T NG H P CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂNSD NG MÁY TÍNH CASIO FX- 580 VNXTích phân là một trong những chuyên đề hay, có nhiều ứng dụng trong tính toán thực tế. Ngoàira, tích phân cũng là một chuyên đề thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc Gia từ nhữngcâu hỏi ở mức độ nhận biết đến các bài vận dung. Với hình thức thi Trắc nghiệm thì việc sử dụng máytính thành thạo và hiệu quả giúp học sinh hạn chế tính nhẩm. tránh trường hợp sai số đáng tiếc [cầu trúcđề bài có các đáp án nhiễu]. Mặt khác tối ưu thời gian làm bài. Trong bài viết này, Diễn đàn máy tínhcầm tay sẽ tổng hợp một số hướng giải quyết các dạng toán tiêu biểu của chuyên đề Tích phân trong cácđề thi dưới sự hỗ trợ của máy tính Casio fx- 580 VNXPhụ lục1.TÌM NGUYÊN HÀM F [ x ] CỦA HÀM SỐ f [ x ] CHO TRƯỚC. .......................................... 12.TÌM NGUYÊN HÀM F [ x ] CỦA HÀM SỐ f [ x ] CHO TRƯỚC THỎA ĐIỀU KIỆNF [ x0 ] = M ................................................................................................................................................ 53.XÁC ĐỊNH CÁC ẨN SỐ A, B,C TRONG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN. .......................................... 64.ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH MẶT PHẲNG . .................................................. 105.ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY . .................................. 146.ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ . ............................ 171. TÌM NGUYÊN HÀM F [ x ] CỦA HÀM SỐ f [ x ] CHO TRƯỚC•Thuật toán trên máy tính CASIOf [A] −d[ Fi [ x]]dxx= Af : là hàm số cần xác định nguyên hàmFi [ x] : là các đáp án nguyên hàm đã choA: hằng số tự chọn thuộc tập xác định và có giá trị nhỏ1•Thay lần lượt các đáp án vào Fi [ x] và chọn giá trị A thích hợp•Lựa chọn đáp án có kết quả xấp xỉ bằng 0:Bài toán 1.1 Tìm nguyên hàm của hàm số f [ x] =A. f [ x]dx = [ xB. f [ x]dx = [ xC. f [ x]dx = [ xD. f [ x]dx = [ x2+ 2 x] x 3 + 1 + C3+ x] x 2 + 1 + C2+ 1] x3 + 1 + C37 x 4 + 3x 2 + 4 x2 x3 + 1+ x] x 3 + 1 + CPhân tích: Hàm số f [ x] trên khá phức tạp do đó việc sử dụng máy tính CASIO fx-580VN Xđể tìm nguyên hàm sẽ giúp các bạn chọn được đáp án đúng một cách nhanh chóng và chính xáchơn.Hướng dẫn giảiThay Fi [ x] lần lượt bằng các đáp án và chọn A = 0Đáp án ALOẠIĐáp án BLOẠIĐáp án CNHẬNĐáp án DLOẠIKhi làm bài thi các bạn không cần thử tất cả các đáp án trong đề mà chúng ta sẽ dừng ngay việcthay đáp án khi chọn được biểu thức đúng2Bài toán 1.2 Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sin 3x cos 2 x sin 6 x2sin 5 x 2sin 7 x 2sin11x−−+C5711A. f [ x]dx = 2sin x +B. f [ x]dx = sin x +sin 5 x sin 7 x sin11x+−+C5711C. f [ x]dx = sin x −sin 5 x sin 7 x sin11x−−+C5711D. f [ x]dx = 2sin x −2sin 5 x 2sin 7 x 2sin11x−−+C5711Hướng dẫn giảiĐể các phép toán lượng giác thực hiện chính xác hơn, chúng ta nên chuyển máy về chế độRadianChọn A = Đáp án AĐáp án B, C, DNHẬNLOẠI vì A là đáp án đúngBài toán 1.3 [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số