Với giải Bài 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số và giải tích được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài tập 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a] y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;
b] y=cos2π3−x+cos2π3+x+cos22π3−x+cos22π3+x−2sin2x.
Lời giải:
a] y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x
Ta có:
y′ = [sin6x]′ + [cos6x]′ + [3sin2xcos2x]′
= 6sin5x[sinx]′ + 6cos5x[cosx]′ + 3.[[sin2x]′cos2x + sin2x[cos2x]′]
= 6sin5xcosx + 6cos5x[−sinx] +3[2sinxcosxcos2x + sin2x.2cosx[−sinx]]
= 6sin5xcosx − 6cos5xsinx + 6sinxcos3x − 6cosxsin3x
= [6sin5xcosx − 6cosxsin3x] + 6sinxcos3x − 6cos5xsinx
= 6sin3xcosx[sin2x − 1] + 6sinxcos3x[1 − cos2x]
= 6sin3xcosx.[−cos2x] + 6sinxcos3xsin2x
= −6sin3xcos3x + 6sin3xcos3x
= 0
⇒ y′ = 0,∀x
Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.
Cách khác:
sin6x + cos6x = [sin2x]3 + [cos2x]3
= [sin2x + cos2x]3 − 3sin2xcos2x[sin2x + cos2x]
= 13 − 3sin2xcos2x.1
= 1 − 3sin2xcos2x
⇒ y = sin6x + cos6x + 3sin2xcos2x = 1
⇒ y′ = [1]′ = 0
Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.
b]y=cos2π3−x+cos2π3+x+cos22π3−x+cos22π3+x−2sin2x
=12+12cos2π3−2x+12+12cos2π3+2x+12+12cos4π3−2x+12+12cos4π3+2x−2⋅1−cos2x2=1+12cos2π3−2x+12cos2π3+2x+12cos4π3−2x+12cos4π3+2x+cos2x
Do đó y'=12⋅[−2]⋅−sin2π3−2x+12⋅2⋅−sin2π3+2x
+12⋅[−2]⋅−sin4π3−2x+12⋅2⋅−sin4π3+2x−2sin2x=sin2π3−2x−sin2π3+2x+sin4π3−2x−sin4π3+2x−2sin2x=2cos2π3⋅sin[−2x]+2cos4π3⋅sin[−2x]−2sin2x
= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0
[Vì cos2π3=cos=−12]
Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.
Cách khác:
y=1+12cos2π3−2x+cos4π3−2x+12cos2π3+2x+cos4π3+2x+cos2x=1+12⋅2cos[π−2x]cosπ3+12⋅2cos[π+2x]cosπ3+cos2x=1−cos2x⋅12−cos2x⋅12+cos2x=1−cos2x+cos2x=1⇒y=1,∀x⇒y'=0,∀x
Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Hoạt động 1 trang 163 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính ... bằng máy tính bỏ túi.
Hoạt động 2 trang 165 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...
Hoạt động 3 trang 166 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...
Hoạt động 4 trang 167 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...
Bài tập 1 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau...
Bài tập 2 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các bất phương trình sau...
Bài tập 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau...
Bài tập 4 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các đạo hàm của các hàm số sau...
Bài tập 5 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính..., biết rằng f[x] = x2 và
Bài tập 7 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình f′[x] = 0, biết rằng...
Bài tập 8 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải bất phương trình f′[x] > g′[x]. biết rằng...
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ VÍ DỤ MỞ RỘNG
§1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC
• Nếu hàm số f[x] có đạo hàm hữu hạn tại điểm x = $x_{0}$ thì f[x] liên tục tại điểm đó.
Thật vậy, giả sử hàm số f[x] có đạo hàm hữu hạn tại điểm x = $x_{0}$. Khi đó, ta có
Vậy f[x] liên tục tại x = $x_{0}$
• Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, có thể xét hàm số f[x] = |x|, dễ dàng chứng tỏ hàm này liên tục nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0. Một ví dụ khác :
Ví dụ 21.
Chứng minh rằng hàm số
Giải.
Do đó f không có đạo hàm tại x = 0.
Ví dụ 22.
Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại $x_{0}$ = 0;
Giải.
Nếu hàm số f[x] có đạo hàm hữu hạn tại điểm $x_{0}$ = 0 thì f[x] liên tục tại điểm đó. Như vậy, để hàm số đã cho có đạo hàm tại $x_{0}$ = 0 thì trước hết hàm số phải liên tục tại $x_{0}$ = 0, tức là
Lúc đó, thay a = 1 vào ta có
Ta có
Hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$ = 0 khi và chỉ khi
Vậy khi a = 1,
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?
Lời giải:
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.
Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f[x] = x[x^2 – 3].
Lời giải:
1. TXĐ: D = R
2. f’[x] = 3x^2 – 3. Cho f’[x] = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.
3. Ta có bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.
Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y=x3-mx2-2x+1 luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.
Xem đáp án » 07/04/2020 5,798
Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau: y=x5-x3-2x+1
Xem đáp án » 07/04/2020 4,277
Tìm a và b để các cực trị của hàm số y=53a2x3+2ax2-9x+b đều là nhưng số dương và xo=-59 là điểm cực đại.
Xem đáp án » 07/04/2020 4,142
Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau: y = sinx + cosx
Xem đáp án » 07/04/2020 3,301
Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.
Xem đáp án » 07/04/2020 3,043
Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: y=2x3+3x2-3
Xem đáp án » 06/04/2020 2,968