Bài tập giới hạn ham số thi địa học năm 2024
|
Show THÔNG BÁOTính năng đặt in đang trong giai đoạn phát triển. Cùng chờ đón bạn nhé LOADING .... DOWNLOAD TÀI LIỆULink download sẽ được gửi cho bạn. Hãy cho chúng tôi biết địa chỉ mail mà bạn muốn nhận và chúng tôi sẽ gửi nó cho bạn BÁO CÁO TÀI LIỆUGửi cho chúng tôi phản hồi của bạn về tài liệu √ Eureka!Uni Toán cao cấp cho các nhà kinh tếLỚP TCC ONLINEĐÁP ÁN CHI TIẾTBÀI TẬP BUỔI 1NEU – Spring 2020 Hoàng Bá BạnhNhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni BÀI TẬP BUỔI 1 (TRÍCH TỪ ĐỀ THI – ĐỀ KIỂM TRA CÁC KHÓA) 1. Bài tập giới hạn Bài 1. Tính các giới hạn sau ( Bổ trợ ) 1 lim 2 x x L − →+∞ \= 2 2 2 lim 3 xx x L
\= 3 3 lim x x Le − →+∞ \= 5 3 4 lim 5 xx x L
\= 53 lim log x Lx →+∞ \= ( ) 3 6 1 2 lim log x Lx →−∞ \= − 7 lim ln 1( ) x Lx →+∞ \= + ( ) 8 1 lim ln 1 x Lx →− \= − 9 ( ) 2 lim ln 2 x Lx →+ \= − 10 2 limarccos x 2 x L → \= 11 ( ) 2 limarccos 3 x Lx → \= − 12 lim arctan 2( ) x Lx →+∞ \= ( ) 2 13 lim arctan x Lx →−∞ \= ( ) 3 14 lim arccot x Lx →−∞ \= 15 3 1 lim arccot x 3 L x →−+ \= − 16 2 2 1 lim arctan x 4 L x →+ \= − Giải 1 1 11 lim 0 0 22 x x L →+∞ +∞ \= = = = +∞ ( ) 221 2 lim 3 3 x x x L
\= = +∞ = +∞ 3 3 1 lim 0 0 x x Le e e − −∞ →+∞ +∞ \= = = = 3 32 5 1 5 4 1 lim 5 lim 5 0 5 0 5 x xx x xx L
→−∞ →−∞ +∞ \= = = = = 5 ( ( ) )ln lim ln x ln x L →+∞ \= = +∞ +∞ = +∞ ( ) ( )33 6 ln ln lim lim 1 ln ln 2 xx xx L →−∞ →−∞ −− = = = −∞ − 7 lim ln 1( ) x Lx →+∞ \= + = +∞ 8 ( ) ( ) 1 lim ln 1 ln x Lx − → \= − = −∞ = −∞ L 9 = −∞ L 10 =arccos 1 0( )= L 11 = −=arccos 1( ) π 12 13 arctan( ) 22 LL ππ \= = +∞ = 14 L =π (arccot( )−∞ =π) ( ) 15 11 arccot arccot arccot 30 L x ππ − \= → = −∞ = − 16 2 L π = − ( ) 2 11 arctan arctan arctan 40 2x π − → = −∞ = − − Bài 2. Tính các giới hạn sau ( Vận dụng theo dạng ) Chia ( ) 13 2 lim 1 x 2 x Lx →−∞ x \= + + 2 22 3 41 lim 23 x xx L xx →+∞ −+ +− Giải 1 ( ) 2 3 33 3 2 12 12 1 2 lim 1 lim lim lim 1 2 2 22 2 1 11 1 x xxx xx Lx xx x x x xx x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ ++ = + = = = −− =− −
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni 22 tan ~ 22 2 2 2 22 4 3 0 0 00 1 1 tan tan tan tan lim lim lim lim. tan tan xx x x xx xx xxxxxx L → → →→xx x x x x x − − −+ = −= = = 21 00 tan tan lim lim 1 2 xx xx x L →→xx
( ) ( )22 2232 00 0 tan 1 1 tan 1 tan 1 lim lim lim 33 3 L xx x xx x x L →→xx x→ − −+ == =−=− 2 21 22 12 2 33 LLL ⇒=× =−=− ( ) ( ) ( )( )2 32 0 00 2017cos 2017tan2018 2017 1 tan 2018 sin lim lim lim 1 2018cos2018 2018tan2017 2018 1 tan 2017 sin LL x xx x x x x L x x x x
