VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BPT MŨ. Phương pháp: Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Bất phương trình được biến đổi về dạng. Vậy tập nghiệm của bất phương trình. Cách 2: Bất phương trình được biến đổi về dạng. Vậy tập nghiệm của bất phương trình. Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực hiện một công việc là đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên: Trong cách 1, với việc sử dụng cơ số a1 nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều. Trong những trường hợp tương tự các em học hãy lựa chọn theo hướng này. Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực hiện một công việc là đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên: Trong cách 1, chúng ta đã tìm cách biến đổi theo và ở đây các em học sinh cũng cần lưu ý rằng cơ số này nhỏ hơn 1. Trong cách 2, chúng ta đã sử dụng ý tưởng về cơ số trung gian đã biết trong phần phương trình mũ. II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Phương pháp: Dạng 1: Với bất phương trình. Dạng 2: Với bất phương trình Dạng 3: Với bất phương trình. 2. Bài toán minh họa: Giải các bất phương trình sau. Ta có thể trình bày theo hai cách sau. Biến đổi bất phương trình về dạng. Kết hợp với điều kiện ta nhận được tập nghiệm của bất phương trình là [1; 4]. Cách 2: Bất phương trình biến đổi tương đương về dạng. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [1; 4]. Yêu cầu: Các em học sinh hãy so sánh hai cách giải trên và hãy trả lời câu hỏi “Có thể sử dụng cách 2 cho bất phương trình trong câu 2 hay không ?”. Phương pháp: Các dạng đặt ẩn phụ trong trường hợp này cũng giống như với phương trình mũ và phương trình logarit. 2. Bài toán minh họa
Bài toán 1: Giải các bất phương trình sau: Phương trình được biến đổi về dạng chia hai vế bất phương trình. Khi đó, bất phương trình có dạng. Vậy, nghiệm của bất phương trình là [-1; 1]. Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với ba dạng đặt ẩn phụ cơ bản đã được biết trong phần phương trình mũ. Và ở đây: Với câu chúng ta cần tới phép biến đổi để định hướng cho ẩn phụ t. Và với điều kiện t > 0 nên kết quả t 0 chúng ta loại bỏ luôn mẫu số sau phép quy đồng. Với câu 3 chúng ta cần sử dụng một vài phép biến đổi đại số để nhận dạng được loại ẩn phụ cho bất phương trình. Và ở đó việc chia cả hai vế của bất phương trình cho một số dương nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều.
A. 10
B. 9
C. 8
D. 11
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
Phương trình
Đặt thì phương trình trở thành:
Do đó
Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8.
Bài tập 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .A. m ∈ [0; +∞]
B.
C.
D. m ∈ [–∞; 0]
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
⇔ [1 + log2 x]2 – 2[m + 1] log2 x – 2 < 0 [1]
Đặt t = log2 x .Vì x ∈ nên . Do đó t ∈
[1] thành [1 + t]2 – 2[m + 1] t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 0, ∀ m ∈ ℝ
f[t] = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên [2] luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2
Khi đó cần
Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0
Khảo sát hàm số f[t] trong [0; +∞] ta được
Bài tập 3. Cho bất phương trình: 9x + [m – 1]․3x + m > 0 [1]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình [1] nghiệm đúng ∀ x > 1 .A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Đặt t = 3x
Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2 + [m – 1]․t + m > 0 nghiệm đúng ∀ t ≥ 3
nghiệm đúng ∀ t > 3
Xét hàm số
Hàm số đồng biến trên [3; +∞] và
Yêu cầu bài toán tương
Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng [256; +∞]A. 7
B. 10
C. 8
D. 9
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
Với điều kiện trên bất phương trình trở thành H95
Đặt t = log2 x thì t > 8 vì x ∈ [256; +∞]
Đặt
Yêu cầu bài toán
Xét hàm số trên khoảng [8; +∞]
Ta có
⇒ f[t] luôn nghịch biến trên khoảng [8; +∞]
Do đó
Mà m ∈ [0; 10] nên m ∈ {3; 4; …; 10}.
Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 [5x – 1]․log2 [2.5x – 2] ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.A m ≥ 6
B m > 6
C m ≤ 6
D m < 6
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện của bất phương trình: x > 0
Ta có log2 [5x – 1]․log2 [2.5x – 2] ≥ m ⇔ log2 [5x – 1]․[1+ log2 [5x – 1]] ≥ m [1]
Đặt t = log2 [5x – 1], với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó [1] trở thành m ≤ t2 + t [2]
Xét hàm số f[t] = t2 + t trên [2; +∞] ta có f’[t] = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞].
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6.
Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?A. 6
B. 4
C. 9
D. 1
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện x2 – 3x + m ≥ 0 [*]
Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn [*].
Bài tập 7. Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.A. 7
B. 8
C. 9
D. 6
Lời giải
Chọn A
Điều kiện của bất phương trình là x > 0.
