2. So sánh các cạnh của tam giác ABC, biết rằng. Bài 2 trang 55 sgk toán lớp 7 – tập 2 – Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
2. So sánh các cạnh của tam giác ABC, biết rằng:
\[\widehat{A}\] = 800 , \[\widehat{B}\] = 800
Hướng dẫn:
Tam giác ABC có \[\widehat{A}\] = 800; \[\widehat{B}\] = 450
Quảng cáo - Advertisements
Nên \[\widehat{C}\] = 1800 – [800 + 450] = 550
[theo định lý tổng ba góc trong tam giác]
Vì 450 < 550 < 800 hay \[\widehat{B}\] AB\] nên \[B'\] nằm giữa \[A\] và \[C\].
Kẻ \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat{A}\ [M \in BC]\]
Xét \[\Delta AMB\] và \[\Delta AMB’\] có:
\[AB=AB’\ [\]do cách lấy điểm \[B’]\]
\[\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\ [\]do \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat{A}]\]
Cạnh \[AM\] chung
Do đó, \[\Delta AMB = \Delta AMB’\ [c.g.c] \]
\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{AB’M}\] [hai góc tương ứng] \[[1] \]
Mà \[\widehat{AB’M}\] là góc ngoài tại đỉnh \[B’\] của tam giác \[MB’C\]
\[\Rightarrow \widehat{AB’M}>\widehat{C}\] [Tính chất góc ngoài của tam giác] \[[2] \]
Từ \[ [1] \] và \[ [2] \] suy ra \[\widehat{B}>\widehat{C}\]
Cách 2: Áp dụng tính chất tam giác cân
Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD=AB\].
Vì \[AC>AB\] nên \[D\] nằm giữa \[A\] và \[C\]
Do đó, tia \[BD\] nằm giữa hai tia \[BA\] và \[BC\].
\[\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{B_2}=\widehat{B}\]
\[\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B}-\widehat{B_2}\] \[[1]\]
Ta có \[\widehat{D_1}=\widehat{B_2}+\widehat{C}\]
\[[\]Vì \[\widehat{D_1}\] là góc ngoài tại đỉnh \[D\] của \[\Delta BDC] \] \[[2] \]
Mà \[\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\ [\]Do \[AB=AD]\] \[[3]\]
Thay \[ [1] \] và \[ [2] \] vào \[ [3]\], ta được:
\[\widehat{B}-\widehat{B_2}=\widehat{B_2}+\widehat{C}\]
\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}+2\widehat{B_2}\]
Đẳng thức này chứng tỏ \[\widehat{B}>\widehat{C}\]
Ví dụ 1:
Cho \[\Delta ABC\] có: \[AB=6cm\]; \[AC=4cm\]; \[BC=9cm\]. So sánh các góc của tam giác \[ABC\].
Giải:
Ta có:
\[ACAB \Leftrightarrow \widehat{B}>\widehat{C}\]
Hệ quả [edit]
a] Đối với tam giác tù
Cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất
b] Đối với tam giác vuông
Cạnh huyền là cạnh lớn nhất
c] Đối với tam giác cân
Hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau
d] Đối với tam giác đều
Ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau
Chú ý:
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện chỉ đúng khi các góc [hoặc các cạnh] cùng thuộc một tam giác. Nếu hai góc [hoặc hai cạnh] mà ta cần so sánh thuộc hai tam giác khác nhau thì không vận dụng được các định lí trên.
Ví dụ 3:
Cho \[\Delta ABC\] có \[AB>AC\], \[AD\] là tia phân giác của góc \[A\]. Chứng minh rằng: \[BD>DC\]
Phân tích:
Ta phải so sánh \[BD\] và \[DC\], hai đoạn thẳng này không phải là hai cạnh của một tam giác nên ta không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Do đó, ta sẽ kẻ thêm hình.
Giải:
Trên tia \[AB\] lấy điểm \[E\] sao cho \[AE=AC\] và vẽ tia \[Ax\] trùng với tia \[AC\] như hình vẽ:
\[\Delta AED\] và \[\Delta ACD\] có:
\[AE=AC\] [theo cách dựng]
\[\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\]
\[AD\] là cạnh chung
Do đó, \[\Delta AED = \Delta ACD\ [c.g.c] \]
\[\Rightarrow ED=DC\] và \[\widehat{E_1}=\widehat{C_1}\]
Mà \[\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{C_1}+ \widehat{C_2}\ [=180^o] \]
\[\Rightarrow \widehat{E_2}= \widehat{C_2}\]
Ta lại có: \[\widehat{C_2}> \widehat{B}\ [\]Do \[\widehat{C_2}\] là góc ngoài tại đỉnh \[C\] của \[\Delta ABC] \]
Do đó, \[\widehat{E_2}>\widehat{B}\]
Trong \[\Delta BED\] có: \[\widehat{E_2}>\widehat{B}\]
\[\Rightarrow BD>ED\] [Định lí cạnh đối diện với góc lớn hơn]
Mà \[ED=DC\] nên \[BD>DC\].
Sai lầm thường gặp:
Một học sinh nhật xét:
Ta có: \[\widehat{A_1}=\widehat{A_2} \Rightarrow BD=DC\].
Giải thích:
Vì \[\widehat{A_1}\] là góc của \[\Delta ABD\]; \[\widehat{A_2}\] là góc của \[\Delta ADC\].
Hai cạnh \[BD\] và \[DC\] cũng là hai cạnh của hai tam giác khác nhau.
Do đó, định lí trên chỉ xét trong một tam giác.
Tuy nhiên, nếu hai tam giác có thêm điều kiện hai cặp cạnh bằng nhau từng đôi một thì quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trên vẫn đúng.
Cụ thể:
Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau nhưng cặp cạnh thứ ba không bằng nhau thì góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Ngược lại, nếu hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau nhưng hai góc xen giữa không bằng nhau thì cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
\[\Delta ABC\] và \[\Delta A’B’C’\] có:
\[AB=A’B’\]; \[BC=B’C’\].
Khi đó, \[AC