Kẹp 1 3 7 1 cos 2 lim 48 →+∞ ++ −+ x xx x L xx ( )2 lim sin 5 sin 3 x L xx →+∞ \= +− + Giải 133 7 1 cos lim 48 48 x xx x L xx xx →+∞ + = + −+ −+ 11 3 cos lim 0 38 x x L xx →+∞ \= = −+ vì 3 1 lim 0 38 cos2 1 x xx x →+∞ = −+ ≤ ( ) 2 12 3 3 23 1 7 71 71 lim lim lim 7 48 48 481 xxx xx xx x L xx xx xx →+∞ →+∞ →+∞
−+ −+ −+ ⇒= + =+ =LL L 1 11 12 07 7 2 53 53 lim 2cos sin x 22 xx xx L →+∞ ++ + +− + = có 53 cos 1 2 xx++ + ≤ ( ) ( ) ( )53 53 1 lim sin lim sin lim sin sin0 0 xx 2 25 3x 53 xx xx →+∞ →+∞ xx→+∞ xx +− + +−+ = = = = + + ⇒=L 2 0 Lũy thừa mũ 1 1 41 lim →+∞ 3 − x x x L x ( ) 2 2 32 0 lim tan xx x Lx + − → \= ( ) 2 1 3 0 tan sin lim → \= x x x L x Giải 1 L Đặt ( ) ( )1 41 ln 41 3 ln 4 1 ln 3 ln 3 x x x x x x yy x xx − − −− =⇔= = (do 0 4 10 x x x > → +∞ ⇒ −> ) Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) ( )ln 4 1 ln 3 ( ) 4 ln4 1 ln4 1 lim ln lim lim ln 4 1 14 x x L x xxxx x y x xx →+∞ →+∞ →+∞ − −− = = −= −= −− Vậy, ln 4 Le 1 = = 4 L 2 Đặt ( ) ( ) ( )2 322 tan ln 3 2 ln tan xx y x yxx x − = ⇔= − ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2~2 2 2 00 0 0 2ln tan lim ln lim 3 2 ln tan lim 2 ln tan lim 1 xx x xx x x x y xxx xx x ++ + + −− →→ → → − =− =−= ( ) ( )2 2 00 2 1 tan 2 tan lim lim .2. 1 tan 0 1 tan L xx x x x xx x x →→++
Vậy, 0 Le 2 = = 1 L 3 Đặt ( ) ( ) 2 1 2 tan sin ln tan sin ln x x x x yy xx =⇔= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 ~ 22 2 00 0 0 22 003 2 022 tan sin tan sin tan sin ln ln 1 limln lim lim lim tan sin cos. 1 tan sin cos 1 tan sin cos lim lim lim. 3 33 uu xx x x L xx x x xx xx xx x y xx x xx x xx xxx x x xx →→ → → →→ → − − + = = = − +−− = = = + 31 0 cos 1 lim x 33 x L → \= = ; ( ) 322 00 cos 1 sin 1 lim lim 3 66 L xx xx L →→xx −− = = = − ; ( ) 2 tan ~ 2 3322 00 tan sin sin lim lim 1 uu xx x x L →→xx \= = = 32 33 31 0 11 1 limln. x 63 6 yL L L → ⇒ = + × =−+ = Vậy, 1/ 3 Le= Bài 3. Tính các giới hạn sau ( Cuối kì – Tổng hợp ) 1 ( ) 3 41 lim 2 1 x 2 x Lx →−∞ xx
3 2 1 lim → 1 − x − xx L x ( )2 3 lim 16 2 4 x L xx x →−∞ \= +++ 42 0 51 lim → 6 5sin cos 1 −
x x L x xx ( ) 5 0 sin lim → ln cos − x xx L xx ( ) ( ) 2 62 0 ln 1 tan3 3 lim 1 tan 2 x x xx L ex → − +− −+ − 7 lim arctan 41 π →+∞ \= − x + x Lx x 7 0 11 lim cot x 3 Lx → xx \= − ( ) 3 3 8 5 2 lim 2 3arccot 2 x x ex x L xx − →+∞ ++ −− ( )2 92 34 lim 2 cos 3 5 x 1 x L x xx →+∞ xx
10 ( )1 2 lim sin 3 →+∞ \= − x x x L ex Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) 2 922 23 4 34 lim cos 4 5 x 11 xx x L xx →+∞ xx xx + + = − −+ −+ −+ ( ) 912 2 4 23 23 4 lim lim 6 1 11 1 xx xx x L xx xx →+∞ →+∞ + + = = = −+ −+ 2 922 34 lim cos 4 5 0 x 1 x L xx →+∞xx