F [ x ] =f [ x]. Tìm nguyên hàm của hàm số f / [ x] ln xxhàm sốA.fB.fC.f1là một nguyên hàm của2 x2/// ln x 1 [ x] ln xdx = − 2 + 2 + Cx x1 ln x[ x] ln xdx = − 2 + 2 + C2x x[ x] ln xdx =ln x 1++Cx2 2x23D.f/[ x] ln xdx =ln x 1+ +Cx2 x2Hướng dẫn giải/Ta có f [ x] = F [ x] x = −2 ln x1f / [ x] ln x = 32 , suy raxxNhập vào máy tính CASIO fx- 580VN X:2 ln A d− G [ x]A3dxx= A, với G[x] lần lượt là các hàmtrong đáp án và A = 0.1Đáp án ALOẠIĐáp án BNHẬN≈0Đáp án C, DLOẠI vì đã chọn đáp án BBình luận•Để việc thay các đáp án vào máy tính trở nên nhanh hơn các bạn hãy tham khảo cách chỉnhsửa trên máy tính CASIO•Phương pháp trên không chỉ áp dụng cho các bài thi trắc nghiệm mà nó còn là một để họcsinh kiểm tra kết quả khi làm bài tự luận.42. TÌM NGUYÊN HÀM F [ x ] CỦA HÀM SỐ f [ x ] CHO TRƯỚC THỎA ĐIỀU KIỆNF [ x0 ] = MCách 1:ANhập biểu thức vào máy tính CASIO fx- 580VN X: F [ A] − M − f [ x]dxx0[Thay lần lượt các đáp án vào hàm F ]CALC A là một giá trị nhỏ bất kì thuộc tập xác địnhChọn đáp án có kết quả phép tính gần bằng 0Cách 2: Dùng chức năng TABLE w8 trong CASIO fx- 580VN XxNhập biểu thức f [ x] = f [ x]dxx0Nhập biểu thức g [ x] = F [ x] − MNhập Table Range [phạm vi bảng]: nên chọn khoảng 3-4 giá trị nhỏ để kiểm traChọn đáp án thỏa f [ x] = g [ x] tại tất cả các giá trị xBình luận : Với các máy tính Casio fx- 570VN Plus trở về trước khi nhập tích phân cần xác địnhtrước hai cận. Tuy nhiên, thế hệ CASIO fx- 580VN X cận trên có thể là chữ x [là biến thay đổi khi tabấm r, còn x trong biểu thức là biến hình thức]Bài toán 2.1.Nguyên hàm của hàm số f [ x] =A. 2 2 x − 1 + 1B.2x −1 + 12thỏa điều kiện F [1] = 22x −1C. 2 2 x − 1D. 2 [2 x − 1]3Hướng dẫn giảiTXĐ: x 125Cách 1Cách 2Đáp án AQua cả 2 cách làm ta nhận thấy đáp án A sai khác đáp án đúng là 1 đơn vị nênta chọn đáp án CBình luận Việc bấm máy ở cách 1 sẽ nhanh chóng hơn, nhưng kết quả tìm được bị ảnh hưởng bởi giá trịA được chọn. Trong khi ở cách 2 ta có thể quan sát cùng lúc tại các giá trị A khác nhau, qua đó có thểđưa ra kết quả đáng tin cậy hơn.3. XÁC ĐỊNH CÁC ẨN SỐ A, B,C TRONG BÀI TOÁN TÍCH PHÂNVới những cải tiến đáng kể của chức năng lập bảng [TABLE] khi cho phép đưa phép tínhtích phân vào trong các hàm f [ x], g [ x] để lập bảng giá trị. So với các dòng CASIO fx-570VNPlus trở về trước thì việc sử dụng chức năng bảng tính trong máy tính CASIO fx-580VN X đểxác định các ẩn số trong các bài toán tích phân phức tạp trở nên đơn giản hơn khi chúng ta khôngphải tính tích phân rồi lưu vào ô nhớ trước khi sử dụng chức năng lập bảng. Dưới đây là một sốbài cụ thể:1− x xe dx = ae2 + be với a, b 2x12Bài toán 3.1 ChoA. S =12B. S = 2. Tính 2a + 3bC. S =52D. S =726Hướng dẫn giải1− x xe dx − be2x1− x x2Ta có : 2 e dx = ae + be suy ra a = 1xe2122Cách 1: Sử dụng chức năng TABLE để tìm giá trị a, b thích hợp1− x xe dx − xex21Nhập vào máy hàm số f [ x] =e22[có thể bỏ qua bước nhập g [ x ] ]Nhập Start = −2; End = 2, Step = 0.25Quan sát bảng kết quả ta chọn[a, b] = [ f [ x], x] = [−0.5,1]Vậy S = 2a + 3b = 2Cách 2: Giải hệ phương trìnhBên cạnh việc sử dụng chức năng bảng tính, chúng ta còn có thể sử dụng hệ phương trìnhđể giải cho bài toán trênTiếp tục là một cải tiến mới của CASIO fx-580VN so với các dòng CASIO fx-570VNPlus. Ở phiên bản mới này ta có thể nhập tích phân ngay trên các hệ số, điều mà các dòng máytiền nhiệm chưa làm được.