Chẳng hạn$,$ đa thức bậc cao như$:$ $f[\,a,\,b]= a^{\,4}+ b^{\,4}+ 2\,a^{\,2}b^{\,2}+ a^{\,3}b+ ab^{\,3}$$,$ vậy nếu$:$ $f[\,a,\,b]\equiv f[\,a,\,a\,] $ thì chỉ cần hệ số trong đa thức cân bằng thôi thì cũng hàng vô số đa thức như vậy$:$
$$f[\,a,\,a]= 6\,a^{\,4}= 3\,a^{\,4}+ 3\,b^{\,4}= 2\,a^{\,4}+ 2\,b^{\,4}+ a^{\,3}b+ ab^{\,3}= a^{\,4}+ b^{\,4}+ 4\,a^{\,2}b^{\,2}= \,...\,$$
hàng loạt đa thức đối xứng$:$ $f[\,a,\,b\,]$$,$ còn bài về ví dụ bất đẳng thức bậc $4$ thì duyên cớ là đa thức vế trái có hệ số khác không cho bậc $4$ và bậc $2$ mà không có bậc $3$ $[$hiển nhiên chỉ có một đa thức $S_{\,a}$ đối xứng rồi$!$
Câu hỏi của tthnew$:$
Thật ra phương pháp trên cũng có thể gọi là phương pháp có lý$,$ đơn giản$:$ $f[\,a,\,b]\geqq 0\Rightarrow f[\,a,\,a]\geqq 0$$,$ vì thế nên có cách viết rất hay như sau$:$ $f[\,a,\,b]= f[\,a,\,a]+ k\,Q$$,$ $Q\geqq 0$ và $k= constant$ $[$đặt như vậy để ta có thể thay đổi dấu của$:$ $f[\,a,\,b\,]- f[\,a,\,a\,]= [\,a- b\,]Q_{\,2}$ tùy ý$.$
$\lceil$ $\rfloor$
Ở bài của em$:$
Bài của em không thể phân tích được$:$ $\sum\,S_{\,a}[\,b- c\,]^{\,2}$$,$ anh xin mạn phép làm tiếp$:$
$$a= b\Rightarrow M= 3[\,a+ b\,]\left [ c+ \frac{a}{2}+ \frac{b}{2} \right ]^{\,2}$$
$$\Rightarrow Sum- M= -\,\frac{3}{4}[\,a- b\,]^{\,2}[\,a+ b\,]$$
$Sum$ có nhân tử $a+ b$ $[$do trên$]$$,$ điều thú vị là do đó$:$ $Sum$ có nhân tử $b+ c$$,$ $Sum$ có nhân tử $c+ a$ $[$bởi đối xứng$]$$.$
$$Sum= 3[\,a+ b\,][\,b+ c\,][\,c+ a\,]$$
Những cách phân tích S*O*S khác$:$
$\lceil$ //nguyenhuyena...ch-binh-phuong/ $\rfloor$
$\lceil$ //nguyenhuyena...t-nam-tst-1996/ $\rfloor$
Tuy nhiên$,$ sau đây mới là phương pháp S*O*S ngắn nhất $2$ bình phương $[$S*O*S dao lam$]$$:$
$$\begin{equation}\begin{split} [\,a+ b+ c\,]{\,3}- a{\,3}- b^{\,3}- c^{\,3} & = \\ = & 6\,b[\,b+ c\,]{\,2}+ 3[\,a- b\,][\,b+ c\,][\,a+ 2\,b+ c\,] & = \\ = & 6\,a[\,c+ a\,]{\,2}- 3[\,a- b\,][\,c+ a\,][\,b+ c+ 2\,a\,]\end{split}\end{equation}$$
$\lceil$ $\rfloor$
$$[\,a+ b+ c\,]{\,3}- a{\,3}- b^{\,3}- c^{\,3}= \frac{6\,a[\,b+ c\,][\,a+ 2\,b+ c\,][\,c+ a\,]{\,2}+ 6\,b[\,c+ a\,][\,b+ c+ 2\,a\,][\,b+ c\,]{\,2}}{[\,b+ c\,][\,a+ 2\,b+ c\,]+ [\,c+ a\,][\,b+ c+ 2\,a\,]}$$
Nếu nó theo biến $a$ thì bậc cao nhất là $a^5$,nên bậc nó là 5.Còn tính theo biến $b$ thì bậc cao nhất là $b^4$,nên nó là bậc 4.Trường hợp $F[a,b]=a^5+a^3b^2+b^5$ thì hàm số này đồng bậc đối với a và b.Bởi vì bậc của a,b bằng nhau và bậc của mỗi số hạng là bằng nhau [bằng 5]
Còn câu hỏi sau đó của em,chính xác rồi đấy.tức là $F[a_1,a_2,....,a_n]=F[b_1,b_2,....,b_n]$với $[b_1,b_2,....,b_n] $là 1 hoán vị bất kì của $[a_1,a_2,....,a_n]$