vì 2 2 2 2 cos 4 5 1 34 34 lim lim 0 1 11 1 xx xx x xx xx xx →+∞ →+∞ − +≤ + + = = −+ −+ ⇒ = + =+=LL L 9 91 92 606 10 L Đặt ( )( )1 2 2 ln sin sin3 ln x x x ex ye x y x − =− ⇔= ( )( ) 222 22 ln sin3 2 3cos3 2 3 cos lim ln lim lim lim sin3 1 sin x L xx xx xxxx ex e x ex y x e x ex − →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − − −− = = = −− 22 2 sin31;cos lim sin3 0; lim cos3 0 lim 0 xx x xx x xx ex ex e −− − →+∞ →+∞ →+∞ ≤≤ ⇒= = = 20 lim ln 2 x 10 y →+∞ − ⇒== − Vậy, 2 Le 10 = L 11 Đặt ( ) 61 arcsin3 ln 6 1 ln arcsin 66 x y x yx x ππ − =−⇔=− − ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 66 6 2 2 112 662 ln arcsin 6 lim ln lim 6 1 ln arcsin3 lim 6 1 61 3 1 9 arcsin 6 61 1 lim lim. 6 21 9 arcsin 61 6 xx x L xx x yx x x xx x x x x π π π π −− − −− →→ → →→ − = −− = − − −− − = = − −− − 1112 1 6 11 lim x 21 9 3 L x − → \= = − ( ) ( ) ( ) 2 112 11 66 2 61 1261 lim lim 0 3 arcsin 619 L xx xx L x x π −− →→ −− = = = −− − 111 112 1 6 1 lim ln 0 0 x 3 yL L − → ⇒ = × = ×= Vậy, 0 Le 11 = = 1 Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni L 12 Đặt ( ) ( ) 2 3 2 3ln cot cot x ln xx yxx y x \= ⇔= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 00220 0 2 2 0 2 2 2 232 000 0 tan tan 3ln 3ln 1 3 3ln cot tan tan tan limln lim lim lim lim 3 tan 3 tan 3 1 1 tan tan lim lim lim lim 1 tan 3 xx x x x L xxx x x xx xx xx xx x y xx x x xx xx x x xx x x x →→ → → → →→→ → − − + = = = = −−−− = = = =−=− Vậy, 1 12 1 Le e − = = L 12 a Đặt ( )( )2018 2018ln 2018 2018 ln x x x x y xy x
( )( ) ( )( ) ( ) 2 3 2 2018ln 2018 2018 2018 ln2018 1 2018 ln 2018 lim ln lim lim lim 2018 2018 ln2018 1 2018 ln 2018 lim lim 2018 2018 2018 ln 2018 xxLLx xx x xxx L x xxx x y →+∞ →+∞ xx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = = = \= = = Vậy, 2018ln 2018 2018 12 2018 a Le= = 2. Bài tập liên tục Bài 1. Tìm tham số để các hàm số sau liên tục tại điểm đặc biệt ( ) ( ) 2 2 1 cos 1 sin ; 0 1) ; x xx fx kx − +≠ \= ( ) ( ) 4 3 1 2 arctan ; 2 2) 2 ; xx fx x ax −≠ = − \= Bài 2. Xét sự liên tục của các hàm số sau ( ) 4 3 3 2 cos ; 2
0 ; xx y x x −≠ = − \= 2 1 2 tan ; 2) ; x x x y x ex ≠ \= Bài 3. Xét sự liên tục của các hàm số sau
( ) 5 sin 21 1 sin 4 ; 0 ; +≠ \= xxx fx ex . Xét tính liên tục tại điểm x = 0
2 = + 1 x fx x e
2 ; sin 3 ; − −− > = − +≤ xx ee x x fx xx mx x . Tìm m để hàm số liên tục tại x = 0
sin ; 1; 0 ≠ \= x x fx x x Giải Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni Do ( ) 1 3 2 0 lim 0 x ye y e y → \=≠=⇒ không liên tục tại x= 0 (2) Từ (1) và (2) ta thấy y liên tục tại mọi x≠ 0 Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số (1) ( ) 21 fe 0 = ( ) ( ) 5 sin 00 lim lim 1 sin4 x xx fx x →→ \= + ( ) 5ln 1 sin4( ) ln sin x fx x
( ) ( ) 00 0 4cos 5 5ln 1 sin 1 sin limln lim lim 20 sin cos L xx x x x x fx →→xx→
