Tài liệu gồm 11 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề tiếp tuyến, cát tuyến, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc.
NHỮNG TÍNH CHẤT CẦN NHỚ 1. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB CD KCD của một đường tròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC.MD. 2. Đảo lại nếu hai đường thẳng AB CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A B C D thuộc một đường tròn. 3. Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC MA MB MO R 2 2 2. 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD H là trung điểm CD thì năm điểm K A H O B nằm trên một đường tròn. 5. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD thì AC BC AD BD. Ta có: AC KC KAC ADK KAC KAD AD KA. Tương tự ta cũng có: BC KC BD KB mà KA KB nên suy ra AC BC AD BD. Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có: AC BC AD BD và CA DA CB DB. NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU
File WORD [dành cho quý thầy, cô]: TẢI XUỐNG
- Tài Liệu Toán Ôn Thi Vào Lớp 10
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
Chuyên đề 10: Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến
Những tính chất cần nhớ:
1]. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB,CD,KCD của một đường tròn
cắt nhau tại M thì MA MC
2]. Đảo lại nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M và
MA MC thì bốn điểm A, B,C, D thuộc một đường tròn.
3]. Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì
MC 2 MA MO 2 R 24]. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát
tuyến KCD,H , là trung điểm CD thì năm điểm K,A,H,O, B nằm trên
một đường tròn.
O D C B A M O D C B A MB
A
C
M
5]. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát
tuyến KCD thì
AC BC AD BDTa có:
AC KC KAC ADK KAC KAD AD KAnull
Tương tự ta cũng có:
BC KC BD KBmà KA KB nên suy ra
AC BC AD BDChú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có:
AC BC AD BDvà
CA DA CB DBK O
H
D
C
B
A
A
B
C
D
K O
Bài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến
KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi M là giao điểm OK và AB.
Chứng minh
a] CMOD là tứ giác nội tiếp
b] Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD
Giải:
a] Vì KB là tiếp tuyến nên ta có: KB 2 KC KO 2 R 2
Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và BM KO nên KB 2 KM
suy ra
KC KM hay CMOD là tứ giác nội tiếp
b] CMOD là tứ giác nội tiếp nên KMC ODC,OMD OCD.
Mặt khác ta có: ODC OCD KMC OMD
Trường hợp 1:
Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO [h1]
Hai góc AMC, AMD có 2 góc phụ với nó tương ứng là KMC,ODC mà
KMC ODC nên AMC AMD hay MA là tia phân giác của góc CMD
Trường hợp 2:
O
B
A
D
C
M
K O K
D
C
B
A
M
Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO [h2] thì tương tự ta
cũng có MB là tia phân giác của góc CMD
Suy ra Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD.
Bài 3. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến
KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi H là trung điểm CD. Vẽ dây
AF đi qua H. Chứng minh BF / /CD
Giải:
Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh AHK AFB
Ta có
1 AFB AOB 2[ Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ].
Mặt khác KO là phân giác góc AOB nên
AOK BOK 1 AOB AFB AOK 2. Vì A,K, B,O,H cùng nằm trên đường
tròn đường kính KO nên AHK AOK AFB AHK BF / /CD
Bài 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến
KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi H là trung điểm CD. Đường
F
A
B
C
D
H
K O
1Ta cần chứng minh: AIK KBC
Mặt khác ta có: đ
1 KBC CAB s CB 2nên ta sẽ chứng minh AIK CAB
hay BID ∼BCA Thật vậy theo tính chất 5 ta có:
CB DB CA DAmà
CB DB DA DI CA DITứ giác ACBD nội tiếp nên BCA BDI BID ∼ BCA AIK CAB
Hay AIK KBC BC / /AI
Bài 6 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến
KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ
dây CF qua M. Chứng minh DF / /AB
Giải:
F
1
2
1 M
A
B
C
D
H
K
O
Kẻ OH CD
Ta chứng minh được: CMOD là tứ giác nội tiếp [bài toán 2] nên
M 1 D 1 mà
0 0 M 1 M 2 90 ; D 1 DOH 90 M 2 DOH. Mặt khác ta có:
CFD 1 COD, DOH 1 COD CFD DOH 2 2. Từ đó suy ra
M 2 CFD DF / /ABChú ý: DF / /AB ABFD là hình thang cân có hai đáy là
AB, DF OMD OMFBài 7: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta [O] kẻ các tiếp tuyến
KA,KB cát tuyến KCD đến [O]. Gọi M là giao điểm OK và AB. Kẻ
OH vuông góc với CD cắt AB ở E. Chứng minh
a] CMOE là tứ giác nội tiếp
b] CE, DE là tiếp tuyến của đường tròn [O]
Giải:
a] Theo bài toán 2, ta có CMOD
là tứ giác nội tiếp nên CMK ODC OCD.
Do đó các góc phụ với chúng
bằng nhau: CME COE.
Suy ra CMOE là tứ giác nội tiếp [theo cung chứa góc].
EMABCDHK O