Đáp án A2 21− x xae + be = 2 e dxx112a + 3b = 2LOẠI [vìx, y ]7Đáp án B2 21− x xae+be=e dx2x12a + 3b = 2NHẬNeBài toán 3.2: Cho I = 1A.S =02ln x + 1x [ ln x + 1]2dx = a ln 2 −b[ a, b, c cC. S = 5B. S = 3]vàbtối giản. Tính S = a + b + ccD. S = 7Hướng dẫn giải2ln x + 1bĐặt d = . Khi đó d = a ln 2 − dxcx[ln x + 1] 21eSử dụng chức năng TABLE để tìm giá trị a, d thích hợpeNhập vào máy hàm số f [ x] = x ln 2 − 12 ln x + 1dxx[ln x + 1] 2Nhập Start = −5; End = 5, Step = 1Quan sát bảng kết quả và dựa vào điều kiện a, b, c ta được[a,d] = [ x; f [ x ]] = [2;0.5]Suy ra: b = 1; c = 2Vây: a + b + c = 5Đáp án: C8eBài toán 3.3 Cho tích phân [2 + x ln x]dx = ae2 + be + c [ a, b, c là số hữu tỉ]. Xác định mệnh đề1đúngA. a + b = cB. a − b = cC. a − b = −cD. a + b = −cHướng dẫn giảiSử dụng chức năng TABLE kiểm tra các đáp ánĐáp A: a + b = ceSuy ra a = [2 + x ln x]dx − b[e + 1]1e2 + 1eNhập vào máy hàm số f [ x] = [2 + x ln x]dx − x[e + 1]1e2 + 1Nhập Start = −2; End = 2, Step = 0.25Quan sát bảng giá trị ta thấy tất cả các giá trị f [ x] tìm đượcđều có phần thập phân phức tạp. Do đó ta loại đáp án AeĐáp án B: a − b = c . Suy ra a = [2 + x ln x]dx − b[e − 1]1e2 + 1eNhập vào máy hàm số f [ x] = [2 + x ln x]dx − x[e − 1]1e2 + 1Nhập Start = −2; End = 2, Step = 0.25Quan sát bảng giá trị ta thấy ta thấy tồn tại[ x, f [ x ]] = [ 2;0.25]9Do đó ta chọn đáp án BBình luận: Để chọn Bắt đầu [Start], Kết thúc [End] và Bước [Step] thích hợp, chúng ta nên xemxét phân tích kĩ điều kiện của các ẩn số kết hợp với các đáp án trong đề bài [ Ví dụ: a, b, c ,1 1 1thì thường chọn Step = ; ; ;... ]5 4 2thì ta chọn Step = 1 ; a, b, c 4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH MẶT PHẲNG➢ Tóm tắt lý thuyếtBài toán 1: Diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi [𝑪𝟏 ]: 𝒚 =𝒇[𝒙]; [𝑪𝟐 ]: 𝒚 = 𝒈[𝒙]; 𝒙 = 𝒂; 𝒙 = 𝒃 [𝒂 < 𝒃]bCông thức:S = f [ x ] − g [ x ] dxaBài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi[C1 ] : y = f [ x][C2 ] : y = g [ x][C ] : y = h[ x] 3Bước 1: Tìm giao điểm của các đồ thị bằng cách giải cácphương trình hoành độ giao điểmBước 2: Áp dụng công thứccbacS = f [ x] − h[ x] dx + g [ x] − h[ x] dx10Bài toán 4.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x , trục hoành vàhai đường thẳng x = 2; x = 0Hướng dẫn giải22Áp dụng công thức: S = x − 2 x dx0Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trênBài toán 4.2 Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y =3x + 5; y = 0 ; x = 0 và2x + 2x=2A. S = ln 2 + 3S = ln3 + 3B.C. S = ln3D. S = ln3 − 2Hướng dẫn giải2Diện tích mặt phẳng cần tìm: S = 03x + 5dx2x + 22Quan sát đáp án ta thấy có 3 đáp án chứa ln 3 nên ta tính3x + 5 2 x + 2 dx − ln 30Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính biểu