35 lượt xem
Chuyên đề Toán 8: Hình bình hành được biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa [sgk] có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản nhất để biết được cách giải các bài toán chứng minh tứ giác là hình bình hành. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán lớp 8. Các bạn học sinh có thể luyện tập nhằm củng cố thêm kiến thức lớp 8 của mình. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.
1. Hình bình hành là gì?
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song với nhau
2. Tính chất hình bình hành
Trong hình bình hành:
a] Các góc đối song song và bằng nhau
b] Các góc đối bằng nhau
c] Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
a] Tứ giác có các cạnh đối song song bằng nhau
b] Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
c] Tứ giác có các góc đối bằng nhau
d] Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau
e] Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
4. Chứng minh hình bình hành
Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD [AB // CD, AB < CD]. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BC = EC. Chứng minh AECD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Tam giác BCE cân tại C
=>
Ta lại có
Mà
Suy ra AC // ED [Hai góc cùng phía bù nhau]
Suy ra AECD là hình bình hành
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại E, đường thẳng BC cắt đường thẳng AD tại F. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AE, CE, CF, AF. Chứng minh rằng IL // JK.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác AEF có I à trung điểm của AE, L là trung điểm của AF nên IL là đường trung bình
Ta có IL // EF [1]
Tương tự xét tam giác CEF có JK là đường trung bình nên JK // EF [2]
Mặt khác I, J, K lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác EBC nên I. J, K không thẳng hàng
Từ [1] và [2] suy ra IL // JK.
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm E, F lần lượt lấy trên BC, AD sao cho BC = 3BE, DA = 3DF và EF lần lượt cắt AB, CD tại G, H. Chứng minh rằng:
a] GE = EF = FH
b] Tứ giác AECF là hình bình hành
Hướng dẫn giải
a] Xét tam giác AGF, điểm B nằm trên cạnh AG, điểm E nằm trên cạnh FG
Ta có:
Suy ra BE là đường trung bình của tam giác AGF
=> E là trung điểm của GF [1]
Chứng minh tương tự ta có DF là đường trung bình của tam giác CHE
=> F là trung điểm của HE [2]
Từ [1] và [2] suy ra GE = EF = FH
b] Ta có:
Suy ra AF = CE
Mặt khác AF // CE
Do vậy tứ giác AECF là hình bình hành
5. Bài tập luyện tập chứng minh hình bình hành
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 dường trung tuyến AM, BN, CP. Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua B song song với AM tại F, NP cắt BF tại I, FN cắt AB tại K, FP cắt BN tại H, HJ // AM [J thuộc BC]. Chứng minh rằng các tứ giác AFPN, CNFP, NIBJ là các hình bình hành.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại B, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng H là trung điểm của EF.
------------------------------------------------------------
Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!
Ngoài Các cách chứng minh hình bình hành môn Toán 8, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu ôn thi hay và chất lượng, các dạng toán nâng cao hay và khó. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và nâng cao kiến thức Toán lớp 8
LUYỆN TẬP HÌNH BÌNH HÀNH
Câu 1: Các tứ giác ABCD, EFGH & hình vẽ bên dưới có phải là hình bình hành hay không?
Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD // BC và AD = BC bằng 3 cạnh ô vuông.
Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau.
EH = FG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DE = BF
Lời giải:
Ta có: AB = CD [tính chất hình bình hành]
EB = 1/2 AB [gt]
FD = 1/2 CD [gt]
Suy ra: EB = FD [1]
Mà AB // CD [gt]
⇒ BE // FD [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
⇒ DE = BF [tính chất hình bình hành]
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M. Tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành.
Lời giải:
Ta có: ∠A = ∠C [tính chất hình bình hành]
∠A2 = 12 ∠A [gt]
∠C2 = 12 ∠C [gt]
Suy ra: ∠A2 = ∠C2 [gt]
AB // CD [gt]
Hay AN // CM [1]
Mà ∠N1 = ∠C2[so le trong]
Suy ra: ∠A2= ∠N1
AM // CN [vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau] [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.
Câu 4: Hình bên cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AECF là hình bình hành.
Lời giải:
Gọi O là'giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC [tính chất hình bình hành] [1]
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO, ta có:
∠[AEO] = ∠[CFO] = 90o
OA = OC [chứng minh trên]
∠[AOE] = ∠[COF] [đối đỉnh]
Do đó ΔAEO = ΔCFO [cạnh huyền, góc nhọn]
⇒ OE = OF' [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác AECF là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường].
