.
Hướng dẫn:
- Số tập con không có phần tử nào là: ∅
- Số tập con có 1 phần tử là: {a}; {b}; {c} .
- Số tập con có 2 phần tử là: {a; b}; {a; c}; {b; c}.
- Số tập con có ba phần tử là: {a; b; c}.
Vậy các tập con của X là: ∅ ; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}.
Ví dụ 4:Cho tập hợp A = {1; 3}; B = {3; x}; C = {x; y; 3}. Xác định x, y để A = B = C
Hướng dẫn:
Để A = B thì x = 1. Khi đó B = {3; 1}..
Để B = C thì x = 1; y = 3 hoặc y = 1. Khi đó C = {1; 3; 3} hoặc C = {1; 1; 3} .
Vậy để A = B = C thì x = 1; y = 3 hoặc y = 1.
4. Bài tập tự luyện:
Câu 1:Cho tập hợp A = {x + 1 | x ∈ N, x ≤ 5}. Liệt kê các phần tử của tập hợp A :
A. A = {1; 2; 3; 4; 5}.
B. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.
C. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.
D. A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Hướng dẫn:
Chọn D.
Vì x ∈ N, x ≤ 5 nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒ [x + 1] ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Vậy A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Câu 2:Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = {x ∈ R | x2 + x + 1 = 0}:
A. X = 0.
B. X = {0}.
C. X = ∅ .
D. X = {∅} .
Hướng dẫn:
Chọn C.
Phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên X ∈ ∅ .
Câu 3:Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?
A. A = {x ∈ Z: |x| < 1}.
B. B = {x ∈ Z: 6x2 - 7x + 1 = 0} .
C. C = {x ∈ Q: x2 - 4x + 2 = 0}.
D. D ={x ∈ R: x2 - 4x + 3 = 0}
Hướng dẫn:
Chọn C.
Ta có: x2 - 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± √2 [ không thỏa mãn x ∈ Q]. Vậy tập hợp C là tập rỗng.
- Đáp án A: x ∈ Z, |x| < 1 ⇔ -1 < x < 1 ⇒ x = 0. Vậy tập hợp A không là tập rỗng.
- Đáp án B: Giải phương trình: 6x2 - 7x + 1 = 0 ⇔
- Đáp án D: Giải phương trình: x2 - 4x + 3 = 0 ⇔
Câu 4:Cho tập hợp M = {[x; y]} | x, y ∈ R, x2 + y2 ≤ 0. Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Hướng dẫn
Chọn B.
Vì
Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là {[0;0]} .
Câu 5:Cho các mệnh đề sau:
[I]: {2; 1; 3} = {1; 2;3}
[II]: ∅ ⊂ ∅
[III]: ∅ ∈ {∅}
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ [I] đúng.
B. Chỉ [I] và [II] đúng.
C. Chỉ [I] và [III] đúng.
D. Cả [I], [II]; [III] đều đúng.
Hướng dẫn:
Chọn D.
[I] đúng do hai tập hợp đã cho có tất cả các phần tử giống nhau.
[II] đúng do mọi tập hợp đều là tập con của chính nó.
[III] đúng vì phần tử ∅ thuộc tập hợp {∅}.
Câu 6:Cho các tập hợp E, F, G, K thỏa mãn: E ⊂ F, F ⊂ G và G ⊂ K . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. G ⊂ F .
B. K ⊂ G .
C. E = F = G.
D. E ⊂ K .
Hướng dẫn:
Chọn D.
Theo tính chất của tập hợp con, ta thấy:
Do E ⊂ F và F ⊂ G nên E ⊂ G .
Do E ⊂ G và G ⊂ K [theo đề bài] nên E ⊂ K .
Câu 7:Cho tập hợpA = {a; b; c; d}. Tập A có mấy tập con?
A. 16.
B. 15.
C. 12.
D.10.
Hướng dẫn:
Chọn A.
Nếu tập hợp có n phần tử thì nó có 2n tập hợp con.
Vậy số tập con của tập A là: 24 = 16 .
Câu 8:Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?
A. {x; y} .
B. {x}.
C. {∅; x} .
D. {∅; x; y} .
Hướng dẫn:
Chọn B.
Xét đáp án B: {x} có 21= 2 tập con là và ∅ .
Xét đáp án A: {x; y} có 22 = 4 tập con.
Xét đáp án C: {∅; x} có 22 = 4 tập con.
Xét đáp án D: {∅; x; y} có 23 = 8 tập con.
Câu 9:Số phần tử của tập hợp A = {k2 + 1| k ∈ Z, |k| ≤ 2} là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn:
Chọn C.