thức trênĐáp án: B[C1 ] : y = x 2 + 1Bài toán 4.3. Tính diện tích mặt phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số [C2 ] : y = x 2 + 2 x x = 1; x = 211Hướng dẫn giải2Diện tích mặt phẳng cần tìm S = [ x 2 + 1] − [x 2 + 2 x] dx1Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trên:[C ] : y = x 2 + 2Bài toán 4.4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1[C2 ] : y = 3xA. 2B. 3C.12D.16Hướng dẫn giảiSử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để giải phương trình hoành độ giao điểm:x 2 + 2 = 3x x 2 − 3x + 2 = 02Khi đó : S = x 2 − 3x + 2 dx1Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trên:Đáp án D12Bài toán 4. 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi paraboly = 3x 2,cungtròncóphươngtrìnhy = 4 − x 2 [ với 0 x 2 ] và trục hoành [nhưhình vẽ]A.4 + 312B.4 − 36C.4 + 2 3 − 36D.5 3 − 23Hướng dẫn giảiSử dụng máy tính CASIO fx-580VN X tìm nghiệm của các phương trình hoành độ giao điểm•3x2 = 4 − x2 3x4 + x2 − 4 = 0 [ 0 x 2 ] x = 1•3x 2 = 0 x = 0•4 − x2 = 0 [ 0 x 2 ] x = 21Như vậy:22Diện tích cần tìm S = 3 x dx + 4 − x dx201Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trên và lưu kết quả:Thử các kết của đề bài ta có0LOẠINHẬNĐáp án CĐáp án DĐã chọn đáp án B135. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY➢ Tóm tắt lý thuyếtDạng 1. Cho hình [ H ] giới hạn bởi đồ thị của các hàmsố y = f [x] , y = g [ x] , x = a; x = b quay quanh trục Oxtạo thành vật thể khối tròn xoay có thể tích bằngV0 x = [ f [ x] − g [ x] ] dxb22aDạng 2. Cho hình [ H ] giới hạn bởi đồ thị của các hàm sốx = f [y] , x = g [y] , y = a; y = b quay quanh trục Oy tạothành vật thể khối tròn xoay có thể tích bằngV0 y = [ f [y] − g [y] ] dyb22aChú ý:Nếu đề bài không có cho hai giả thiết x = a; x = b [hay y = a; y = b ] thì trước khi ápdụng công thức V0 x [ V0 y ] ta phải tìm hai cận của tích phân bằng cách giải phương trìnhgiao điểm f [ x] = g [ x] [hoặc f [y] = g[y] ]Mở rộng:Bước 1: Tìm các giao điểm a, b,c là nghiệm của cácphương trình f [ x] = h[ x]; f [ x] = g [ x] và g [ x] = h[ x]Bước 2: Áp dụng công thứccbV = [ f [ x] − g [ x] ]dx + [g[ x] − h[ x] ]dx2a222b14Bài toán 5.1 Tính thể tích vật thể khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình [H] giới hạn bởiđồ thị hàm số y = s inx , trục hoành, x = 0 và x =A.1B.22quanh trục Ox.D. C. 22Công thức tính thể tích V = [ s inx ] 2 dx0Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trênĐáp án: DChú ý: Trước khi thực hiện phép tính ta cần chuyển máy tính về chế độ Radian [xem hướng dầntại //www.youtube.com/watch?v=dJ61cX3k_kQ ]Bài toán 5.2 Cho miền D giới hạn bởi hai đồ thị y = 4 − x 2 và y = x 2 + 2 . Tính thể tích khối trònxoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.C. 16B.83C. 12D. Nhận xét: Vì đề bài không cho hai cận của tích phân do đó đầu tiên chúng ta phải tìm hoành độgiao điểm của hai hàm số đã choDùng máy tính CASIO fx-580VN X để tìm nghiệm của phương trình: 4 − x 2 = x 2 + 2Công thức: V = 1 [4 − x ]2 2−1− [ x 2 + 2]2 dxSử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trên15Bài