20 0 lim x fx e → ⇒= ( ) ( ) ( ) 20 21 0 lim 0 x fx e f e fx → \=≠=⇒ gián đoạn tại x= 0 (2) f( )−= 10 ( ) ( ) 2 11 lim lim 1 0 x xx fx x e →−−−→− \= −+ = ( ) ( ) 2 11 lim lim 1 0 x xx fx x e →−++→− \= += ( ) ( ) ( ) ( ) 11 lim lim 1 0 xx fx fx f fx →−−+→− \= = −=⇒ liên tục tại x= − 1 (3) fm( ) 03 = ( ) ( ) 00 lim lim 3 3 xx fx m x m →→−− \= += ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 22 lim lim lim lim lim 2 sin 1 cos sin cos xx LxxLLxx xx xx x x x ee x ee ee ee fx xx x x x ++ + + + − − −− →→ → → → −− +− − + = = = = = −− fx( ) liên tục tại ( ) ( ) ( ) 00 2 0 lim lim 0 3 2 xx 3 x fx fx f m m →→−+ \=⇔ = = ⇔ =⇔= (4) ( ) ( ) ( ) 00 00 sin sin lim lim 1 lim lim 1 xx xx xx fx fx fx xx ++ −− →→ →→ \= =≠ = =−⇒ − gián đoạn tại x= 0 3. Bài tập đ ạo hàm Bài 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
3 y xx = 2 tan. Tính y ′( ) 0
sin 6 ; 3 2; 0 ≠ \= x x fx x x . Tính f ′( ) 0
9 1 ; 3 3; 0 − − ≠ = − \= x e x fx x x . Tính f ′( ) 0
2 3 5 sin , 0 0 , xx fx x x +≠ \= Bài 2. Tính đạo hàm 1) Tính y′′ biết ( )22 yx x x= + +− +ln 16 x 16 Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni
2 ) tan x ay= x ( ) cos ) arctan x by= x
( ) 4 5 1 6 3 arctan ; 2 2 0 ; −≠ = − \= xx fx x x . Tính fx ′( ) Bài 3. Khai triển Tay-lor tại x= 0 các hàm số sau: ( ) 1 113
x fx x x
đến bậc 4 ( ) 2 2) 3 2 x fx e x= + đến bậc 3, phần dư Peano Bài 4. Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm số : ( ) ( ) 5 2 4 5 1)fx=−+2 5x 5 x ( ) 112122 2) arcsin 1 2 2 4 12 fx x x x x x π = − + −− Bài 5. Ứng dụng phân tích kinh tế
sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
122 ATC 0, 5 Q 0, 25 Q 10 Q \=−+ +. Với P = 106 , tìm Q * thỏa mãn điều kiện cực đ ại lợi nhuận.
wL = 20. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa.
2 AVC =−+ > Q 12 Q 14 Q 0.
22 180 0, 5 ; 30 2 ds P =−=+ QP Q.
lần lượt là sản lượng, giá bán, thu nhập.
Giải chi tiết Bài 1 (1) ( ) ( ) 33 00 0 0 2 tan 0 2 sin 0 lim lim lim. 0 xx 0 xcos yy xx x x y →→x x →xx − − ′ = = = = − Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) ( ) 4 5 5 2 12 1 63 arctan 56 3 212 x x x x − =−− − − +− x= 2 : ( ) ( ) ( ) 4 5 54 22 25 1 6 3 arctan 0 231 2 lim lim lim .arctan xx 22 x 2 2 x fx f x xxx x →→−− →− −− − − − = = = −∞ −−− − Vì 2 1 lim x x 2 →− \= −∞ − và 2 1 lim arctan x x 22 π →− \= − − ( ) ( ) ( ) 4 5 54 22 25 1 6 3 arctan 0 231 2 lim lim lim .arctan xx 22 x 2 2 x fx f x xxx x →→++ →+ −− − − − = = = −∞ −−− − Vì 2 1 lim x x 2 →+ \= +∞ − và 2 1 lim arctan x x 22 π →+ \= − ( ) ( ) 2 2 lim x 2 fx f → x − ⇒ = −∞ ⇒ − không tồn tại f′( ) 2 Vậy, ( ) ( ) ( ) 4 5 5 2 12 1 63 arctan 56 3 212 x fx x x x − ′ =−− − − +− với x≠ 2 Bài 3