Câu 5: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Nối đường chéo AC.
Trong ΔABC ta có:
E là trung điểm của AB [gt]
F là trung điểm của BC [gt]
Nên EF là đường trung bình của ΔABC
⇒EF//AC và EF = 1/2 AC
[tính chất đường trung hình tam giác] [1]
Trong ΔADC ta có:
H là trung điểm của AD [gt]
G là trung điểm của DC [gt]
Nên HG là đường trung bình của ΔADC
⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC [tính chất đường trung bình tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: EF // HG và EF = HG
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau].
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB, Đường chéo BD cắt AI, UK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB
Lời giải:
Ta có: AB = CD [tính chất hình bình hành]
AK = 1/2 AB [gt]
CI = 1/2 CD [gt]
Suy ra: AK = CI [1]
Mặt khác: AB // CD [gt]
⇒ AK // CI [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau].
⇒ AI // CK
Trong ΔABE, ta có:
K là trung điểm của AB [gt]
AI // CK hay KF // AE nên BF = EF [tính chất đường trung bình tam giác]
Trong ΔDCF, ta có:
I là trung điểm của DC [gt]
AI // CK hay IE // CF nên DE = EF [tính chất đường trung bình tam giác]
Suy ra: DE = EF = FB
Câu 7: Tính các góc của hình bình hành ABCD biết:
Lời giải:
a, Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒ ∠C = ∠A = 110o [tính chất hình bình hành]
∠A + ∠B = 180o [2 góc trong cùng phía bù nhau]
⇒ ∠B = 180o – 110o = 70o
∠D = ∠B = 70o [tính chất hình bình hành]
b, Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒∠A + ∠B = 180o [2 góc trong cùng phía bù nhau]
∠A - ∠B = 20o [gt]
Suy ra: 2∠A = 200o ⇒ ∠A = 100o
∠C = ∠A = 100o [tính chất hình bình hành]
∠A = ∠A – 20o = 100o – 20o = 80o
∠D = ∠B = 80o [tính chất hình bình hành]
Câu 8: Trong các tứ giác ở hình dưới đây, hình nào là hình bình hành.
Lời giải:
* Tứ giác ABCD là hình bình hành vì AB // CD và AB = CD.
* Tứ giác IKMN là hình bình hành vì có ∠I = ∠M = 70o và ∠K = ∠N = 110o
Câu 9: Chu vì hình bình hành ABCD bằng l0cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD.
Lời giải:
Chu vì hình bình hành ABCD bằng 10cm nên [AB + CD].2 = 10[cm]
⇒ AB + AD = 102 = 5[cm]
Chu vi của ΔABD bằng:
AB + AD + BD = 9[cm]
⇒ BD = 9 - [AB + AD] = 9 - 5 = 4[cm]
Câu 10: Hình bên dưới, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AE //CF.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC [tính chất hình bình hành]
OB = OD
Xét ΔAEB và ΔCFD, ta có:
AB = CD [tính chất hình bình hành]
∠[ABE] = ∠[CDF] [so le trong]
BE = DF [gt]
Do đó: ΔAEB = ΔCFD [c.g.c] ⇒ BE = DF
Tacó: OB = OE + BE
OD = OF + BF
Suy ra: OE = OF
Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành [vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường] ⇒ AE // CF.
Câu 11: Cho hình hình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:
a, EMNF là hình bình hành
b, Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.
Lời giải:
a, Xét tứ giác AECF, ta có:
AB // CD [gt]
Hay AE //CF
AE = 1/2 AB
AB = CD [tính chất hình bình hành]
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau] ⇒ AF //CE hay EN // FM [1]
Xét tứ giác BFDE ta có:
AB // CD [gt] hay BE // DF
BE = 1/2 AB [gt]
DF = 1/2 CD [gt]
AB = CD [tính chất hình bình hành]
Suy ra: BE = DF
Tứ giác BFDE là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau] ⇒ BF//DE hay EM // FN [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác EMNF là hình bình hành [theo định nghĩa hình bình hành].
b, Gọi O là giao điểm của AC và EF
Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF
Tứ giác EMFN là hình bình hành trên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF.
Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.