Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $MN$ và $A$ là một điểm trên đường tròn $[O]$, [$A$ khác $M$ và $A$ khác $N$]. Lấy một điểm $I$ trên đoạn thẳng $ON$ [$I$ khác $O$ và $I$ khác $N$]. Qua $I$ kẻ đường thẳng $[d]$ vuông góc với $MN$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $AM$, $AN$ với đường thẳng $[d]$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $N$ qua điểm $I$. Chứng minh \[\widehat{PMK}=\widehat{IQN}\] và tứ giác $MPQK$ nội tiếp đường tròn.
Do tứ giác MAQI nội tiếp đường tròn đường kính MQ nên \[\widehat{PMK}=\widehat{IQN}\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{QNK}\] .
Vì K đối xứng với N qua I nên tam giác QKN cân tại Q, do đó : \[\widehat{QKN}=\widehat{QNK}=\widehat{MPQ}\].
Suy ra tứ giác MPQK nội tiếp.
Cho $AB$ và $MN$ là hai đường kính khác nhau của đường tròn $[O]$. Tiếp tuyến tại $B$ của $[O]$ cắt các đường thẳng $AM$, $AN$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh:
a] $ABMN$ là hình chữ nhật.
b] Bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn.
a] Vì AB, MN đều là các đường kính nên tứ giác AMBN có tất cả các góc bằng 90o. Vì vậy AMBN là hình chữ nhật.
b] Ta thấy \[\widehat{ANM}=\widehat{ABM}\] [Góc nội tiếp cùng chắn cung AM]
Lại có \[\widehat{ABM}=\widehat{MPB}\] [Cùng phụ với góc \[\widehat{MBP}\] ]
Vậy nên \[\widehat{ANM}=\widehat{MPB}\].
Xét tứ giác MNQP có \[\widehat{ANM}=\widehat{MPB}\] nên MNQP là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $AI$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $OI$, $H$ là trung điểm của $EB$.
a/ Chứng minh \[HK\perp EB\]
b/ Chứng minh tứ giác $AEKC$ nội tiếp được trong một đường tròn.
a] Ta thấy E, O là trung điểm của AB và AI nên EO là đường trung bình tam giác ABI.
\[\Rightarrow\] EO//BI.
Lại có H, K lần lượt là trung điểm của EB và OI nên HK là đường trung bình của hình thang EOIB. Vậy nên HK//BI [1].
Lại có do AI là đường kính nên \[\widehat{ABI}=90^o\] hay \[BI\perp EB\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[HK\perp EB\].
b] Xét tam giác KBE có KH là trung tuyến đồng thời đường cao nên KBE là tam giác cân tại K.
Vậy thì \[\widehat{BEK}=\widehat{EBK}\] [3]
Do tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung trực của BC. K thuộc AI nên KB = KC hay tam giác KBC cân tại K.
Suy ra \[\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\].
Lại có \[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\].
Vậy thì \[\widehat{ABC}-\widehat{KBC}=\widehat{ACB}-\widehat{KCB}\] hay \[\widehat{EBK}=\widehat{KCA}\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[\widehat{BEK}=\widehat{KCA}\].
Vậy nên AEKC là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Trên cung $AD$ lấy một điểm $E$. Nối $BE$ và kéo dài cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $CDEF$ là tứ giác nội tiếp.
Ta thấy D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên \[\widehat{BDA}=90^o\].
Vậy nên \[\widehat{BAD}=\widehat{BCA}\] [Cùng phụ với góc \[\widehat{ABC}\] ]
Lại có \[\widehat{BAD}=\widehat{BED}\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCA}\].
\[\Rightarrow\widehat{BCA}+\widehat{DEF}=\widehat{BED}+\widehat{DEF}=180^o\] nên CDEF là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $[O]$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.
a] Chứng minh các tứ giác $BCEF$ và $AFDC$ nội tiếp.
b] Vẽ đường kính $AA'$ của đường tròn $[O]$ cắt $EF$ tại $Q$, $CF$ tại $N$, $BC$ tại $P$. Chứng minh tứ giác $CEQA'$ nội tiếp.
c] Gọi $M$ là giao điểm của $EF$ với $AD$. Chứng minh các điểm $M$, $P$, $Q$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.
d] Gọi $R$ là giao điểm của $A'C$ với $AD$. Chứng minh tứ giác $HRA'N$ nội tiếp.
a] Xét tứ giác BCEF có \[\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\] nên BCEF là tứ giác nội tiếp.