A = {k2 + 1| k ∈ Z, |k| ≤ 2} .
Ta có |k| ≤ 2 ⇔ -2 ≤ k ≤ 2. Mà k ∈ Z nên k ∈ {-2; -1; 0; 1; 2}
Suy ra [k2 + 1] ∈ {5; 2; 1; 2; 5} . Vậy A = {1; 2; 5}. Số phần tử của tập A là 3.
Câu 10:Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4}; B = {0; 2; 4}; C = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Quan hệ nào sau đây là đúng?
A. B ⊂ A ⊂ C .
B. B ⊂ A = C .
C.
D. A ∪ B = C .
Hướng dẫn:
Chọn C. Ta thấy mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp C và mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp C. Vậy A và B đều là tập hợp con của tập hợp C.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau
Số phần tử của một tập hợp, tập hợp con cực hay, có lời giải
Trang trước Trang sau
1. Số phần tử của một tập hợp
Quảng cáo
Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử hoặc cũng có thể không có phần tử nào.
Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng. Kí hiệu: ∅
Công thức tính số phần tử của tập hợp
Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có : b – a + 1 phần tử
Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có : [b – a] : 2 + 1 phần tử
Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có : [n – m]: 2 + 1 phần tử
Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b, hai số kế tiếp cách nhau d đơn vị, có : [b – a]: d +1 phần tử
Cách tính tổng của một dãy số
- Tính số số hạng: Áp dụng công thức tính số phần tử của tập hợp
- Tính tổng: [số hạng cuối + số hạng đầu]. số số hạng : 2
2. Tập hợp con
Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A được gọi là con của tập hợp B.
Kí hiệu: A ⊂ B hay B ⊃ A
Đọc là A là tập hợp con của tập hợp B hoặc A được chứa trong B hoặc B chứa A
Quảng cáo
• Chú ý:
- Mỗi tập hợp khác thì có ít nhất hai tập hợp con là tập hợp ∅ và chính nó
- Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B
- Nếu tập hợp A có k phần tử thì tập hợp A có 2k tập con
Ví dụ 1: Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử
a. Tập hợp A gồm các số tự nhiên sao cho x+ 3 = 12
b. Tập hợp B gồm các số tự nhiên sao cho x.0 = 0
c. Tập hợp C gồm các số tự nhiên sao cho x < 4
d. Tập hợp D gồm các số tự nhiên sao cho 0.x = 4
Hướng dẫn giải:
a. Ta có
x + 3 = 12
x = 12 -3
x = 9
vậy A = {9} có 1 phần tử
b. Ta có
x.0 = 0
vì mọi số tự nhiên khi nhân với 0 đều bằng 0
nên B = {0;1;2;3;4…} = N có vô số phần tử
c. Ta có
x < 4
x {0;1;2;3}
nên C = {0;1;2;3} có 4 phần tử
Ta có
0.x = 4
vì mọi số tự nhiên khi nhân với 0 đều bằng 0,
Nên không tồn tại số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu của đề bài
Vậy D = ∅
Quảng cáo
Ví dụ 2: Tìm số phần tử của các tập hợp sau
A = {1 ; 4 ; 7 ; 10 ; … ; 298 ; 301}
B = {8 ; 10 ; 12 ; … ; 30}
Hướng dẫn giải:
• Tập hợp A số nhỏ nhất là 1, số lớn nhất là 301 hai số kế tiếp cách nhau 3 đơn vị.
Do đó số phần tử của tập hợp A là : [301 -1] : 3 + 1 = 101 [phần tử].
• B = {8 ; 10 ; 12 ; … ; 30}
Tập hợp B có [30 – 8] : 2 + 1 = 12 [phần tử].
Ví dụ 3: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Viết tất cả các tập hợp con của A.
Hướng dẫn giải:
Các tập hợp con của A là :
Ø , {a} , {b}, {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}.
[Số tập hợp con của A bằng 23 = 8 ].
