Bài toán về hai tiếp tuyến và một cát tuyến

Tài liệu gồm 11 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề tiếp tuyến, cát tuyến, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc.

NHỮNG TÍNH CHẤT CẦN NHỚ 1. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB CD KCD của một đường tròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC.MD. 2. Đảo lại nếu hai đường thẳng AB CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A B C D thuộc một đường tròn. 3. Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC MA MB MO R 2 2 2. 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD H là trung điểm CD thì năm điểm K A H O B nằm trên một đường tròn. 5. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD thì AC BC AD BD. Ta có: AC KC KAC ADK KAC KAD AD KA. Tương tự ta cũng có: BC KC BD KB mà KA KB nên suy ra AC BC AD BD. Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có: AC BC AD BD và CA DA CB DB. NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU

File WORD [dành cho quý thầy, cô]: TẢI XUỐNG

  • Tài Liệu Toán Ôn Thi Vào Lớp 10

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Chuyên đề 10: Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến

Những tính chất cần nhớ:

1]. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB,CD,KCD của một đường tròn

cắt nhau tại M thì MA MC

2]. Đảo lại nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M và

MA MC thì bốn điểm A, B,C, D thuộc một đường tròn.

3]. Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì

MC 2  MA  MO 2 R 2

4]. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát

tuyến KCD,H , là trung điểm CD thì năm điểm K,A,H,O, B nằm trên

một đường tròn.

O D C B A M O D C B A M

B

A

C

M

5]. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát

tuyến KCD thì 

AC BC AD BD

Ta có:       

AC KC KAC ADK KAC KAD AD KA

null

Tương tự ta cũng có: 

BC KC BD KB

mà KA KB nên suy ra 

AC BC AD BD

Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có:

 AC BC AD BD

và 

CA DA CB DB

K O

H

D

C

B

A

A

B

C

D

K O

Bài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến

KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi M là giao điểm OK và AB.

Chứng minh

a] CMOD là tứ giác nội tiếp

b] Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD

Giải:

a] Vì KB là tiếp tuyến nên ta có: KB 2  KC  KO 2 R 2

Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và BM KO nên KB 2 KM

suy ra

KC KM hay CMOD là tứ giác nội tiếp

b] CMOD là tứ giác nội tiếp nên KMC  ODC,OMD  OCD.

Mặt khác ta có: ODC  OCD  KMC OMD

Trường hợp 1:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO [h1]

Hai góc AMC, AMD  có 2 góc phụ với nó tương ứng là KMC,ODC  mà

KMC  ODC nên AMC AMD hay MA là tia phân giác của góc CMD

Trường hợp 2:

O

B

A

D

C

M

K O K

D

C

B

A

M

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO [h2] thì tương tự ta

cũng có MB là tia phân giác của góc CMD

Suy ra Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD.

Bài 3. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến

KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi H là trung điểm CD. Vẽ dây

AF đi qua H. Chứng minh BF / /CD

Giải:

Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh AHK AFB

Ta có   

1 AFB AOB 2

[ Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ].

Mặt khác KO là phân giác góc AOB nên

 AOK  BOK  1 AOB  AFB AOK 2

. Vì A,K, B,O,H cùng nằm trên đường

tròn đường kính KO nên AHK  AOK  AFB  AHK BF / /CD

Bài 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến

KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi H là trung điểm CD. Đường

F

A

B

C

D

H

K O

1

Ta cần chứng minh: AIK KBC

Mặt khác ta có:     đ

1 KBC CAB s CB 2

nên ta sẽ chứng minh AIK CAB

hay   BID ∼BCA Thật vậy theo tính chất 5 ta có: 

CB DB CA DA

   CB DB DA DI CA DI

Tứ giác ACBD nội tiếp nên BCA  BDI   BID ∼ BCA  AIK CAB

Hay AIK  KBC BC / /AI

Bài 6 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến

KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ

dây CF qua M. Chứng minh DF / /AB

Giải:

F

1

2

1 M

A

B

C

D

H

K

O

Kẻ OH CD

Ta chứng minh được: CMOD là tứ giác nội tiếp [bài toán 2] nên

 

M 1 D 1 mà

    0     0   

M 1 M 2 90 ; D 1 DOH 90 M 2 DOH. Mặt khác ta có:

CFD   1 COD, DOH   1 COD  CFD DOH 2 2

. Từ đó suy ra

   M 2 CFD DF / /AB

Chú ý: DF / /AB ABFD là hình thang cân có hai đáy là

AB, DF  OMD  OMF

Bài 7: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến

KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi M là giao điểm OK và AB. Kẻ

OH vuông góc với CD cắt AB ở E. Chứng minh

a] CMOE là tứ giác nội tiếp

b] CE, DE là tiếp tuyến của đường tròn [O]

Giải:

a] Theo bài toán 2, ta có CMOD

là tứ giác nội tiếp nên CMK  ODC OCD.

Do đó các góc phụ với chúng

bằng nhau: CME COE.

Suy ra CMOE là tứ giác nội tiếp [theo cung chứa góc].

EMABCDHK O

Sử dụng bài 2, ta có CMOD là tứ giác nội tiếp và

 AMD  1 CMD  1 COD

2 2

[2]. Từ [1] và [2] suy ra   

1

AND COD

2

. Ta lại

có   

1

CID COD

2

nên   

1

AND CID

2

.

HS tự giải tiếp.

Bài 9 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến

KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng

minh rằng ADC MDB.

Giải:

Kẻ OH CD , cắt AB ở E.

Theo bài 7 , EC là tiếp tuyến của đường tròn  O , nên theo bài toán

quen thuộc 3, ta có ECMD là tứ giác nội tiếp, suy ra EBD ECD [2].

Từ [1] và [2] suy ra CBD EMD.

Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau:

CAD   BMD  CAD ∼BMD [g] nên ADC MDB

K O

H

D

C

B

A

M

E

Chủ Đề