Tương tự tứ giác AFDC nội tiếp.
b] Do tứ giác ABA'C nội tiếp nên \[\widehat{AA'C}=\widehat{ABC}\] [Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC]
Lại có \[\widehat{ABC}=\widehat{AHF}\] [Cùng phụ với góc BAD]
Tứ giác AFHE nội tiếp nên \[\widehat{AHF}=\widehat{AEF}\] [Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF] nên \[\widehat{QA'C}=\widehat{AEQ}\]
Suy ra QA'CE là tứ giác nội tiếp.
c] Do AA' là đường kính nên \[\widehat{ACA'}=90^o\]. Tứ giác A'CEQ nội tiếp nên \[\widehat{AQE}=\widehat{ACA'}=90^o\]
Ta thấy hai tam giác MQP và MDP đều là các tam giác vuông có chung cạnh huyền MP nên MQPD nội tiếp đường tròn đường kính MP.
d] Vì ABA'C và FBDH là những tứ giác nội tiếp nên \[\widehat{NA'C}=\widehat{ABC}=\widehat{DHC}\Rightarrow\widehat{NA'C}=\widehat{DHC}\]
Dó đó HRA'N là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh “Tứ giác nội tiếp” trong chương trình Toán 9 là dạng bài tập thông dụng, thường xuyên gặp ở các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức và kỹ năng, thầy Nguyễn Quyết Thắng – Giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI đã thực hiện bài giảng để giúp các em lấy trọn điểm phần này. Hãy cùng tìm hiểu!
Chứng minh tứ giác nội tiếp là ta cần chứng minh 4 đỉnh của tứ giác nằm trên cùng một đường tròn. Dạng bài tập này sẽ có nhiều mức độ để thử thách các em học sinh từ trung bình đến giỏi trong chương trình Toán lớp 9. Trong quá trình học và theo dõi bài, người học nên tập trung cao độ, ghi chép đầy đủ để học tập hiệu quả.
Một số kiến thức quan trọng về tứ giác nội tiếp
-
- Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ.
- Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Ngoài ra, ta còn có một số hệ quả:
– Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
– Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
– Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Phương pháp số 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ
Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Nội dung của phương pháp này như sau:“Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp”
Hệ quả của nội dung này là:
Cho tứ giác ABCD:
- Nếu BAD = BCD = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD
- Nếu tổng hai góc kề bù EAD = BCD thì tứ giác ABCD nội tiếp
Phương pháp số 2: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
Ở phương pháp này, học sinh chú ý phải nhìn đúng hình đúng góc, nếu không sẽ bị tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và ảnh hưởng tới những câu tiếp theo. Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc C của tứ giác [góc A và góc C đối đỉnh] thì có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Phương pháp số 3: Chứng minh hai đỉnh cùng kề một cạnh, cùng nhìn cạnh đó dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ
Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằng DAC = DBC = 90 độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Phương pháp số 4: Chứng minh bốn đỉnh của một tứ giác cách đều một điểm xác định
Nếu đề bài cho trước một đường tròn tâm O có bán kính R thì bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn đều cách tâm một khoảng đúng bằng bán kính. Theo thầy Thắng hướng dẫn, dựa vào tính chất này, học sinh có thể dễ dàng chứng minh một tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD.
Nếu học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.
Phương pháp số 5: Tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn
Ví dụ: Cho một tứ giác tứ giác ABCD
Để ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ⇔ góc A + góc C = góc B + góc D. Trong trường hợp đặc biệt tổng các góc đối bằng 180 độ ta có được hệ quả là phương pháp số 1.
Phương pháp số 6: Chứng minh tứ giác thuộc dạng tứ giác đặc biệt
Với phương pháp này, các em học sinh hãy chứng minh tứ giác đề bài đã cho là tứ giác có dạng hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi hoặc hình bình hành,… rồi từ đó suy ra tứ giác đã cho là tứ giác nội tiếp.
Một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếp
- Học sinh nên vẽ hình rõ ràng, dễ nhìn và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt.
- Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau cần được đánh dấu rõ ràng.
- Bám vào giả thiết, kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả.
- Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán.
- Không dùng những điều đang cần chứng minh để chứng minh lại chúng.
Trên đây là 4 phương pháp và những lưu ý giúp học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp đơn giản, hiệu quả hơn. Các em chú ý theo dõi bài giảng và ghi chép đầy đủ để nắm vững kiến thức và áp dụng vào bài tập. Đồng thời, phụ huynh muốn giúp con ôn tập môn Toán cho kỳ thi cuối năm và luyện thi vào 10 hiệu quả, có thể đăng ký cho con một khóa học online tại nhà để tiết kiệm thời gian học thêm ở ngoài.
Tự hào là nền tảng học trực tuyến số 1 dành cho học sinh phổ thông Việt Nam, hiện nay Hệ thống Giáo dục HOCMAI đang triển khai Chương trình Học tốt 2020-2021 nhằm mục đích giúp học sinh trên toàn quốc tiếp cận với kho tài liệu và bài giảng chất lượng đến từ các thầy cô giáo có nhiều năm kinh nghiệm trong nghề. Hãy tham gia chương trình ngay hôm nay để tự tin hơn và bứt phá trong học tập!