Ví dụ 4: Tính các tổng sau
a. S = 1+3+5+…+2015+2017
b. S = 7+11+15+19+…+51+55
c. S = 2+4+6+…+2016 +2018
Hướng dẫn giải:
a. Số số hạng của S là: [2017 -1]: 2 + 1 = 1009
S = [2017 +1].1009: 2 =1018081
b. Số số hạng của S là: [55 – 7]:4 +1 = 13
S = [55+7].13:2 = 403
c. Số số hạng của S là: [2018 – 2]:2 + 1 =1009
S = [2018 + 2].1009:2 = 1019090
Câu 1: Cho tập hợp A = {0;2;4;6} hỏi A có bao nhiêu phần tử:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đáp án: D
A = {0;2;4;6} có 4 phần tử
Câu 2: Tập hợp A = {1;3;4;5;8} tập hợp con của A là:
A. {0;3;4;5;8}
B. {2;4;5;8}
C. {1;4;5;8;9}
D. ∅
Đáp án: D
A. {0;3;4;5;8} sai vì 0 ∉ A B. {2;4;5;8} sai vì 2 ∉ A C. {1;4;5;8;9} sai vì 9 ∉ A D. ∅ đúng vì ∅ là con của mọi tập hợpCâu 3: Tìm số tự nhiên x sao cho x+ 6 = 4
A. x = 0
B. x = 1
C. x ∈ ∅
D. x = 4
Đáp án: C
Ta có x+ 6 = 4
Không tìm được x thỏa mãn yêu cầu. Nên x ∈ ∅
Câu 4: Cho tập A = {1;3;5;7;9} chọn câu đúng
A. {1;2} ⊂ A
B. A ⊃ {1;2;5}
C. ∅ ⊂ A
D. 1; 3 ⊂ A
Đáp án: C
Cho tập A = {1;3;5;7;9}A. {1;2} ⊂ A sai vì 2 ∉ A
B. A ⊃ {1;2;5} sai vì 2 ∉ A
C. ∅ ⊂ A đúng vì ∅ là con của mọi tập hợp
D. 1; 3 ⊂ A sai vì 1;3 phải được viết trong dấu ngoặc nhọn {}
Câu 5: Cho tập hợp A = {x N|1990 x 2009}. Số phần tử của tập hợp A là
A. 20
B. 21
C. 19
D. 22
Đáp án: A
A = {x ≤ N|1990 ≤ x 2009}
A có [2009 – 1990] +1 = 20
Câu 6: Cho hai tập hợp B={a;b}; P={b;x;y}. Chọn nhận xét sai
A. b ∈ B
B. x ∈ B
C. a ∉ P
D. y ∈ P
Đáp án: B
A. b ∈ B đúng
B. x ∈ B sai
C. a ∉ P đúng
D. y ∈ P đúng
Câu 7: Tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 5 gồm bao nhiêu phần tử?
A. 4 phần tử
B. 5 phần tử
C. 6 phần tử
D. 7 phần tử
Đáp án: C
Tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 5 là {0;1;2;3;4;5}
Câu 8: Chọn câu sai
A. 7 ∈ N
B. ∅ ⊂ N
C. ∅ ∈ N
D. {1;2;3;4;5} ⊂ N
Đáp án: C
A. 7 ∈ N Đúng
B. ∅ ⊂ N Đúng
C. ∅ ∈ N Sai vì ∅ là một tập hợp nên ta phải sử dụng kí hiệu
D. {1;2;3;4;5} ⊂ N Đúng
Câu 9: Tập hợp nào sau đây là tập hợp rỗng
A. A = {x ∈ N|10 ≤ x và x ≤ 8}
B. B = {x ∈ N|8 ≤ x ≤ 10}
C. C = {x ∈ N|5 ≤ x và x ≤ 7}
D. D = {x ∈ N|x+2 = 3}
Đáp án: A
A. A = {x ∈ N|10 ≤ x và x ≤ 8}
A = vì không tồn tại x thỏa mãn
B. B = {x ∈ N|8 ≤ x ≤ 10}
B = {8;9;10}
C. C = {x ∈ N|5 ≤ x và x ≤ 7}
C = {5;6;7}
D. D = {x ∈ N|x+2 = 3}
D = {1}
Câu 10: Viết tập hợp con khác tập hợp rỗng của tập hợp A = {3; 5}
A. {3}; {3;5}
B. {3}; {5}
C. {3;5}
D. {3};{5};{3;5}
Đáp án: D
A. {3}; {3;5} Sai vì thiếu tập hợp{5}
B. {3}; {5} Sai vì thiếu tập hợp{3;5}
C. {3;5} Sai vì thiếu tập hợp {3}; {5}
D. {3};{5};{3;5} Đúng
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 6 chọn lọc, có đáp án chi tiết hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 6 hay khác:
Trang trước Trang sau
Cho tập A = [ [1;2;3;4;5;6] ]. Số các tập con khác nhau của A gồm hai phần tử là:
Câu 10431 Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$. Số các tập con khác nhau của $A$ gồm hai phần tử là:
Đáp án đúng: b
Phương pháp giải
Liệt kê các tập con của \[A\] gồm \[2\] phần tử.
Tập hợp --- Xem chi tiết
...