- LG a
- LG b
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\[y = {x^4} - 2{x^2} + 3\]
Lời giải chi tiết:
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
\[\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\end{array}\]
BBT:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {0;1} \right]\].
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = \pm 1,{y_{CD}} = 2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 0,{y_{CT}} = 3\].
+] Đồ thị:
Trục đối xứng: \[Oy\].
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \[\left[ {0;3} \right]\].
Điểm cực đại \[\left[ {0;3} \right]\] và điểm cực tiểu \[\left[ { - 1;2} \right],\left[ {1;2} \right]\].
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi điểm uốn của nó
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y'' = 12{x^2} - 4\\y'' = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow y\left[ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right] = \frac{{22}}{9}\end{array}\]
Với \[{U_1}\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{22}}{9}} \right]\] ta có \[y'\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right] = - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\] nên phương trình tiếp tuyến là:
\[y = - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\left[ {x - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right] + \frac{{22}}{9}\] hay \[y = - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \frac{{10}}{3}\].
Với \[{U_2}\left[ { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{22}}{9}} \right]\] ta có \[y'\left[ { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right] = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\] nên phương trình tiếp tuyến là:
\[y = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\left[ {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right] + \frac{{22}}{9}\] hay \[y = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \frac{{10}}{3}\].