toán 5.3 Cho miền D giới hạn bởi hai đồ thị y = x 2; y = 4 x 2 và y = 4 . Tính thể tích khối tròn xoay đượctạo nên do D quay quanh trục Oy [như hình]A. 12B. 2C. 6D. 8Hướng dẫn giảiChuyển đổi hàm số:y = x 2 x = y và y = 4 x 2 x =y2Nhận xét ta có đồ thị y = x 2 và y = 4 x 2 giao nhau tạiO.2 y 2dyDo đó ta có V = [ y ] − 2 0 4Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trênĐáp án: CNhận xét: Đối với một số biểu thức đơn giản ta có thể khai triển để việc bấm máy trở nên nhanhvà dễ dàng hơnBài toán 5.4. Cho miền D giới hạn bởi đồ thị [C ] : y = x 2 + 1[ x 0] và hai đường thẳngy = −3 x + 11 ; y = 2 . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục OxHướng dẫn giảiTìm giao điểm của các đồ thị•x 2 + 1 = 2 x = 1 [vì x 0 ]•−3x + 11 = 2 x = 316•x 2 + 1 = −3x + 11 x = 2 [vì x = −5 0 ]Công thức tính thể tích:23V = [[ x + 1] − 4]dx + [[−3x + 11] 2 − 4]dx2212Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trên6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾBài toán 6.1.Một người muốn dán tấm bảng hiệu cũ là một phần của hình elip với kích thướcnhư hình vẽ. Tính gần đúng chi phí mà người đó phải bỏ ra để mua giấy dán biết giá của 1m 2giấy là 20000Hướng dẫn giải: Xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình:x2 y 2Phương trình Elip có dạng: 2 + 2 = 1 [ E ]ab[ a , b lần lượt là nữa trục dài và trục ngắn củaElip]Theo đề bài ta có: b = OE =1EG = 121.82 0.82Do B[1.8;0.8] [ E ] nên 2 + 2 = 1 a 2 = 91aSuy ra [ E ] :x2x2+ y 2 = 1 hay y = 1 −991.8Ta có: S = 4SOEBN = 4 1 −0x2dx917Sử dụng máy tính CASIO fx- 580VN X tính tích phân trên và lưuvào AVậy số tiền người chủ phải bỏ ra để mua giấy dán là20000 A 134820Bình luậnĐối với những bài toán tính diện tích của một hình phức tạp không có sẵn công thức ta cóthể sử dụng tích phân để tính diện tíchĐể có thể áp dụng tích phân để tính diện tích ta cần xây dựng hệ trục tọa độ Oxy và xâydựng các hàm số phù hợp, đơn giản mà không mất tính tổng quát, kết quả diện tích khôngsai lệch.Bài toán 6.2 Tính thể tích cái bình hoa với kích thước như hình vẽ biết bình cao 2 [ cm ] vàđường sinh của bình khi nằm ngang là đường cong có dạng y = sinx + 2Phân tích:Cái bình có dạng khối tròn xoay với đường sinh hình Parabol là đồ thị của hàm số y = sinx + 2 .Do đó ta có thể áp dụng công thức tích phân để tính thể tích khố tròn xoay trên.Để việc tính toán trở nên thuận lợi ta nên xây dựng hệ trục tọa độ Oxy cho bình nằm ngang vàtrục Ox chia bình thành hai phần bằng nhauHướng dẫn giảiXây dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ:Khi đó thể tích của bình bằng: V = 2 [ s inx + 2 ] dx20182Sử dụng máy tính CASIO fx- 580VN X tính tích phân [ s inx + 2 ] dx20[Trước khi thực hiện phép tính cần chuyển máy về chế độ Radian ]Vậy thể tích bình hoa V = 9 2 [cm3 ]Bài toán 6.3. Một cái lu có bán kính ở 2 đầu là 2 [ dm ] và ở giữa là 4 [ dm ] , chiều cao của cái lu là8 [ dm] . Tính lượng nước tối đa mà lu có thể chứa được.Phân tích:Cái lu có dạng khối tròn xoay với đường sinh hình Parabol làđồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c [ a 0] . Do đó ta có thể ápdụng công thức tích phân để tính thể tích khố tròn xoay trên.Dựa vào kích thước của cái lu trên đề bài ta có thể xây dựng hệtrục tọa độ Oxy phù hợp và đơn giản như hình vẽ. Khi đó tacó thể sử dụng công thức tích phân để tính thể tích•Từ chiều cao của cái lu ta tìm được cận của tích phân•Từ đồ dài bán kính 2 đầu và ở giữa ta lấy được 3 điểm A [ −4;2] ; B [ 0;4 ] ; C [ 4;2 ] thuộcđồ thị [ P ]Hướng dẫn giải:Tìm phương trình Parabol [ P ] : y = ax2 + bx + c [ a 0] qua 3 điểm A [ −4;2] ; B [ 0;4 ] ; C [ 4;2 ]Giải hệ phương trình:−1a=16a − 4b + c = 28−1 2 b = 0 [ P ] : y =x +4c = 4816a + 4b + c = 2c = 419 −1Như vậy: V = x 2 + 4 dx8−4 24Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X tính tích phân trênVậy thể tích cái lu là: V =1376 288.189 [ dm 2 ]15Bài toán 6.4 Vận tốc chuyển động của máy bay là v[t ] = 6t 2 + 1[m / s] . Hỏi quãng đường máybay bay từ giây thứ 5 đến giây thứ 15 là bao nhiêu?A. 2400mB. 1202mC. 6510mD. 1134mHướng dẫn giảiQuãng đường đi được S [t ] là nguyên hàm của vận tốcv [t ] . Do đó quãng đường đi được từ giây thứ 5 đến giây thứ15 là:151555S = v[t ]dt = [ 6t 2 + 1] dtĐáp án CBài toán 6.5 [SGK- Toán 12 NC] Một xe ô tô đang chạy thì phanh lại. Sau khi đạp phanh, ô tôbắt đầu chuyển động chậm dần đều với vận tốc v[t ] = −40t + 20[m / s] , trong đó t là khoảng thờigian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còndi chuyển bao nhiêu mét ?A. 4.5[m]B. 5[ m ]C. 5.5[ m]D. 6[ m]Hướng dẫn giảiChọn mốc thời gian là lúc người lái xe đạp phanh và T là thời điểm ô tô dừng hẳnKhi đó v[T ] = 0 hay −40T + 20 = 0 . Suy ra T = 0.520Như vậy, kể từ lúc đạp phanh ô tô mất thêm 0.5s để dừng hẳn và quãng đường ô tô di chuyểntrong thời gian này là: S =0.50.500 v[t ]dt = [−40t + 20]dtĐáp án: BBài toán 6.6 [Đề THPT Quốc Gia 2018] Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng1 2 58t + t [m / s ] trong đó t [giây] là12045với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật v[t ] =khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũngxuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với và có giatốc bằng a[m / s 2 ] [ a là hằng số]. Sau khi B xuất phát được 15s thì đuổi kịp A. Vận tốc B tạithời điểm đuổi kịp A bằngA. 25[m / s]B. 30[m / s]C. 36[m / s]D. 21[m / s ]Hướng dẫn giảiTính quãng đường A đi được cho đến khi B đuổi kịp A 1 2 58 t + t dt = 225S = v A [t ]dt = 45 120001818Tính quãng đường B đi được cho đến khi B đuổi kịp AVận tốc của B tại thời điểm t [ s ] tính từ lúc B xuất phát là vB [t ] = at [m / s]Quãng đường B đi được cho đến khi B đuổi kịp A151500S = vB [t ]dt = atdt =Tính vận tốc B tại thời điểm đuổi kịp A:at 2 15 225=a [ m]2 02225a = 225 a = 22vB [t] = 2t vB [15] = 30[m / s]21Đáp án BLưu ý: Để có thể làm tốt các bài toán trên, chúng ta cần nhớ mối hệ của các đại lượng Quãngđường S [ t ] , Vận tốc v [ t ] và Gia tốc a [ t ]✓ Quãng đường đi được S [ t ] là nguyên hàm của vận tốc v [ t ]✓ Quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian nào bằng tích phân của hàm vận tốcv [ t ] khi biến t chạy trong khoảng thời gian đó.