Khi đó:
Đặt t = log2 x. Ta có:
Trả lại ẩn ta có .
Kết hợp với điều kiện x > 0 ta có hoặc hoặc x > 2
Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + [m – 1]․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?A. m ≤ 3
B. m ≥ 1
C. –1 ≤ m ≤ 4
D. m ≥ 0
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình ⇔ m․4x + 4[m – 1]․2x + m – 1 > 0 ⇔ m[4x + 4․2x + 1] > 1 + 4․2x
⇔
Đặt 2x = t [t > 0]. Khi đó .
Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0.
Đặt
Hàm số nghịch biến trên [0; +∞]. Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f [0] = 1
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m[2x + 1] > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝA. m ∈ [–∞; 0]
B. m ∈ [0; +∞]
C. m ∈ [0; 1]
D. m ∈ [–∞; 0] ∪ [1; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Đặt 2x = t [t > 0]. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ [0; +∞]
Đặt
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.
Bài tập 10. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .A. m ∈ [0; +∞]
B.
C.
D. m ∈ [–∞; 0]
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
⇔ [1 + log2 x]2 – 2[m – 1] log2 x – 2 < 0 [1]
Đặt t = log2 x. Vì nên . Do đó t ∈
[1] thành [1 + t]2 – 2[m + 1] t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 < 0 [2]
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt [2] có nghiệm thuộc
Xét bất phương trình [2] có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ
f[t] = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên [2] luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2
Khi đó cần
Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0
Khảo sát hàm số f[t] trong [0; +∞] ta được
Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:A. 12,3
B. 12
C. 12,1
D. 12,2
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: 0 < x ≠ 1.
Ta có 24x6 – 2x5 + 27x4 – 2x3 + 1997x2 + 2016
= [x3 – x2]2 + [x3 – 1]2 + 22x6 + 26x4 +1997x2 + 2015 > 0, ∀x
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với
Đặt , ta có bất phương trình
Đặt . Ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 có nghiệm thực.A. m ≥ 2
B. m ≤ 3
C. m ≤ 5
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn D
Ta có 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 ⇔ [2x]2 – 2m․2x + 3 – 2m ≤ 0
Đặt 2x = t [t > 0]
Ta có bất phương trình tương đương với
Xét trên [0; +∞]
Bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1.
Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ [1; 64].A. m ≤ 0
B. m ≥ 0
C. m < 0
D. m > 0
Lời giải
Chọn B
Ta có
Đặt log2 x = t, khi x ∈ [1; 64] thì t ∈ [0; 6]
Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –t2 –t [*]
Xét hàm số f[t] = –t2 –t với t ∈ [0; 6]
Ta có f’[t] = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ [0; 6]
Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ [1; 64] khi và chỉ khi bất phương trình [*] đúng với mọi t ∈ [0; 6] ⇔ m ≥ 0.
Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞]?A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định
Hàm số xác định trên [32; +∞]
Đặt t = log2 x. Khi x ≥ 32, ta có miền giá trị của t là [5; +∞].
Bất phương trình có dạng:
Xét hàm số trên [5; +∞] có nên hàm số nghịch biến trên [5; +∞]
Do và f [5] = 3 nên ta có 1 < f[t] ≤ 3
Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞] khi và chỉ bất phương trình có nghiệm duy nhất trên [5; +∞]
Khi đó: . Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn.
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?A. 6
B. 4
C. 9
D. 1
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: x2 + 3x + m ≥ 0 [*]
Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn [*].
Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 [5x – 1]․log2 [2․5x – 2] ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.A. m ≥ 6
B. m > 6
C. m ≤ 6
D. m < 6
Lời giải
Chọn C
Điều kiện của bất phương trình: x > 0
Ta có log2 [5x – 1]․log2 [2․5x – 2] ≥ m ⇔ log2 [5x – 1]․[1 + log2 [5x – 1]] ≥ m [1]
Đặt t = log2 [5x – 1], với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó [1] trở thành m ≤ t2 + t [2]
Xét hàm số f[t] = t2 + t trên [2; +∞] ta có f’[t] = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞]
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6
Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + [m – 1]․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?A. m ≤ 3
B. m ≥ 1
C. –1 ≤ m ≤ 4
D. m ≥ 0
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình ⇔ m․4x + 4[m – 1]․2x + m – 1 > 0 ⇔ m [4x + 4․2x + 1] > 1 + 4․2x
⇔
Đặt 2x = t [Điều kiện t > 0 ].
Khi đó
Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0
Đặt
Hàm số nghịch biến trên [0; +∞]. Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f [0] = 1
Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m[2x + 1] > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝA. m ∈ [–∞; 0]
B. m ∈ [0; +∞]
C. m ∈ [0; 1]
D. m ∈ [–∞; 0] ∪ [1; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Đặt t = 2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ [0; +∞]
Đặt
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.