11 ln 33 fx x x =++ ( ) ( ) ( ) 111 1 1 1 0 ln ln3 ln3; ln 1 0 ln3 1 1 ln 333 3 3 f fx x f − = = =− ′′= + +⇒ =− +=− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 13 9 0 3; 0 9; 131 31 3 fx f fx f x x x ′′ ==⇒= =− ⇒=−′′ ′′′ ′′′ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44 3 54 0 54 31 fx f x \= ⇒= + ####### ( ) ( ) ( ) 1339 234 4 ln3 1 ln 3 224 ⇒ =− +− + − + +fx x x x x ox
2 32 x fx e x − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2; 3 3 3 52 2 3 2 2 0 20 0 2 32 23 2 4 4 3 9 3 9 72 2 0 20 0 0 2 3 2 2 32 4 8 16 x x f e fx f x e x fx f f f x x f x fx fx fx f f f f x x − − \= ′′=− ++ =− + ⇒ =− + =− + + ′ ′′ =− + − ⇒=−+ − =′ ′′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 39 9 2 27 23 2 232 32 32 2 fx fx fx fx fx fx x xx x ′′ ′ ′ ′′′ =−+−−+′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 27 361 2 0 20 0 0 0 4 4 8 64 ⇒=−+ − + =f fff f′′′ ′′ ′′ ′ Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) ( ) 5 2 2 2 2 361 2 33 2 4 32 384 ⇒=− + − +fx x x x ox Bài 4
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 42 5 5 22 45 44 525522 25 4 2 5 10 5 4 2 5 30 50 8 55 25 5 25 .5 5 25. xx x xx x xx fx x x xx xx −+ − − ++ − − −+ ′ = += = + − −+ −+ ( ) 2 2 2 25 0 5 05 0 5 30 50 8 0 25 865 30 x x fx x x xx x ≠± −≠ ′ = ⇔ + ≠⇔ ≠− − − += −± = \=>điểm tới hạn: 25 865 2 25 865 2 5; ; ; ; 30 5 30 5 −− −+ −− Bảng biến thiên: x −∞ − 5 25 865 30 −− 2 5 − 25 865 30 −+ 2 5 +∞ y′ + − 0 + + 0 − − y yC§ yCT C§ 2 y Kết luận: (tự làm)
( ) 22 ( ) 22 1 11 1 1 arcsin 1 2211 4 4 6 x fx x x x x x xx − π ′ = + − + − + −= −− ( ) 2 22 2 1 11 1 1 2 44 4 arcsin arcsin 661 x xx xx xx x ππ −+ − − = −+ = − − ( ) 00 01 arcsin 62 xx fx xx π = = ′ =⇔⇔ = = Bảng biến thiên: x − 1 0 1 2 1 y′ + 0 − 0 + y yC§ CT y Kết luận: (tự làm) Bài 5 Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ####### ( ) ( )
00 1 7 686 113 7 113 448 30 3 Q CS D Q dQ p Q Q dQ Q Q − = − = − − = − −= ∫∫ Thặng dư sản xuất ( ) ( ) ( )
00 17832 7 1 448 303 Q Q PS p Q S Q dQ Q dQ − + = − = −+ = − = ∫∫
1 2 113 113 226 2 q d dQ p pp dp Q pp p ε −− = = = −−− Tại
p = ⇒=−ε cho biết tại
32 (%) 49 Hệ số co dãn của cung theo giá là : 1 2 12 2 s s dQ ppp dp Q pp p ε= = = −− Tại
p = ⇒=ε cho biết tại
4 % 7 22 P= − ⇔= − =+ ⇒= −180 0,5Q Qdd360 2 ;pP30 2Q Qss0,5 15p
⇔ = ⇔ − = − ⇔ − = −⇔= ⇒=QQds 360 2p p0,5 15 360 2 0,5 15p p p 150 Q2 15
1 360 2 360 2 360 2 d d dQ p pp dp Q ppp ε −− = = = −−− Tại
Hệ số co dãn của cung theo giá là: 0, 2 0,5 15 0,5 15 2 60 s s dQ p pp dp Q ppp ε= = = −−− Tại
2 15 2 0 CS=− −=180 0,5Q dQ 150 15 40 15 ####### ∫ Thặng dư sản xuất: ( ) 2 15 2 0 PS= −+ =150 15 30 2Q dQ 160 15 ####### ∫ Bài 7
Vậy giá cân bằng
dp M M M dM p M M ε= = = ++ Tại M= 100 ⇒=ε 0,1, cho biết nếu lúc này thu nhập tăng 3% thì giá cân bằng sẽ tăng xấp xỉ 0,3% |