✓ Đạo hàm của vận tốc v [ t ] tại thời điểm t chính là gia tốc của vật chuyển động tại thời điểmđó a [ t ] .Bài toán 6.5. Công ty vừa đưa vào một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau vài10 tuần, sản lượng đạt được q [ t ] = 2000 1 −máy/tuần. Tìm số máy sản xuất được từ đầu2 [10 − t ] tuần thứ ba đến hết tuần thứ tưA. 147 máyB. 1523 máyC. 1470 máyD. 3166 máyHướng dẫn giải10 Số máy sản xuất được từ đầu tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư là: 2000 1 −dt2 [10 − t ] 24Đáp án DBài toán 6.6 Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu làh1 = 300cm . Giả sử h [ t ] là chiều cao [tính bằng cm] của mực nước bơm được tại thời điểm t22giây, biết rằng tốc độ tăng chiều cao mực nước tại giây thứ t là h [ t ] =bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được1 3t + 3 và lúc đầu hồ5003độ sâu của hồ bơi4A. 2 giờ 7 phútB. 1 giờ 7 phútC. 4 giờ 7 phútD. 3 giờ 7 phútHướng dẫn giải 1 3 1 3x + 3 dx = x + 3 dxMực nước của hồ bơi tại thời gian t giây là: h [ t ] = h [ 0 ] + 50050000tTheo đề bài, lượng nước bơm được bằngt3độ sâu của hồ bơi nên ta có:433 1 3h [ t ] = h1 x + 3 dx = 300 = 225450040tDùng chức năng SOLVE của Casio fx 580vnx để tìm nghiệm cho phương trình trên:Vậy t 7619 2 giờ 7 phútĐáp án ABài toán 6.7.Một công ty dự định đầu tư một khu nhà máy sản xuất. Giả sử sau t năm, dự án lần1 có tốc độ phát sinh lợi nhuận là P1 [ t ] = 100 + t 2 trăm đôla/năm, tiếp sau đó dự án lần 2 có tốcđộ phát sinh lợi nhuận là P2 [ t ] = 150 + 5t trăm đôla/năm. Biết rằng sau thời gian t thì tốc độ lợinhuận lần 1 gấp 2 lần tốc độ lợi nhuận lần 2. Tính lợi nhuận chênh lệch thực tế cho khoảng thờigian trênA. 676.66 trăm đôB. 755 trăm đô23C. 750 trăm đôD. 666.67 trăm đôHướng dẫn giảiKhoảng thời gian t [ t 0] để tốc độ lợi nhuận lần 1 gấp 2 lần tốc độ lợi nhuận lần 2 là nghiệmdương của phương trình:t = 20P1 [ t ] = 2 P2 [ t ] 100 + t 2 = 300 + 10t t = −10Vậy lợi nhuận chênh lệch thực tế cho khoảng thời gian 0 t 20 là202 P1 [ t ] − P2 [ t ]dt = [100 + t ] − [150 + 5t ] dt =2020000 [t2− 5t − 50 ] dtĐáp án DBài toán 6.8 Ban đầu trong một mẫu nước có khoảng 600 con vi khuẩn, trong 1 giờ số lượngnày tăng lên với tốc độ v [ t ] = 400e1.25t . Hỏi sau 3 giờ, 5giờ và 7 giờ số lượng vi khuẩn trong mẫulần lượt là bao nhiêu ?A. 13886 −166044 − 2019700B. 17608 − 207805 − 2524875C. 18808 − 210205 − 2528475D. 18702 − 220350 − 2516969Hướng dẫn giảiCách 1: Đặt S [ t ] là số vi khuẩn trong mẫu sau t giờKhi đó ta có: S [ t ] = v [ t ] dt = 400e1.25t dt = 320e1.25t + C24Theo đề bài ta có: S [ 0] = 600 320 + C = 600 C = 280Suy ra: S [ t ] = 320e1.25t + 280Sử dụng Casio fx 580vnx tìm số lượng vi khuẩn sau 3 giờ, 5giờ và 7 giờNhập biểu thức vào máy:Sử dụng lệnh r lần lượt tại các giá trị x = 3 ; x = 5 và x = 7Đáp án ACách 2 Đặt S [ t ] là số vi khuẩn trong mẫu sau t giờtTa có S [ t ] = S [ 0 ] + 400e1.25 x0tdx = 600 + 400e1.25 x dx0Nhập biểu thức vào máy:Sử dụng lệnh r lần lượt tại các giá trị A = 3 ; A = 5 và A = 725